6 微專題：利用空間向量求距離(用空間向量解答立體幾何問題)-上海外國(guó)語大學(xué)附屬浦東外國(guó)語學(xué)校2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講義

【學(xué)生版】微專題：利用空間向量求距離空間中的距離主要指以下七種：（1）兩點(diǎn)之間的距離；（2）點(diǎn)到直線的距離；（3）點(diǎn)到平面的距離；（4）兩條平行線間的距離；（5）兩條異面直線間的距離；（6）平面的平行直線與平面之間的距離；（7）兩個(gè)平行平面之間的距離；七種距離“從集合角度”理解都是指：它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離；七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離；一般化歸為這三種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離；其中，求點(diǎn)到平面的距離；通常有：（1）直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng)；（2）轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離；（3）體積法；用空間向量求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離的基本方法；1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算；2、點(diǎn)到線的距離在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為；3、點(diǎn)到面距離點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為；【典例】例1、如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，，，；求：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）點(diǎn)到平面的距離；【提示】【答案】【解析】【說明】本題考查利用向量法求點(diǎn)到直線、平面的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力；例2、如圖所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長(zhǎng)；【說明】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法：（1）利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解；（2）用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)；例3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離；【變式1】(變問法)條件不變，試求B到AC1的距離。【變式1】(變條件)若將本例中的條件改為“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱長(zhǎng)均為2”，如何求B到A1C1的距離．【說明】通過本題說明求點(diǎn)M到直線AB的距離的方法與步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，在已知直線AB上取一點(diǎn)E，點(diǎn)E滿足兩個(gè)條件：①eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，②ME⊥AB；（2）利用（1）中的兩個(gè)等量關(guān)系求出λ的值，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出向量|eq\o(ME,\s\up7(→))|的模即為M點(diǎn)到AB的距離；例4、如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．【說明】用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟：（1）建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up7(→))；（3）求法向量：設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)求得答案．提醒：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量；例5、三棱錐中，，，；記中點(diǎn)為，中點(diǎn)為；（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.【說明】注意：兩異面直線距離的求法：如圖，設(shè)、是兩異面直線，是與公垂線的方向向量，又、分別是、上的任意兩點(diǎn)，則、的距離是；【歸納】1、空間中兩點(diǎn)之間的距離空間中兩點(diǎn)之間的距離指的是這兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng)；【方法】利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模；2、點(diǎn)到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點(diǎn)A，因?yàn)閘與A能確定一個(gè)平面，所以過A可以作直線l的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到直線l的距離；3、點(diǎn)到平面的距離（1）給定空間中一個(gè)平面α及α外一點(diǎn)A，過A可以作平面α的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到平面α的距離；【注意】點(diǎn)到平面的距離是這個(gè)點(diǎn)與平面內(nèi)點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度；（2）一般地，若A是平面α外一點(diǎn)，B是平面α內(nèi)一點(diǎn)，n是平面α的一個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)；【注意】若點(diǎn)A是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則約定A到平面α的距離為0；4、相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離（1）當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．（2）當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．4、利用空間向量的坐標(biāo)表示計(jì)算距離（1）點(diǎn)到直線的距離：第一步：建系，在直線上任取一點(diǎn)(注：選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn))，求“參考向量(或)”的坐標(biāo).第二步：依據(jù)圖形先求出直線的單位方向向量.第三步：帶入公式求解；（2）點(diǎn)到面的距離:第一步：建系，選擇“參考向量”；第二步：確定平面的法向量；第三步：代入公式求值；【即時(shí)練習(xí)】1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為()A．2B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．12、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A．B．C． D．3、（如圖）已知直線的單位方向向量，是直線上的定點(diǎn)，P是直線外一點(diǎn)，不妨設(shè)；、試用、表示點(diǎn)到直線的距離4、已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，過點(diǎn)作出平面的垂線，交平面于點(diǎn)；=類比點(diǎn)到直線距離的研究過程，用向量表示；則點(diǎn)到平面的距離=5、設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則）6、已知四邊形ABCD為正方形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C為60°，則P到AB的距離是7、設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________．8、如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，若邊上存在點(diǎn)，使得，則線段長(zhǎng)度的最大值是___________.9、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.10、如圖所示，已知四面體OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1，D，E分別是OA，BC的中點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE是OA和BC的公垂線；（2）求OA和BC間的距離．【教師版】微專題：利用空間向量求距離空間中的距離主要指以下七種：（1）兩點(diǎn)之間的距離；（2）點(diǎn)到直線的距離；（3）點(diǎn)到平面的距離；（4）兩條平行線間的距離；（5）兩條異面直線間的距離；（6）平面的平行直線與平面之間的距離；（7）兩個(gè)平行平面之間的距離；七種距離“從集合角度”理解都是指：它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離；七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離；一般化歸為這三種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離；其中，求點(diǎn)到平面的距離；通常有：（1）直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng)；（2）轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離；（3）體積法；用空間向量求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離的基本方法；1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算；2、點(diǎn)到線的距離在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為；3、點(diǎn)到面距離點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為；【典例】例1、如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，，，；求：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）點(diǎn)到平面的距離；【提示】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的方向向量、平面BQD的法向量，由向量法的點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；【答案】（1）；（2）；【解析】由題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，所以，，.（1）記直線BD的一個(gè)方向向量為，則所以點(diǎn)到的距離＝.故點(diǎn)到的距離為；（2）設(shè)平面BQD的法向量為，則，即，令x=4，則y=3，z=12，故，所以點(diǎn)P到平面BQD的距離為；【說明】本題考查利用向量法求點(diǎn)到直線、平面的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力；例2、如圖所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長(zhǎng)；【提示】注意：題設(shè)“AC＝AB＝BD＝6，AC⊥AB，BD⊥AB”與三個(gè)不共面的非零基向量的關(guān)聯(lián)；【答案】12【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，又∵二面角α-AB-β的平面角為120°，∴〈eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))〉＝60°（據(jù)圖），∴|CD|2＝|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))2＝eq\o(CA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(BD,\s\up7(→))2＋2(eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→)))＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12；【說明】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法：（1）利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解；（2）用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)；例3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離；【提示】設(shè)出點(diǎn)在直線上的射影，利用垂直關(guān)系求出射影的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求向量的模；【答案】eq\f(13,5)；【解析】以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝(－4,3,0)．設(shè)E滿足eq\o(A1E,\s\up7(→))＝λeq\o(A1C1,\s\up7(→))，且BE⊥A1C1，則eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，又eq\o(BE,\s\up7(→))⊥eq\o(A1C1,\s\up7(→))，∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝eq\f(16,25)．∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－4×\f(16,25)，3×\f(16,25)，1))，∴|eq\o(BE,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,25)))eq\s\up12(2)＋12)＝eq\f(13,5)，∴B到直線A1C1的距離為eq\f(13,5)；【變式1】(變問法)條件不變，試求B到AC1的距離?！窘馕觥拷ㄏ等绫纠夥╡q\o(AC1,\s\up7(→))＝(－4,3,1)，設(shè)M滿足eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC1,\s\up7(→))且eq\o(BM,\s\up7(→))·eq\o(AC1,\s\up7(→))＝0，則eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝(4,0,0)＋λ(－4,3,1)＝(4－4λ，3λ，λ)；又eq\o(BM,\s\up7(→))·eq\o(AC1,\s\up7(→))＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4,3,1)＝0，∴λ＝eq\f(8,13)，∴eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(8×4,13)，\f(8×3,13)，\f(8,13)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,13)，\f(24,13)，\f(8,13)))，∴|eq\o(BM,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,13)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,13)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,13)))eq\s\up12(2))＝eq\f(4\r(65),13)，∴B到AC1的距離為eq\f(4\r(65),13)．【變式1】(變條件)若將本例中的條件改為“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱長(zhǎng)均為2”，如何求B到A1C1的距離．【解析】以B為原點(diǎn)，分別以BA，過B垂直于BA的直線，BB1為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，eq\r(3)，2)，eq\o(BA1,\s\up7(→))＝(2,0,2)所以A1C1的方向向量eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，而eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3)，2)，設(shè)E滿足eq\o(A1E,\s\up7(→))＝λeq\o(A1C1,\s\up7(→))且BE⊥A1C1，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝(2,0,2)＋λ(－1，eq\r(3)，0)＝(2－λ，eq\r(3)λ，2)，又eq\o(BE,\s\up7(→))⊥eq\o(A1C1,\s\up7(→))∴(2－λ，eq\r(3)λ，2)·(－1，eq\r(3)，0)＝0，∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝eq\f(1,2)，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，2))．∴|eq\o(BE,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋22)＝eq\r(7)，∴B到A1C1的距離為eq\r(7)．【說明】通過本題說明求點(diǎn)M到直線AB的距離的方法與步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，在已知直線AB上取一點(diǎn)E，點(diǎn)E滿足兩個(gè)條件：①eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，②ME⊥AB；（2）利用（1）中的兩個(gè)等量關(guān)系求出λ的值，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出向量|eq\o(ME,\s\up7(→))|的模即為M點(diǎn)到AB的距離；【備注】如何理解與認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線的距離？【提示】點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題；（1）點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0；（2）)點(diǎn)在直線外時(shí)，點(diǎn)到直線的距離即為此點(diǎn)與過此點(diǎn)向直線作垂線的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離；例4、如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．【提示】本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求解；【解析】方法1、設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為h，則VB-AA1D＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA-A1BD＝eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝eq\f(\r(3),6)a2h，∵VA-A1BD＝VB-AA1D，∴h＝eq\f(\r(3),3)a，∴點(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a．方法2、如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系B1xyz，則A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，則eq\o(BD,\s\up7(→))＝(a，a,0)，eq\o(A1D,\s\up7(→))＝(0，a，a)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－a,0,0)．設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up7(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋z＝0.))令y＝－1，則x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB,\s\up7(→))·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a．∴點(diǎn)A到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－a|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a．【說明】用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟：（1）建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up7(→))；（3）求法向量：設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)求得答案．提醒：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量；例5、三棱錐中，，，；記中點(diǎn)為，中點(diǎn)為；（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.【提示】注意：如何創(chuàng)設(shè)條件“構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系”，方便“三棱錐”中幾何條件代數(shù)化；【答案】（1）；（2）；【解析】三棱錐三組對(duì)棱相等，因此三棱錐的外接平行六面體為長(zhǎng)方體，將三棱錐放在長(zhǎng)方體中研究設(shè)長(zhǎng)方體的三維分別為、、且，即，解得：因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方體在處的三條棱的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1），，設(shè)垂直于和，所以，令，，，所以，而，因此所求距離為：；（2），，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，所以，所以所求角的余弦值為；【說明】注意：兩異面直線距離的求法：如圖，設(shè)、是兩異面直線，是與公垂線的方向向量，又、分別是、上的任意兩點(diǎn)，則、的距離是；【歸納】1、空間中兩點(diǎn)之間的距離空間中兩點(diǎn)之間的距離指的是這兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng)；【方法】利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模；2、點(diǎn)到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點(diǎn)A，因?yàn)閘與A能確定一個(gè)平面，所以過A可以作直線l的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到直線l的距離；3、點(diǎn)到平面的距離（1）給定空間中一個(gè)平面α及α外一點(diǎn)A，過A可以作平面α的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到平面α的距離；【注意】點(diǎn)到平面的距離是這個(gè)點(diǎn)與平面內(nèi)點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度；（2）一般地，若A是平面α外一點(diǎn)，B是平面α內(nèi)一點(diǎn)，n是平面α的一個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)；【注意】若點(diǎn)A是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則約定A到平面α的距離為0；4、相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離（1）當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．（2）當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．4、利用空間向量的坐標(biāo)表示計(jì)算距離（1）點(diǎn)到直線的距離：第一步：建系，在直線上任取一點(diǎn)(注：選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn))，求“參考向量(或)”的坐標(biāo).第二步：依據(jù)圖形先求出直線的單位方向向量.第三步：帶入公式求解；（2）點(diǎn)到面的距離:第一步：建系，選擇“參考向量”；第二步：確定平面的法向量；第三步：代入公式求值；【即時(shí)練習(xí)】1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為()A．2B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．1【答案】D；【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2eq\r(2))，E(0,2，eq\r(2))，則eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2，eq\r(2))．易知AC1∥平面BDE.設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,2y＋\r(2)z＝0.))取y＝1，則n＝(－1,1，－eq\r(2))為平面BDE的一個(gè)法向量．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，所以點(diǎn)A到平面BDE的距離是d＝eq\f(|n·\o(DA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(|－1×2＋0＋0|,\r(－12＋12＋－\r(2)2))＝1.故直線AC1到平面BED的距離為1.【說明】求點(diǎn)面距一般的方法：（1）作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；（2）等體積法；（3）向量法；其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便；2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A．B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B3、（如圖）已知直線的單位方向向量，是直線上的定點(diǎn)，P是直線外一點(diǎn)，不妨設(shè)；、試用、表示點(diǎn)到直線的距離【答案】【解析】如圖，設(shè)，則向量在直線上的投影向量.在中，由勾股定理，得.4、已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，過點(diǎn)作出平面的垂線，交平面于點(diǎn)；=類比點(diǎn)到直線距離的研究過程，用向量表示；則點(diǎn)到平面的距離=【答案】【解析】如圖,向量在直線上的投影向量是，且.點(diǎn)到平面的距離為：；5、設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則）【答案】10【解析】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，；6、已知四邊形ABCD為正方形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C為60°，則P到AB的距離是【答案】【解析】因?yàn)锳BCD為正方形，所以AD⊥DC.由?∠PDC為二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.如圖所示，過P作PH⊥DC于H.∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.又PH⊥DC,,∴PH⊥面ABCD,在平面AC內(nèi)過H作HE⊥AB于E，連接PE，則PE⊥AB，所以線段PE即為所求．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則所以,∴7、設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________．【答案】eq\f(2\r(3),3)；【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2，2,0)，所以eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0.))令x＝1，則n＝(1，－1，－1)是平面A1BD的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).8、如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，若邊上存在點(diǎn)，使得，則線段長(zhǎng)度的最大值是___________.【提示】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)，得，化簡(jiǎn)整理，根據(jù)二次函數(shù)得最值即可得出答案.【答案】2【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值4，所以的最大值為2，即線段長(zhǎng)度的最大值是2.9、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.【解析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的