2024高考數(shù)學(xué)講義：三角函數(shù)及其解題

2024高考數(shù)學(xué)講義：三角函數(shù)及其解題

目錄

1.任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)................................1

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式...............................10

3.三角恒等變換...................................................22

4.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)..........................................41

5.函數(shù)曠=4sin(ox+s)的圖象......................................55

6.正弦定理和余弦定理............................................68

7.解三角形的實(shí)際應(yīng)用............................................80

1.任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.了解任意角的概念和弧度制的概

考情分析：任意角三角函數(shù)的定

念.

義及應(yīng)用是高考考查的熱點(diǎn)，題型以選

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.

擇題或填空題為主.

3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、直觀想象.

(正弦、余弦、正切)的定義.

分步落實(shí)

?o精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書P67

I整知識(shí)I.........

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)

位置所成的圖形.

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角W.

(2)分類

按終邊位置不同分為象限魚和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)

集合S={/舊=a+A?360°，Jtezj.

［注意］終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于生彼氐的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.弧度記作

rad.

(2)公式

\a\=^(弧長用1表示)

角a的弧度數(shù)公式

①1—innrad②1rad—

1OV

角度與弧度的換算

望，

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式S=Z/r=Z1aIr2

［注意］利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，栗注意角的單位必須是弧度.

3.任意角的三角函數(shù)

三角

正弦余弦正切

函數(shù)

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交弓二點(diǎn)尸(x,y),那么

定義L叫做a的正弦，記上叫做a的余士叫做a的正

作sina弦，記作cosa

切，記作tana

+++

I+——

象

I]一一+

限

r——+—

符

號(hào)I全正，n正弦，in正切，w余弦

訣

I.三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.任意角的三角函數(shù)的定義（推廣）

設(shè)尸（x,y）是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離為r,則sin

VXV

a=；,cosa=",tan（#0）.

3.象限角與軸線角

（l）象限角

{a1247T<a<2Aor+yEZj

{a|2Air+至<a<2krn+irfkGZJ

卜|2Air+ir<a<2Air+號(hào)Ezj

第四象限角{?|2而+藜<a<2Air+2Tr,AEZ}

（2）軸線角

/（終邊落在與軸上的角）{a|a=gr,AEZ）

線

角f（終邊落在y軸上的角]卜卜=’+日修

的

集

(

E及邊落在坐標(biāo)軸上的角）{a[a=^"ez}

I練基礎(chǔ)I

i.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（I）銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.（）

（2）角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).（）

（3）不相等的角終邊一定不相同.（）

（4）若a為第一象限角，則sina+cosa>l.（）

答案：（l）X⑵J（3）X（4）V

2.（必修4P5練習(xí)T3改編）角一870°的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C[-870°=-2X360°-150°,-870°和一150°的終邊相同，所以一

870°的終邊在第三象限.]

3.（必修4P20習(xí)題A組T2改編）已知角a的終邊過點(diǎn)尸（8機(jī)，3）,且cosa

4

則的值為（

5，m)

A--2B-2

C.一當(dāng)D,當(dāng)

QyyjA1

［由已知得加＜且2I°2=_不，解得機(jī)=一

A0q(8〃力、2+325524

47t

4.在0到2n范圍內(nèi)，與角a=一了終邊相同的角是.

4兀4n

解析：與角a=—亍終邊相同的角是2An+(—亍)(ZdZ),令Z=l,

4H2兀

可得與角a=一丁終邊相同的角是了.

較安.如

口:3

5.已知扇形的圓心角為60°,其弧長為2兀，則此扇形的面積為

JT

解析：設(shè)此扇形的半徑為r,由題意得不r=2n,

所以r=6,

所以此扇形的面積為;x2兀*6=6兀

答案：6兀

微點(diǎn)撥、多維練，研透命題點(diǎn)。

V學(xué)生用書P68

象限角及終邊相同的角自練型

［題組練透］

1.設(shè)集合M="=與180。+45°,

N=

卜卜=亨180。+45°,攵/，那么()

A.M=NB.MUN

C.N=MD.MCN=。

L

K

--

B［由于M中,2?180°+45°=%90°+45°=(2^+1)-45°，2k+\

k

是奇數(shù)；而N中，尤=1?180°+45°=M5°+45°=(%+1>45°,Z+1是整

數(shù)，因此必有M=N,故選B.]

2.（多選）若角a是第二象限角，則?是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

JI

AC是第二象限角，二亍+2攵況＜+2攵n,左GZ,

JTaJi

...工+女n〈2＜爹+女兀，kGZ.

a

當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，y是第一象限角；

a

當(dāng)Z為奇數(shù)時(shí)，y是第三象限角.]

3.終邊在直線＞=小x上的角的集合為.

r-冗4冗

解析：,在（0,2JT）內(nèi)終邊在直線x上的角是行，—,

,冗4nJi4冗

與角W,~終邊相同的角分別為2%五+至，2kn+~=（2攵+1）五十

JT

■y,kRZ,

,終邊在直線y=Sx上的角的集合為

jaa=q+E,.

答案：）aa=^+E,k￡Z\

I?練后悟通

1.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟

（1）先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.

（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的一360°?360。范圍內(nèi)的角a

和角從寫出最簡區(qū)間.

（3）起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角a,￡再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.

2.確定〃a,彳（ZWN*）的終邊位置的方法

(1)將e的范圍用不等式(含有人)表示.

(2)兩邊同除以n或乘以n.

0

(3)對(duì)人進(jìn)行討論，得到刀或〃W〃GN*)所在的象限.

［注意］注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°

可得角a+180°的終邊，類推可知a+匕180°(keZ)表示終邊落在角a的終邊所

在直線上的角.

扇形的弧長、面積公式講練型

已知扇形的圓心角是a,半徑為R,弧長為/.

(1)若a=60°,/?=10cm,求扇形的弧長/；

(2)若扇形的周長為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面

積最大？

解析：(l)a=60°=y,

n10JT

/=a7?=10X—=—y—(cm).

⑵由已知得，l+2R=20,則/=20—2/?,0</?<10,

所以S=g//?=1(20—2H)R=10H—R2=一(R—5)2+25,

所以當(dāng)R=5時(shí)，S取得最大值25,

此時(shí)/=10cm,o=2rad.

歸物空

弧長、扇形面積問題的解題策略

(1)明確弧度制下弧長公式/=|a|r,扇形的面積公式是S=T/r=||。|，(其中

/是扇形的弧長，。是扇形的圓心角).

(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)

量.

［注意］運(yùn)用弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧

度制.

變式訓(xùn)練

1.若扇形的圓心角a=120°,弦長A8=12cm,則弧長/=cm.

解析：設(shè)扇形的半徑為rem,如圖.由圖可知sin60°

=~,解得廠=4小cm,

一2JTt-8、行

所以/=|如r=萬-X4\3=n(cm).

宏安，封包

木：3

2.已知扇形的面積為2小，扇形的圓心角的弧度數(shù)是小，則扇形的周長

為?

解析：設(shè)扇形的弧長為/,半徑為R,由題意可得：

1/R=2小,<=\[3,

解得：1=2小,R=2,則扇形的周長為：/+2R=4+2小.

答案：4+2小

任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用多維型

角度一三角函數(shù)值符號(hào)的判斷

區(qū)何(2020.全國卷U)若a為第四象限角，則()

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

jr

D[因?yàn)閍為第四象限角，所以-2+2E<a<2E,攵WZ,故一兀+4E<2a<4E,

keZ,所以2a為第三、四象限角或y軸負(fù)半軸上的角.所以cos2a的正負(fù)不確

定，sin2a<0,故選D.]

口歸納升華

三角函數(shù)值符號(hào)的判斷方法

要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再

根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果角不能確定所在象限,

那就要進(jìn)行分類討論求解.

角度二利用三角函數(shù)定義求值

EI(1)函數(shù)y=k)ga(x-3)+2(a>0且的圖象過定點(diǎn)P,且角a的終邊

過點(diǎn)P,則sina+cosa的值為()

7

A.5B-5

在

C.D.|^/5

5

(2)若角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(f，加)(*0)且sin。=乎m,則cos6的值為

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=k)ga(x—3)+2的圖象過定點(diǎn)P(4,2),且角a的終

邊過點(diǎn)P,所以x=4,y=2,r=2小,所以sina=坐,cos。等，所

以sina+cosa=坐=1小.故選D.

(2)由已知/=、3+"?2,所以sin=4m.

因?yàn)椤▃WO,所以/〃=士,所以「=弋3+病=2啦.

訴唧〃—小__近

所以cos夕—2啦4-

答案：(1)D(2)一當(dāng)

爭歸納升華

三角函數(shù)定義問題的解題策略

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角a的三角函數(shù)值.先求產(chǎn)到原點(diǎn)

的距離，再用三角函數(shù)的定義求解.

(2)已知角a的某三角函數(shù)值，可求角。終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，

可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值(如例3).

(3)已知角a的終邊所在的直線方程或角a的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可

求角a終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo).

變式訓(xùn)練

1.已知角a的終邊在直線y=-x上，月.cosa<0,則tana=

解析：如圖，由題意知，角a的終邊在第二象限，在其上[

任取一點(diǎn)P(x,y),則>=-x,由三角函數(shù)的定義得tana=)=―

-x

答案：一1

2.在（0,2兀）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為

解析：如圖所示，找出在（0,2口）內(nèi)，使sinx=cosx的

抬口范.5“5n啦

x值，sina=cos丁=2，sm=cos=一卞.

根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角

［友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（二十一）”，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目內(nèi)容

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2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

考情分析：同角三角函數(shù)基本關(guān)

_ix.7?01sina

式：z

sina+cosa—1,cosa—tana.系式的應(yīng)用和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用仍將是高

2.借助單位圖的對(duì)稱性，利用定義考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填

推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式.(a±E,a土乃的正弦，空題.

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.

余弦，正切).

?等分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)

V學(xué)生用書P69

I整知識(shí)I.............................................................>?

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos%=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=，詈(其中3,kGZ).

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

六

組數(shù)二三四五

2Z兀

三匹4-

+a十

角7c+a~aTt-a2—2

（代

aa

Z）

sinsincos_cos_

正弦

asinasinaa_a_a

coscos_sin

余弦

acosaacosaasina

tantan//

正切

aatanatana

用常用結(jié)論

1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指方的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，

變與不變指函數(shù)名稱的變化.

2.sina+cosa,sina-cos。與sinacosa的關(guān)系

(sin?！纁osa)2=l±2sinacosa；

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2；

(sina+cosa)2—(sina-cosa)2=4sinacosa.

對(duì)于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子

的值，可求其余兩式的值.

I練基礎(chǔ)I................................................?

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)

(1)若。，，為銳角,則si/a+cos?夕=1.()

ein(i

(2)若a￡R,則tawz=?^恒成立.()

(3/由(兀+00=—5足］成立的條件是。為銳角.()

答案：(l)x(2)x(3)x

4

2.(必修4P29B組T2改編)已知a為銳角，且sina=q,則cos(兀+團(tuán)=

()

A［因?yàn)閍為銳角，所以cosa=Ajl—sin2a=

3

所以cos(兀+a)=-cosa=一5J

3.已知tana=-3,貝！Jcc^a—sin2a=()

22

、ij一jw、，▼，0c、cosa-sina1-tan2a

B[由同角二角函數(shù)關(guān)系/cosa—sina=c°s2a+sin2a=而忑=

1—94

7+9=-5J

4.(l)sin(-y^=；

(2)tan330°=.

(4nA(JIAJI、h

解析：(l)sin[--§-)=-sin[n+yj=sin-y=2?

(2)tan330°=tan(360°-30°)=tan(-30°)=-tan30°=一個(gè).

答案:⑴坐⑵一坐

1—cos^2^

5.(必修4P21練習(xí)T4改編)化簡：cos2/an20=-----

1—cos?2。sin22^

解析:=sin20,

cos2aan23sin29

cos2夕

cos20

答案：sin2。

6暫分類突破微點(diǎn)撥、多維練，研透命題點(diǎn)、.

V學(xué)生用書P70

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式講練型

EB〕⑴若/U)=sin(條+，+1，且火2020)=2,則式2021)=.

⑵已知cos一。)=。，則COS普+@+sin序一.

解析：(1)因?yàn)閄2020)=sin停X2020+J+l=sin(l010n+?)+1=

sina+l=2,

所以sina=l,cosa=0.

所以人2021)=sinlyX2021+J+l=sin(1010兀+y+a)+l=cosa

+1=1.

(2)cos=cos兀-像-6

所以cos普+6)+sin停一。)

=—a+?=0.

答案：(1)1(2)0

母歸納升華

1.誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟

(1)負(fù)化正：將負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)；

⑵大化?。簩⒋笥?60°的角的三角函數(shù)化為0°?360°角的三角函數(shù);

(3)小化銳：將大于90°的角的三角函數(shù)化為0°?90°角的三角函數(shù)；

(4)銳求值：得到0。?90°角的三角函數(shù)后直接求值.

也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了."

2.常見的互余和互補(bǔ)的角

常見的互余關(guān)系有W—a與不+a,-y+a與石~a,彳+a與彳—a

等；常見的互補(bǔ)關(guān)系有T+。與胃-亍+。與?一。等.

變式訓(xùn)練

1.sin(-1200°)cos1290°=.

解析：原式=-sin1200°cos1290°

=-sin(3X360°+120°)cos(3X360°+210°)

=—sin120°cos210°

=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)

=sin60°cos30°

=齒乂齒=

-22-

答案：i3

1JT

2.=3則cos(a+彳)=

解析：因?yàn)閟in(a—5,a+,=刊+(a—1),

1

所以

cos3,

答案：一；

(it,A?兀、

cosl^+aIsin\~^~~a\

3.已知犬a(chǎn)尸品

(一兀―a)tan(兀―a)，則d—弩）的值為

解析：因?yàn)榧樱?c°s（―…）tan（La）

-sina(—cosa)

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式多維型

角度一公式的直接應(yīng)用

國萬1（1）已知角a是第二象限角,且滿足sin怎+a）+3cos（a—兀）=1,則

tan（兀+a）等于（）

A.小B.一小

C.一坐D.-1

3

（2）（2020?北京市適應(yīng)性測試）已知a是第四象限角，且tana=—貝ijsina

=()

33

B.

55

44

C.D.

55

4

（3）（多選）若sina=q,且a為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

3

A.tan?=|B.cosa=§

C.sina+cosa=|D.sin。-cosa=一§

(1)B(2)A(3)AB［由sin+3cos(a—兀)=1,

得cosa—3cosa=1,/.cosa=-g,

??,角a是第二象限角，???sina=3

sina

tan(i+a)tn==-V3.

/.7=aacosa

-e、？sina3

(2)因?yàn)閠ana=-------=一彳,

''cosa4

4

所以cosa=-gsina①，sin2a+cos2a=1②.

a

由①②得sii?a=x，又a是第四象限角，

3

所以sina<0,則sina=-g,故選A.

43

(3)Vsin且。為銳角??.cosa=yjI—sin2a

5'

4

sina54

..tana=cosa2=3，故AB正確.

5

.,.sina+cosa=1+|78

=5若,

3|羊Y，故CD錯(cuò)誤.1

sina—cos5

爭歸納升華

同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法

(1)利用si/a+cos2a=1可實(shí)現(xiàn)a的正弦、余弦的互化，利用舞=tana

可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.

(2)由一個(gè)角的任意一個(gè)三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值,

因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判

斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論.

角度二sina,cosa的齊次式問題

廠中；「jsina+3cosa

一已知3cosa—sina則sino^-sin小?=

解析：法一：由已知可得sina+3cosa=5(3cosa-sina),即6sina=12cos

a,sina=2cosa,

sinQ

所以tana==2.

cosa

“b.i.sin*2a-sinacosa

從而sim—sinacos(z=―—；=

sina+cosa

si/a—sinacosa

cos%tan2a-tana22-2_2

sin2a+cos2atan2a+l22+15

COS，2

sin3cosa

一一z__-rsina+3cosacosatancc+3

法二：由已知可得zn^------：—=7-----------：—=5,整理得tan

3cosa-sina3cosa-sina3—tana

cosa

sin2a-sinacosa

s?ir2ra-sm,acosa____C2OS%____

a=2.從而sin2a—sinacos

sin2a+cos2asin2a+cos2a

cos5-a

tara—tana22—22

tan2a+1=4=5.

2

答案：5

?歸納升華

三角函數(shù)式中“弦化切”常見形式及解決辦法

asina+be。3a

?|alana+6|

atina+dcosa

1(ctana+dJ

（c.d不同時(shí)為0）

(sina代人tana

-----=tana

Icom)求值,

osin2a+6cos2a+esinaco?a

atan2a+6+etana

csin2a+dco?2a+「inaco3a

ctan2a+d+/tana

(c.d./不同時(shí)為。)

；解題方法同

分母舟作I

asin2a+6cos2aicsinacosaasin2a+6cos2a+c?inaco8a]

22

sin2a+cos2al=sina+co8a

角度三"sina土cosa,sinacosa”之間的關(guān)系

ET4]已知a￡(一兀，0),sina+cosa=；.

⑴求sina—cosa的值;

sin2a+2sin2a

⑵求L的值.

解析：⑴由sina+cosa=g,

平方得sin2a+2sinacosa+cos2a,

24

整理得2sinacosa=一十.

(sina-cosa)2=1-2sinacos]=石.

由a￡(一兀，0),知sina<0,

又sina+cosa>0,

cosa>0,貝!1sina—cosa<0,

故sina—cosa=-].

sin2?+2sin2a2sina(cosa+sina)

(2)j-：

'1—tana〔sina

cosa

2sinacosa(cosa+sina)

cosa—sina

241

~25X5_24

~~=-T75-

5

平歸納升華

正弦、余弦“sina土cosa,sina-cosa”的應(yīng)用

sina±cosa與sina-cosa通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即(sina±cosa)2=1±2sin

.(sina+cosa)2~1.1—(sina-cosa)2

acosa,sinacosa=,sinacosa=------------耳-------.

因此在解題中已知1個(gè)可求另外2個(gè).

變式訓(xùn)練、

1.已知。是第四象限角，sina=一以，貝！Jtana等于()

A-ABA

A.BB.]3

「12-12

c--TD-T

12

C[因?yàn)?。是第四象限角，sin。=一記,

所以cosa>0,cosa=y/l—sin2a=卷.

sina12

故tana=------=-7".1

cosa5」

_jrjr

2.已知tana=3,則sin傷—a)-cos(x+a)的值為()

A33

A-loB--To

33

C.5D.

、、7171

A[法一：依題意，sin(2—a)?cos(]+a)

—cosasina—tana3

=-c°sa.sma=cos2a+sin2a=l+tan2<z=~U)，

故選B.

法二：因?yàn)閠ana=3,所以sina=3cosa,又sir?、+cos2a=i.所以cos2a=^,

而sin(2—a>cos(5+a)

3

=-cosa-sina=-3cos2a=-.故選B.]

3.(多選)(2020?山東淄博部分學(xué)校聯(lián)考)已知兀)，sinG+cos,

則下列結(jié)論正確的是（）

?！昃碡?3

A.B.COS9=——5

c八37

C.tan8=-zD.sin9——C0S夕=5

ABD[〈sin夕+cos①,

(sin9+cosOP=出sin2^+2sin0cos0+cos20=^,/.2sin^cos0=

2417i}

—X兀），?入由夕＞0,cos。＜0,，。金6，7TJ,故A正確.（sin夕一cos8）2

4074

=1—2sinOcos夕=不，:.sin。-cos②，故D正確.①+②得sin,

4

①一②得cos。=—&,故B正確,tan。=皆黑=一g，故C錯(cuò)誤.故

,J17JJ

~5

選ABD.]

微專題系列16［學(xué)科素養(yǎng)］

數(shù)學(xué)運(yùn)算——三角函數(shù)式的化簡與求值

數(shù)學(xué)運(yùn)算能讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際

問題；能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣；形成一絲

不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

（2020?湖北宜昌一中期末）已知a是第三象限角，且cosa=一嚅.

（1）求tana的值；

..f＞4cos（7i-a）,,

（2）化間并求-----------------r~r的值.

2sin（—a）+sin（2+aJ

解析：（l）；a是第三象限角，cosa=—H,

.._r.-------r_3vHi.,sina

??sina——\l1-cosa——［八,??tana——3.

Y10cosa

南弋—cosacosa]

‘、—2sina+cosa2sina—cosa2tana—\

由(1)知tana=3,J原式=0丫:一=7

，名師點(diǎn)評(píng)三角函數(shù)運(yùn)算是重要的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，在正確分析條件和所求的

基礎(chǔ)上明確運(yùn)算的方向，靈活地選用三角函數(shù)公式，完成三角函數(shù)運(yùn)算.

變式訓(xùn)練

771

1.已知sina+cos,月.夕￡(0,),則

cos(兀+a)cos吟+a)cosa)

------------------------------篇一的值為

cos(7t—a)sin(一九+a)sin

7,49

解析：由sina+cosa=§,得1+2sinacos。=石,

口口.12tana12

即sinacosa=E,而嬴=25

兀3

又a￡(0,1),故tana<l,解得tana=1.

cos(兀+a)cos(?+a)cos(號(hào)a)

故------------------------------京一

cos(7：-a)sin(―兀+a)sin(5+a)

—cosasin2a3

cosasina4

答案：-i3

2.(2020?天津一中月考)已知sina—cos(0<a<7i),貝Icos%+sin%的

值為.

解析：將sina—cosa=g的兩邊平方，得(sina—cosi>=1-2sinacosa

[8,4

=§，所以2sinacosa=g,所以sinacos,所以cos4?+sin4a=(sin2a+

cos2a)2—2sin2acos2a=1—2x(-

)>81,

答案：署49

O1

［友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

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3.三角恒等變換

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角

差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量

方法的作用.

考情分析：兩角和、差及倍角公

2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩

式的正用、逆用和變形用仍將是高考考

角和與差的正弦、余弦、正切公式，二

查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題.

倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、

們的內(nèi)在聯(lián)系.

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等

變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、

半角公式，這三組公式不要求記憶).

?埠分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書P72

I整知識(shí)I.............................................?

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

(l)sin(a±^)=sinacos夕土cosasin伙異名相乘、加減一致)；

(2)cos(a邛)=cosacos尸土sinasin伙同名相乘、加減相反)；

(3)頡(當(dāng)尸(兩式相除、上同下異).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

/「、-2tana

(3)tan2a=\?—T~.

1—tanza

［注意］(1)二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切中的特殊情況.

(2)二倍角是相對(duì)的，如：是市的2倍，3a是李的2倍.

I?常用結(jié)論

1.公式的逆用、變形

(l)tana±tan(=tan(a切)(1干tanatan()；

1+cos2a1-cos2a

(2)cos9a=-----------,sin9a=-----------

(3)1+sin2a=(sina+cosa)2,

1—sin2a=(sina-cosa)2,

2.三角公式內(nèi)在關(guān)系

I練基礎(chǔ)I..............................................................?）

i.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打y”或\”）

（1）存在實(shí)數(shù)a,但使等式sin（a+￡）=sina+sin夕成立.（）

⑵兩角和與差的正弦、余弦公式中的角a,夕是任意角.（）

（3）存在實(shí)數(shù)a,使tan2a=2tana.（）

答案：（iw（2）q（3）v

2.（必修4P130例4改編）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（）

D[sin20°cos10°-cos160°sin100

=sin20°cos100+cos20°sin10°=sin(20°+10°)

=sin300=2,1

3.（必修4P127練習(xí)T2改編）若cosa=一a是第三象限的角，則sin（a

)等于()

?喑

A-也B也c3D

A.j0B.]0G10

B[因?yàn)閍是第三象限的角，

所以sina=一71—cos2a=—1,

,3X也―一）義啦=

所以sin(a—)=sinacos—cosasm彳52（5）2—

興?】

2

4.(2020?全國卷H)右sin尤=-g,則cos2%=

2

解析：因?yàn)閟inx=一所以由二倍角公式，得cos2x=l—2sin2%=l-

2XL|）2=9-

答案：（

5.（必修4P138習(xí)題T19改編）［一

1—tanl51+tan15------------

]______1_________1+tan15°-(1-tan15°)

1—tan15°-1+tan15°=(1-tan15°)(1+tan150)

2tan15°=tan30°=乎.

l-tan215°

答案:由