2021年天津市高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題答案經(jīng)管類

天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參照解答(經(jīng)管類)填空題（本題15分，每小題3分）:設(shè)是持續(xù)函數(shù)，且，則設(shè)，若則設(shè)是持續(xù)函數(shù)，且其中由x軸、y軸以及直線圍成，則選取題（本題15分，每小題3分）:設(shè)則在處，(B)，(C)，(D)不可導(dǎo).答：(A)設(shè)函數(shù)具備二階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程已知?jiǎng)t(A)在某個(gè)鄰域中單調(diào)增長(zhǎng)，(B)在某個(gè)鄰域中單調(diào)增少，(C)在處獲得極小值，(D)在處獲得極大值.答：(C)圖中曲線段方程為，函數(shù)在區(qū)間上有持續(xù)導(dǎo)數(shù)，則積分表達(dá)(A)直角三角形AOB面積，(B)直角三角形AOC面積，(C)曲邊三角形AOB面積，(D)曲邊三角形AOC面積.答：(D)設(shè)在區(qū)間上函數(shù)且令則(A)(B)(C)(D)答：(C)設(shè)函數(shù)持續(xù)，且，則取值為答：(B)(7分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，求極限解由導(dǎo)數(shù)定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(7分)設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，記，求導(dǎo)數(shù)，并討論在處持續(xù)性.解由已知極限知從而有當(dāng)時(shí)，從而有由于因此，在處持續(xù).當(dāng)時(shí),在處，由有因此，而故在處持續(xù).(7分)已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)是三次多項(xiàng)式，其圖像如下圖所示：（Ⅰ）關(guān)于函數(shù),填寫下表:單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線拐點(diǎn)（Ⅱ）若還懂得極大值為6，點(diǎn)在曲線上，試求出表達(dá)式.解（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間（-2,0）,單調(diào)減區(qū)間,(0,2)極大值點(diǎn)0極小值點(diǎn)-2，2曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線拐點(diǎn)（Ⅱ）設(shè)則由得故從而再由得因此(7分)設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足(Ⅰ)研究在區(qū)間單調(diào)性和曲線凹凸性.(Ⅱ)求極限解(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，有故在區(qū)間單調(diào)增長(zhǎng).從而當(dāng)時(shí)，也單調(diào)增長(zhǎng).可見，曲線在區(qū)間向下凸.(或當(dāng)時(shí)，可得可見，曲線在區(qū)間向下凸.)(Ⅱ)由題設(shè)知，應(yīng)用洛必達(dá)法則(7分)設(shè)在上具備持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且試證證令則在持續(xù)，且對(duì),又由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，令則在上持續(xù)，且故有因而于是在上單調(diào)增長(zhǎng)，取，即得所證結(jié)論成立.(7分)(Ⅰ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上持續(xù)，為偶函數(shù)，滿足條件(為常數(shù)).證明:;(Ⅱ)設(shè)其中為正整數(shù)，計(jì)算定積分.解(Ⅰ)對(duì)于上式右邊第一種積分，令有因此(Ⅱ)由于而當(dāng)時(shí)，因而，容易驗(yàn)證,是偶函數(shù).應(yīng)用(Ⅰ)結(jié)論(7分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù)，并且對(duì)任一，存在使得證明：存在使證法一應(yīng)用閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)最值定理，存在，使由題設(shè)，對(duì)于，存在，使得可見當(dāng)前證明：事實(shí)上，如果由題設(shè)，存在，使此與“是在上最小值”矛盾.綜上，得到結(jié)論：于是，應(yīng)用介值定理，存在使證法二任取一種由題設(shè)存在使從而存在使如此繼續(xù)下去，可得數(shù)列使由于有界無窮數(shù)列必有一種收斂子數(shù)列，可設(shè)存在一種，使由持續(xù)性，證畢.(7分)設(shè)函數(shù)具備二階導(dǎo)數(shù)，且直線是曲線上任意一點(diǎn)處切線，其中記直線與曲線以及直線所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為試問為什么值時(shí)獲得最小值.解切線方程為即于是可見，在持續(xù)，在可導(dǎo).令,由于在內(nèi)有唯一駐點(diǎn)并且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因而，在處獲得最小值.十一.(7分)設(shè)（1）閉曲線是由圓錐螺線：，（從0變到）和直線段構(gòu)成，其中，；（2）閉曲線將其所在圓錐面劃提成兩某些，是其中有界某些.在面上投影區(qū)域?yàn)?(Ⅰ)求上覺得曲頂曲頂柱體體積;(Ⅱ)求曲面面積.解(Ⅰ)在面上投影區(qū)域?yàn)?，在極坐標(biāo)系下表達(dá)為: 故所求曲頂柱體體積為 (Ⅱ)所在圓錐面方程為，曲面上任一點(diǎn)處向上一種法向量為故所求曲面面積 十二.(7分)設(shè)圓含于橢圓內(nèi)部，且圓與橢圓相切于兩點(diǎn)(即在這兩點(diǎn)處圓與橢圓均有公共切線).(Ⅰ)求與滿足等式；(Ⅱ)求與值，使橢圓面積最小解(Ⅰ)依照條件可知，切點(diǎn)不在軸上.否則圓與橢圓只也許相切于一點(diǎn).設(shè)圓與橢圓相切于點(diǎn)，則既滿足橢圓方程又滿足圓方程，且在處橢圓切線斜率等于圓切線斜率，即.注意到因而，點(diǎn)應(yīng)滿足由(1)和(2)式，得(4)由(3)式得代入(4)式化簡(jiǎn)得或(5)(Ⅱ)按題意，需求橢圓面積在約束條件(5)下最小值.構(gòu)造函數(shù)令(6)·a?(7)·b，并注意到，可得.代入(8)式得，故從而由此問題實(shí)際可知，符合條件橢圓面積最小值存在，因而當(dāng)時(shí)，此橢圓面積最小.