浙江省杭州市西湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page26本試題滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘一．單項(xiàng)選擇（共8題，每小題5分；滿(mǎn)分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的方向向量為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的傾斜角為.故選：C2.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)算即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.3.若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1的距離不可能是（）A.4 B.6C.3＋1 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而求出圓心到直線距離的最大值，然后判斷各個(gè)答案.【詳解】如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過(guò)定點(diǎn)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6；當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線距離的最小值為0．即距離的范圍是[0,6].故選：D.4.某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B.平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C.方差是，平均數(shù)是2 D.平均數(shù)是3，眾數(shù)是2【答案】C【解析】【分析】舉特例可說(shuō)明正誤，利用方差的計(jì)算公式可判斷C.【詳解】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如；選項(xiàng)B：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如；選項(xiàng)C：設(shè)這5次的點(diǎn)數(shù)為，則方差如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，而，則方差大于或等于3.2，故不可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；選項(xiàng)D：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如，故選：C．5.已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的方程，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因?yàn)椋瑒t在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，顯然，則，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，所以直線為，即，因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故選：B.6.已知點(diǎn)，若圓O：上存在點(diǎn)A，使得線段PA的中點(diǎn)也在圓O上，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意知，A在圓O上，PA中點(diǎn)也在圓上，根據(jù)中點(diǎn)位置列出方程式解得中點(diǎn)的軌跡為，然后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求得a的取值范圍.【詳解】設(shè)A的坐標(biāo)為，PA的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：，解得：，又線段PA中點(diǎn)也在圓上，所以?xún)蓤A有公共點(diǎn)，所以，解得：，解得：，故選：B.7.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)椋?，?所以.因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點(diǎn)，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，作y軸，過(guò)A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，由梯形中位線得到，然后求得r，進(jìn)而得到，然后，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，作y軸，過(guò)A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，則，所以，則，即，解得或（舍去），則，設(shè)，由，消去y得，則，解得，所以直線方程為，即，故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知圓C的方程為，直線的方程為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓相交C.直線被圓所截最短弦長(zhǎng)為D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線經(jīng)過(guò)圓心【答案】ABC【解析】【分析】化簡(jiǎn)直線的方程為，結(jié)合方程組的解，可判定A正確；求得圓心到定點(diǎn)的距離，得到點(diǎn)在圓內(nèi)，進(jìn)而得到直線與圓相交，可判定B正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，求得最短弦長(zhǎng)，可判定C正確；將圓心坐標(biāo)代入直線的方程，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由直線的方程，可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)：由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，可得在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)：由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D項(xiàng)：將圓心代入直線的方程，可得，所以不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得直線過(guò)圓心，所以D不正確.故選：ABC.10.甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.事件、是相互獨(dú)立事件 B.事件、是互斥事件C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用列舉法分別求出事件，，，，的概率，結(jié)合互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義直接求解．【詳解】解：甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，基本事件總數(shù)，記事件為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有9個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，事件、是相互獨(dú)立事件，故正確；事件與能同時(shí)發(fā)生，故事件與不互斥事件，故錯(cuò)誤；，故正確；包包含的基本事件有9個(gè)，分別為：，，，，，，，，，．故錯(cuò)誤．故選：．11.直線l與拋物線相交于，，若，則（）A.直線l斜率為定值 B.直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C.面積最小值為4 D.【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合拋物線方程得出，聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理得出直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，再由判別式判斷A，由面積公式結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷C.【詳解】，因?yàn)椋?，即，，又，所以，故D正確；設(shè)直線，由得，即，，即直線l過(guò)定點(diǎn)，故B正確；又，則，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，面積取最小值，故C正確.故選：BCD12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q，R在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，，點(diǎn)R到平面的距離等于它到點(diǎn)D的距離，則（）A.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為 B.點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為C.PQ長(zhǎng)度的最小值為 D.PR長(zhǎng)度的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)N，連接AN，，根據(jù)面面平行的判定可證得平面平面，從而得點(diǎn)P的軌跡為線段AN，解三角形計(jì)算可判斷；對(duì)于B，連接DQ，由勾股定理得，從而有點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的圓，由圓的周長(zhǎng)計(jì)算可判斷；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)D作于，交點(diǎn)Q的軌跡于，此時(shí)的長(zhǎng)度就是PQ長(zhǎng)度的最小值，由三角形相似計(jì)算得，由此可判斷；對(duì)于D，由已知得點(diǎn)R到直線的距離等于它到點(diǎn)D的距離，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)R的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線的拋物線，以AD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AD的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，設(shè)與直線AN平行且與拋物線相切的直線l的方程為：，聯(lián)立，整理得，由，解得，再根據(jù)平行線間的距離可求得PR長(zhǎng)度的最小值．【詳解】解：對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)N，連接AN，，則，，所以平面，平面，又平面，平面，，所以平面平面，又點(diǎn)P在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，所以點(diǎn)P的軌跡為線段AN，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為，故A不正確；對(duì)于B，連接DQ，因?yàn)镼在底面ABCD上，，所以，解得，所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的圓，如下圖所示，所以點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)D作于，交點(diǎn)Q的軌跡于，此時(shí)的長(zhǎng)度就是PQ長(zhǎng)度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，所以PQ長(zhǎng)度的最小值為，故C正確；，對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)R到平面的距離等于它到點(diǎn)D的距離，由正方體的特點(diǎn)得點(diǎn)R到直線的距離等于點(diǎn)R到平面的距離，所以點(diǎn)R到直線的距離等于它到點(diǎn)D的距離，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)R的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線的拋物線，以AD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AD的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，直線AB的方程為，直線AN的方程為，則拋物線的方程為，設(shè)與直線AN平行且與拋物線相切的直線l的方程為：，聯(lián)立，整理得，，解得，所以直線l的方程為：，則直線AN與直線l的距離為：，所以PR長(zhǎng)度的最小值為，故D正確，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．）13.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知甲、乙能破譯的概率分別為和，則密碼被成功破譯的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件“甲能破譯密碼”，事件“乙能破譯密碼”，則事件與相互獨(dú)立，且，則密碼被成功破譯的概率為：.故答案為：.14.已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線的距離是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，，由，易得，所以，所以點(diǎn)到直線距離.故答案為：.15.，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)切圓圓心，若的面積是的面積的4倍，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及條件求出a與c的關(guān)系式，再求出e.【詳解】設(shè)橢圓方程為：，如圖，設(shè)P（m，n），，，的周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓I的半徑為r，則由橢圓的定義可得l＝2a＋2c，∴，，∴，解得：，；故答案為：．16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上且在軸上方，若線段的中點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，，，再利用余弦定理以及同角三角關(guān)系求斜率.【詳解】由雙曲線可知，設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，，由題意可知：點(diǎn)在第一象限，則，，可得，且為銳角，則，可得，所以直線的斜率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與軸相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】17.18或【解析】【分析】（1）根據(jù)題干假設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入題干信息即可求解.（2）討論過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，是否與圓相交，弦長(zhǎng)是否為；斜率存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，求解直線的方程即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入題干得：，解得：則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線為：，此時(shí)圓心到直線的距離為所以相切，與題干不符；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即，此時(shí)圓心到直線的距離為，又因?yàn)橄嘟坏南议L(zhǎng)為，則.所以，解得或則直線的方程為：或18.如圖，在三棱錐中，平面，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，設(shè)，直線與直線所成的角為（1）求的長(zhǎng)；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，設(shè)，利用空間向量結(jié)合異面直線夾角運(yùn)算求解；（2）求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：平面，且，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，由題意可得：，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.實(shí)行“垃圾分類(lèi)”能最大限度地減少垃圾處置量，實(shí)現(xiàn)垃圾資源利用，改善垃圾資源環(huán)境．2019年下半年以來(lái)，全國(guó)各地區(qū)陸續(xù)出臺(tái)了“垃圾分類(lèi)”的相關(guān)管理?xiàng)l例．某部門(mén)在某小區(qū)年齡處于歲的人中隨機(jī)地抽取人，進(jìn)行了“垃圾分類(lèi)”相關(guān)知識(shí)掌握和實(shí)施情況的調(diào)查，并把達(dá)到“垃圾分類(lèi)”標(biāo)準(zhǔn)的人稱(chēng)為“環(huán)保族”，得到如圖所示各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．組數(shù)分組“環(huán)保族”人數(shù)占本組的頻率第一組450.75第二組25第三組200.5第四組0.2第五組30.1（1）求的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）；（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人進(jìn)行專(zhuān)訪，并在這6人中選取2人作為記錄員，求選取的2名記錄員中至少有1人年齡在中的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接由頻率分布直方圖求出即可；（2）由頻率分布直方圖中平均值的公式求出；（3）古典概率，先求符合條件的人數(shù)，再求基本事件總數(shù)，符合條件的事件數(shù)量，最后求概率.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，【小問(wèn)2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值：【小問(wèn)3詳解】從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人進(jìn)行專(zhuān)訪，中選：人，分別記為，中選：人，分別記為，并在這6人中選取2人作為記錄員，，基本事件總數(shù)，選取的2名記錄員中至少有1人年齡在包含的基本事件：，基本事件數(shù)，選取的2名記錄員中至少有1人年齡在中的概率20.已知橢圓（）的上下左右四個(gè)頂點(diǎn)分別為，軸正半軸上的點(diǎn)滿(mǎn)足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且和的面積相等，求直線的方程．（3）在（2）的條件下，求當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，的面積．【答案】20.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為21.或22.【解析】【分析】（1）由及橢圓的定義即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).（2）由與的面積相等知點(diǎn)到直線的距離相等，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得直線方程.（3）由（2）求得的直線方程，聯(lián)立橢圓，再由面積公式即可求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知，可得，則，，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線，即，由與的面積相等知點(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，所以直線的方程為或．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓相交，若直線的傾斜角為鈍角，則，此時(shí)直線的方程為，即聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，坐標(biāo)分別為，，則，所以的面積，故所求的面積為．21.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，線段上的點(diǎn)，且，當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且D為BC的