2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠港中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠港中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．32．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．4．已知三棱錐的體積為2，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點(diǎn)，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．給出下列三個(gè)命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．若函數(shù)（其中，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，，其相鄰一條對(duì)稱軸方程為，該對(duì)稱軸處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象()A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．88．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．11．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．12．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)___________．14．設(shè)平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為_(kāi)_____.15．雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為8，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______，離心率為_(kāi)_______.16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且．（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．求C；若，求，的面積19．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響，對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)w取到最大值？參考公式：20．（12分）聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬(wàn)噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸，問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（2）設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.2、B【解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解：，.當(dāng)時(shí),，此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),，此時(shí)成立，符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.3、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.4、A【解析】

根據(jù)是中點(diǎn)這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．5、C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對(duì)于命題①,因?yàn)?所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對(duì)于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對(duì)于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論．【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中，的圖象過(guò)點(diǎn)，，可得，，解得：．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，可得：，可得函數(shù)解析式為：故把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．7、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)?，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，可化為，因?yàn)?，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，9、C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.11、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí)，不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，但，錯(cuò)誤；對(duì)于，由，知：，又，，正確；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題可得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得．14、【解析】

根據(jù)已知條件計(jì)算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、22【解析】

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)周長(zhǎng)為，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為：.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故，即實(shí)軸長(zhǎng)為，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.16、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平面⊥平面，∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面（Ⅱ）∵平面∴，又∵∴∴∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則∴平面∴∥，∴四邊形是矩形設(shè)，得：，又∵，∴，從而，過(guò)作于點(diǎn)，則∴是與平面所成角∴，∴與平面所成角的正弦值為考點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面所成的角．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的常考題型，較難．本題也可以用向量法來(lái)做：用向量法解題的關(guān)鍵是；首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系，正確求解平面的一個(gè)法向量．注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真．≌18、(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，結(jié)合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得，結(jié)合范圍，可求A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)最大．【解析】

（1）方法一：令，先求得關(guān)于的回歸直線方程，由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測(cè).【詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關(guān)于的線性回歸方程是即，故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二：因?yàn)椋?，，，，所以，故關(guān)于的線性回歸方程是，（2）年利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）能夠滿足.【解析】

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格；（2）根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量，即可作出判斷.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由題意可知，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由（1）中表格可得，，，，.由上述計(jì)算結(jié)果可知，所求回歸直線方程為，利用回歸直線方程，可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為：（萬(wàn)噸），因?yàn)?，故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測(cè)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）令，求出的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論；（2）對(duì)分類討論，分別求出以及的