等差數(shù)列的前N項(xiàng)和全國(guó)說課市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

江蘇省南通中學(xué)黃興豐等差數(shù)列前n項(xiàng)和（第一課時(shí)）1/30一、教材分析教材地位、作用教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

2/30教材地位與作用數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象函數(shù)，是一個(gè)主要數(shù)學(xué)模型。人們往往經(jīng)過離散現(xiàn)象認(rèn)識(shí)連續(xù)現(xiàn)象，所以就有必要研究數(shù)列。高中數(shù)列研究主要對(duì)象是等差、等比兩個(gè)基本數(shù)列。本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式過程中，采取了：1.從特殊到普通研究方法；2.等差數(shù)列基本元表示；3.逆序相加求和。不但得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，而且對(duì)以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有一定啟發(fā)，也是一個(gè)慣用數(shù)學(xué)思想方法。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著親密聯(lián)絡(luò)。

3/30教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷公式推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到普通研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

取得發(fā)覺成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)習(xí)態(tài)度，提升代數(shù)推理能力。

4/30教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。取得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思緒是難點(diǎn)。5/30教學(xué)過程分為問題展現(xiàn)階段、探索與發(fā)覺階段、應(yīng)用知識(shí)階段。探索與發(fā)覺公式推導(dǎo)思緒是教學(xué)重點(diǎn)。假如直接介紹“逆序相加”求和，無疑就像波利亞所說“帽子里跳出來兔子”。所以在教學(xué)中采取以問題驅(qū)動(dòng)、層層鋪墊，從特殊到普通啟發(fā)學(xué)生取得公式推導(dǎo)方法。應(yīng)用公式也是教學(xué)重點(diǎn)。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采取設(shè)計(jì)變式題教學(xué)伎倆，經(jīng)過“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三個(gè)層次來促進(jìn)學(xué)生新認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成。

二、教法分析6/30三、學(xué)法分析建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)過程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉背景相聯(lián)絡(luò)。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)形成和發(fā)展，經(jīng)過觀察、操作、歸納、思索、探索、交流、反思參加學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和了解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。

7/30三、教學(xué)過程問題展現(xiàn)階段探究發(fā)覺階段公式應(yīng)用階段8/30問題展現(xiàn)

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？9/30設(shè)計(jì)說明源于歷史，富有些人文氣息.圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.承上啟下，探討高斯算法.10/30探究發(fā)覺學(xué)生敘述高斯首尾配正確方法

學(xué)生對(duì)高斯算法是熟悉，知道采取首尾配正確方法來求和，不過他們對(duì)這種方法認(rèn)識(shí)可能處于模仿、記憶階段。

為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法深入了解，設(shè)計(jì)了下面問題。

11/30探究發(fā)覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和問題，不能簡(jiǎn)單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和方法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21等差中項(xiàng)。經(jīng)過前后比較得出認(rèn)識(shí)：高斯“首尾配對(duì)”算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)情況求和。進(jìn)而提出有沒有簡(jiǎn)單方法？

12/30探究發(fā)覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。13/30探究發(fā)覺問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191取得算法：14/30設(shè)計(jì)說明

幾何直觀能啟迪思緒，幫助了解，所以，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和了解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要方面。只有做到了直觀上了解，才是真正了解。所以在教學(xué)中，要勉勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思索，揭示研究對(duì)象性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。

15/30探究發(fā)覺從求確定前n個(gè)正整數(shù)之和到求普通項(xiàng)數(shù)前n個(gè)正整數(shù)之和，意在讓學(xué)生體驗(yàn)“逆序相加求和”這一算法合理性，從心理上完成對(duì)“首尾配對(duì)求和”算法改進(jìn)。問題2：求1到n正整數(shù)之和。

16/30探究發(fā)覺問題3：因?yàn)榍懊驿亯|，學(xué)生輕易得出以下過程：

追問學(xué)生：為何在等差數(shù)列中有圖形直觀等差數(shù)列性質(zhì)17/30探究發(fā)覺問題4：假如蕭華同學(xué)當(dāng)前還不知道等差數(shù)列這個(gè)性質(zhì)，你又該怎樣解釋呢？

在圖與式啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生用項(xiàng)（首項(xiàng)或尾項(xiàng)）、公差兩個(gè)基本元表示等差數(shù)列。18/30探究發(fā)覺問題4：19/30設(shè)計(jì)說明

（方法１）

許多教學(xué)設(shè)計(jì)在介紹“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教課時(shí)，先復(fù)習(xí)或介紹等差數(shù)列性質(zhì)，然后在此基礎(chǔ)上采取逆序相加推導(dǎo)公式。

（方法２）《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（上）（人民教育出版社）介紹推導(dǎo)方法是先把等差數(shù)列用項(xiàng)（首項(xiàng)、尾項(xiàng)）、公差兩個(gè)基本元表示，然后采取逆序相加推導(dǎo)公式。20/30設(shè)計(jì)說明有觀點(diǎn)認(rèn)為方法１直接干脆，要比喻法２好。我們之所以濃墨重彩引出方法２，絕不是一味迷信教材人云亦云，而是源于以下考慮：方法１是以學(xué)生掌握了等差數(shù)列性質(zhì)（教材內(nèi)容一直未出現(xiàn)，增加了學(xué)生負(fù)擔(dān)）為基礎(chǔ)，起點(diǎn)比較高，因而方法顯得抽象一些，不輕易被學(xué)生了解和信服。方法２關(guān)鍵是等差數(shù)列基本元表示——只要給定首項(xiàng)（尾項(xiàng)）和公差就能夠確定該等差數(shù)列，反應(yīng)了等差數(shù)列本質(zhì)，能夠深入促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列了解。而且方法僅以等差數(shù)列定義為基礎(chǔ)，乃是學(xué)生熟悉背景知識(shí)，因而顯得比較直觀，令人信服。21/30設(shè)計(jì)說明以簡(jiǎn)馭繁，平實(shí)近人，返樸歸真，循循善誘，引人入勝。

一言而蔽之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力做到：22/30公式應(yīng)用選取公式變用公式知三求二23/30公式應(yīng)用750080008500900095001000010500例１某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員７天里天天訓(xùn)練量（單位：m）是：這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員７天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生能夠從首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式1，也能夠從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。到達(dá)學(xué)生熟悉公式要素與結(jié)構(gòu)教學(xué)目標(biāo)。經(jīng)過兩種方法比較，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該依據(jù)信息選擇適當(dāng)公式，方便于計(jì)算。選取公式24/30公式應(yīng)用變用公式例２等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…前多少項(xiàng)和為54？本例已知首項(xiàng)，前n項(xiàng)和、而且能夠求出公差，利用公式2求項(xiàng)數(shù)。實(shí)際上，在兩個(gè)求和公式中各包含四個(gè)元素，從方程角度，知三必能求余一。

變式練習(xí)25/30公式應(yīng)用知三求二本例是使用等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式求未知元。能夠使用公式2，先求出首項(xiàng)，再使用通項(xiàng)公式求尾項(xiàng)。也能夠使用公式1和通項(xiàng)公式，聯(lián)列方程組求解。實(shí)際上，在求和公式、通項(xiàng)公式中共有首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、尾項(xiàng)、前n項(xiàng)和五個(gè)元素，假如已知其中三個(gè)，聯(lián)列方程組，就可求其余二個(gè)。例３26/30課堂小結(jié)回顧從特殊到普通研究方法；體會(huì)等差數(shù)列基本元表示方法，逆序相加算法，及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想；掌握等差數(shù)列兩個(gè)求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。27/30作業(yè)布置A必做題：書本