仿真卷2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷(一)數(shù)學試卷及答案

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷數(shù)

數(shù)學（一）

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號

填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一個選項是符合題目要求的.

1.已知集合“=卜"4},則AB=（）

A.（。，2）B.[1,2)C.[1，2]D.(0,1)

2.已知復數(shù)Z滿足z(l+i)=(z+l)(2i—1),則復數(shù)z的實部與虛部的和為（)

11

A.1B.-1c.—D.

55

3.（1—2x）（2+3x）5的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.154B.162C.176D.180

1刖cos2a_(、

4.已知tana

5sina-sin2a

8B.S「33

AA.u.

33,88

5.何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中

國”為“中國”一詞的最早文字記載.何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體,

高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm.經(jīng)測量知圓柱的高約為24cm,

則估計該何尊可以裝酒（不計何尊的厚度，40371^1266,19447T?6107）（）

A.12750cm3B.12800cm3

C12850cm3D.12900cm3

6.已知是定義域為R的奇函數(shù)，滿足y（x）=〃2—x）,則“2022）=（）

A.2B.1C.-1L).U

7.在四棱錐P-A5CD中，ABCD是邊長為2正方形A，P=PD=M,平面mo,平

面ABCD,則四棱錐P-A6CD外接球的表面積為（)

136兀68兀

A4KB.871C.-------D.——

8.已知拋物線C：>2=4X,O為坐標原點，A,B是拋物線C上兩點，記直線OA,OB的

斜率分別為左，左2,且左K=—g，直線AB與X軸的交點為尸，直線OA、OB與拋物線C

的準線分別交于點M,N,則△PMN的面積的最小值為（）

A亞R點「9夜9夜

A.----￡>.-----U.------D.------

8442

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.已知函數(shù)/（X）=4cos0x+^^sin（yx（（w>0）的圖像關(guān)于直線x=胃對稱，則。的取

值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

10.在菱形ABCD中，AB=2,ADAB=60，點E為線段CD的中點，AC和瓦）交于

點。，則（）

A.ACBD=0B.ABAD=2

C.0E.8A=-1D.=4

42

11.一袋中有3個紅球，4個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中任取3個球,

事件A“這3個球都是紅球”，事件8"這3個球中至少有1個紅球”，事件C“這3個球中至多

有1個紅球”，則下列判斷錯誤的是()

A.事件A發(fā)生的概率為:B.事件2發(fā)生的概率為二3

C.事件C發(fā)生的概率為點3D.P(A\B)=—1

12.對于函數(shù)/(力=犬+%2+5+4((7,1€2，下列說法正確的是()

A.若d=0,則函數(shù)為奇函數(shù)

B.函數(shù)/(可有極值的充要條件是c<；

C若函數(shù)/(x)有兩個極值點.，々，則

O1

D.若c=d=—2,則過點(2,0)作曲線y=/(x)的切線有且僅有3條

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知樣本數(shù)據(jù)T,-1,2,2,3,若該樣本的方差為極差為3則三=

14.已知圓。：爐+>2=1與直線/：X=_],寫出一個半徑為],且與圓。及直線都相切

的圓的方程：.

Y2

15.已知橢圓二+y=l(a>8>0)的左頂點為A,左焦點為尸，過尸作x軸的垂線在尤軸

aV

3

上方交橢圓于點B,若直線AB的斜率為一，則該橢圓的離心率為

2

16.已知/(x)是偶函數(shù)，當x20時，/(x)=Vx+log2(x+l),則滿足/(x)>1的實

數(shù)x的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，4，。3,4+。4成等比數(shù)列，%=6.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列二一|的前〃項和為S”，求證：2(n+2]Sn<n+l.

[44+1J

18.在中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ccosB=asinA-bcosC.

(1)判斷一ABC的形狀；

（2）若4=限，。在BC邊上，BD=2CD,求cosNADB的值.

19.如圖，在直三棱柱ABC-451cl中，。、E分別是AB、8片的中點，A4=AC=2Cfi,

AB=小CB.

Cl）求證：BC]〃平面4CD；

（2）若3C=1,求四棱錐C—[DBE體積；

（3）求直線BG與平面4CE所成角的正弦值.

20.新高考模式下，數(shù)學試卷不分文理卷，學生想得高分比較困難.為了調(diào)動學生學習數(shù)學

的積極性，提高學生的學習成績，張老師對自己的教學方法進行改革，經(jīng)過一學期的教學實

驗，張老師所教的80名學生，參加一次測試，數(shù)學學科成績都在[50,100]內(nèi)，按區(qū)間分組

為[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],繪制成如下頻率分布直方圖,規(guī)

定不低于80分（百分制）為優(yōu)秀.

八

屈

0.03------------1~~

0.025--------------------------

0.01-----------

0.005------------------------------

0^5060708090100

（1）求這80名學生的平均成績（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表）；

（2）按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機抽取10名學生座談，再在這10名學生中，選3名

學生發(fā)言，記優(yōu)秀學生發(fā)言的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和期望.

21.已知耳，工分別為雙曲線三一%=1（?！?力〉0）左、右焦點，尸（2夜,石）在雙曲線

上，且PrPK=4.

(1)求此雙曲線的方程；

(2)若雙曲線的虛軸端點分別為用,々(為在y軸正半軸上)，點A3在雙曲線上，且

B2A=//B2B(//eR),BlA±BlB,試求直線A3的方程.

22.已知函數(shù)/(X)=a(x—a—l)e"—}x+ax+a+l,(aeR).

(1)當a=l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，求證：函數(shù)/(x)有3個零點.

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷數(shù)

數(shù)學（一）

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號

填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一個選項是符合題目要求的.

A=lx\2x<4\B=4口

1,已知集合口>,1?,則43=（）

A.（0,2）B.[1,2）C,[1,2]D.（0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】化簡集合A和8,即可得出AC5的取值范圍.

【詳解】解：由題意

在4=?<4},5=卜[7^W1}中，

A=1x|x<2j,B=1x|l<x<2j

/.AnB=1x|l<x<2}

故選：B.

2.已知復數(shù)z滿足z（l+i）=（z+l）（2i—1）,則復數(shù)z的實部與虛部的和為（）

11

A.1B.—1C.—D.—

55

【答案】D

【解析】

43

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則求出復數(shù)2=-1+gi,則得到答案.

【詳解】z(l+i)=z(2i-l)+(2i-l)

-4+3i43.

Z(2T)=21,z=&^=生必-----F—1

2-i5555

431

故實部與虛部的和為—^+1=—1，

故選：D.

3.（1—2x）（2+3x）s的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.154B.162C.176D.180

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項式定理可求得（2+3x）5展開式通項，由此可確定入（，結(jié)合多項式乘法

運算進行整理即可確定x的系數(shù).

5rr5rrr

【詳解】?「（2+3x）5展開式的通項公式為：7；+1=C；-2-.（3x）=2-.3C；x;

45

當廠=1時，T2=2x3CgX=240x；當r=0時，7]=2=32；

??.X的系數(shù)為240—2x32=240—64=176.

故選：C.

4.已知tana=1，則cos2a=（）

5sina-sin2a

8833

A.一一B.-C.——D.-

3388

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角公式化簡為正、余弦的齊次分式，分式上下同除cos?。，代入tane=1

可得答案.

了、壬在力/。

【詳解】-c-o-s--2-a=------c-o-s-?--a-—-s-in--?----

sina-sin2asina-2smicosa

2I,

_l-tan?a_25__8

tan2cir-2tanorJ__23'

255

故選：A.

5.何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中

國”為“中國”一詞的最早文字記載.何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體,

高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm.經(jīng)測量知圓柱的高約為24cm,

則估計該何尊可以裝酒(不計何尊的厚度，40371Hl266,194471?6107)()

A.12750cm3B.12800cm3

C.12850cm3D.12900cm3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式計算可得結(jié)果.

【詳解】下端圓柱的體積為：24兀?92=1944兀k6107err?,

上端圓臺的體積為：|X16TI(142+14x9+92)=^yx403-yxl266=6752cm3，

所以該何尊的體積估計為6107+6752=12859cm3.

因為12850最接近12859,

所以估計該何尊可以裝酒12850cm3.

故選：C

6.已知小)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足/(x)=/(2—力，則/(2022)=()

A.2B.1C.-1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/⑺是定義域為R的奇函數(shù)，且/⑺="2—X)得出函數(shù)/⑺是周期

為4的周期函數(shù)，進而求解.

【詳解】因為函數(shù)“X)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(x)=〃2—%),

所以/(2+*)=/(-%)=—/(x),所以/(%+4)=f(x),

即函數(shù)Ax)是周期為4的周期函數(shù)，

因為函數(shù)〃力是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(。)=0,

因為〃x)=/(2—%)，所以/⑵=/(0)=0,

又因為2022=4x505+2,所以/(2022)=/(2)=0,

故選：D.

7.在四棱錐P—ABCD中，ABCO是邊長為2的正方形，AP=PD=M，平面隊平

面則四棱錐尸-ABCD外接球的表面積為()

136兀68兀

A.4%B.8兀C.-------D.——

【答案】C

【解析】

【分析】將該四棱錐的外接球放在一個長方體內(nèi)，畫出圖形，利用已知條件找出球心，建立

相應的關(guān)系式，求出外接球的半徑，利用球體表面積公式計算即可.

【詳解】由題意將該四棱錐放在一個長方體的中，

如圖①所示：

取中點連接PH，連接AC,交于。，

由AP=尸。=JIU,

則在等腰中有：PH±AD，

又平面平面且平面Q4Dc平面ABCZ)=A。，

則W平面ABC。，

又AH」AD=1,

2

所以在4H中，

PH=siPA2-AH2=J(710)2-l2=3，

由底面為正方形ABC。，

所以它的外接圓的圓心為對角線的交點。?,

連接。戶，則產(chǎn)〃，?？?，

外接圓圓心為。2，且在PH上，

過點。1,。2分別作平面ABCD與平面PAD的垂線，

則兩垂線必交于點。，點。即為四棱錐P-ABCD外接球的球心,

且OO］，平面ABCD,

又PH，平面ABC。，即平面ABC。，

所以。&//PH，

所以四邊形Oa"Q為矩形.

如圖②連接A。2，則4。2=2。2,

在RtAQH中，O?H=PH—P0[=PH—AO2=3—AO],

所以AO；=AH2+RO；=F+（3—AQ）2,

解得AO,=1,

一3

所以Q"=3—W5=§4,

4

所以oq=。2〃=3,

在圖①中連接。3,

由C\B=；BD=0,

所以在Rt中,

OB={OO；+OB=

即四棱錐P—A6CD外接球的半徑為R=O5=Y亙

3

所以四棱錐P-A6CD外接球的表面積為:

故選：C.

8.已知拋物線C：>2=4%,O為坐標原點，A,8是拋物線C上兩點，記直線OA,OB的

斜率分別為左，左2,且匕左2=—g，直線AB與X軸的交點為P，直線。4、08與拋物線c

的準線分別交于點M,N,則APMN的面積的最小值為（）

A.顯B.正C.述D.還

8442

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)出A、B的坐標，由左/2=解得的值，再分別求出點加、點N的坐標,

求得|MN|的式子，研究/科恒過x軸上的定點可得點尸的坐標，進而用方法1基本不等式

或方法2函數(shù)思想求得三角形面積的最小值.

244

【詳解】設(shè)A（子,％）,,%），則占=一，左2=一

2%v2

,,161

《h==--

%為2

二%%=一32,

444

.,.設(shè)/(M：丁=-%，令%=—1得：y=—，—),

X%X

4

同理：N(—1,——)

%

...|MN|=|-—+—1=4|%一%|=,

%%%為8

設(shè)岫：x=my+t,

x=my+t1八

，“2-my-t=O

y'=4-x4

A=w?+/>0，%+%=4根,%%=-小,

又：=-32,

—At=—32,解得：f=8,

/.lAB：x=my+S恒過點（8,0）,

??.L與x軸交點尸的坐標為（8,0），BP：尸（8,0）,

.?.點P到準線x=—1的距離為8+1=9.

方法1：3%+%|42病=拒,當且僅當|%|=4、歷時取等號.

ooyyo

1Q9J9

-SAPMN=-\MN\X9=-\MN\>^,

.?.△麗的面積的最小值為2徨.

2

方法2：12W|=M—%I=1河+城-4%%=-J16療+128=-J療+8

8882

2

Vm>0：.\MN\>-^=42f當且僅當機二o時取得最小值.

2

1QQJ9

??S^MN=-\MN\X9=-\MN\>-^-，

4PMN的面積的最小值為皿1.

2

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.已知函數(shù)/（X）=/cos（yx+4§sin0x（（y>0）的圖像關(guān)于直線x=胃對稱，則。的取

值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】AD

【解析】

【分析】首先將函數(shù)/（力化成一個三角函數(shù)，然后根據(jù)對稱軸公式求得。的表達式，對整

數(shù)左賦值求得結(jié)果.

【詳解】/（%）=icosft）x+^-sin（z）x=sin^（z）^+-^j,

因為函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x=9對稱，

6

所以+/■=3+左兀，左eZ,解得0=2+6左，

662

因為6y〉0,所以當左=0時，<9=2；所以當左=1時，①=8.

故選：AD.

10.在菱形ABCD中，A5=2，ZDAB=60，點E為線段CD的中點，AC和a）交于

點。，則（）

A.ACBD=0B.ABAD=2

C.0E-8A=-gD.=|

42

【答案】ABD

【解析】

【分析】以。為坐標原點可建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算依次驗

證各個選項即可.

【詳解】四邊形ABCD為菱形，.?.Ad?，

則以。為坐標原點，OC,O￡>正方向為龍,丁軸，可建立如圖所示平面直角坐標系,

AB=AD=2,ZDAB=60，:.BD=2,OA=OC=12—f=6，

（J3I\

.?.0（0,0）,A（-73,0），B（0,—1）,E,

\乙）

對于A,AC八瓦)，AC?BD=0，A正確；

對于B,AB=(A/3,-1),AD=(A/^,1),：,ABAD=3-1=2>B正確；

對于c,「OE=j￥，gj，BA=(-73,1),:.OEBA=-^+^=-l,C錯誤；

對于D,OE=j￥，3j，AE=[￥，g[，???OE.AE=(+(=：，D正確.

故選：ABD.

11.一袋中有3個紅球，4個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中任取3個球，

事件A“這3個球都是紅球”，事件3"這3個球中至少有1個紅球”，事件。，這3個球中至多

有1個紅球”，則下列判斷錯誤的是()

13

A.事件A發(fā)生的概率為-B.事件8發(fā)生的概率為一

510

3D.尸(川3)=：

C.事件C發(fā)生的概率為一

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出基本事件總數(shù)、滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式及條

件概率公式求解即可.

【詳解】由題意7個球中任取3個球的基本事件總數(shù)為：C；=35

這3個球都是紅球的基本事件數(shù)為：C；=1,

所以事件A發(fā)生的概率為：尸(4=卷，故A錯誤，

這3個球中至少有1個紅球的基本事件數(shù)為：

C；.Cj+C；.C；+C；=18+12+1=31,

31

所以事件8發(fā)生的概率為：尸(3)=福，故B錯誤，

這3個球中至多有1個紅球的基本事件數(shù)為：

C；?C；+C：=18+4=22,

22

事件C發(fā)生的概率為P(C)=行，故c錯誤，

因為P(A3)=P(A)=(，

1

所以由條件概率公式得：0(加5)=4^=爵=白，

r\D)J，J1

35

故D正確，

故選：ABC.

12.對于函數(shù)/(%)=三+%2+cx+d(c,deR),下列說法正確的是()

A.若d=。，則函數(shù)〃力為奇函數(shù)

B.函數(shù)/'(x)有極值的充要條件是c<；

C若函數(shù)了(尤)有兩個極值點X],巧，則

D.若c=d=—2,則過點(2,0)作曲線y=/(x)的切線有且僅有3條

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：利用奇偶性的定義直接判斷；對于B：利用極值的計算方法直接求解；對

于C：先求出c<9,表示出入：+宕=笫—碧c+米，即可求出；對于D：設(shè)切點(％,%),

3927o1

由導數(shù)的幾何意義得到2/3—5/2-4%+6=0.設(shè)g(x)=2X3-5X2-4X+6,利用導數(shù)

判斷出函數(shù)g(x)有三個零點，即可求解.

【詳解】對于A：當d=。時，/(刈=三+/+仃定義域為R.

因為/(f)=(f)3+(f)2+<?(_%)=_尤3+%2—c尤#_/(%),

所以函數(shù)/(X)不是奇函數(shù).故A錯誤；

對于B：函數(shù)/'(x)有極值O/(力在R上不單調(diào).

由/(X)=%3+Y+cx+d求導得：f'^x^=3^+2x+c.

/(x)在R上不單調(diào)O/'(%)在R上有正有負OA=4-4x3c>0Oc<^.

故B正確.

對于C：若函數(shù)/(x)有兩個極值點與,巧，必滿足A>0,即c<；.

2

%+%=--

此時當，巧為3犬+2%+。=0的兩根，所以4

C

中2=-

所以x；+x；=(X]+4)-2X[X2=3一，.

2"明告)3*等一等+費

所以X；+X；=(X；+X；)~

16

7741

對稱軸c=——4=不,所以當c〈一時，

-233

9

/,/,2c216162/lV16l.16_2

^+^--T-27Cr+8i>9Xx^-27Xx3+81-8l-

即x：+￡〉春故C正確；

ol

對于D：若c=d=—2時，/(x)=d+/-2%—2.

所以/'(%)=3f+2x-2.

設(shè)切點(X"°)’則有：小)=3x；+2x。-2=業(yè)第

、5-2

32

消去為,整理得:2XO-5XO-4XO+6=O

不妨設(shè)g(x)=2/—5A:2—4X+6,則g'(x)=6x?—10%-4.

令g'(x)>0,解得：x>2或x〈一；；令g'(x)<0,解得：—g<x<2.

所以g(x)在［叫->(2,+s)上單調(diào)遞增，在［9］上單調(diào)遞減.

所以g(x)極大值=8卜捫2信)—5鳥)—4卜弁6=6器>0,

g(x)極小值=g(2)=2x23—5x2?—4x2+6=—6<。?

所以作出的圖像如圖所示：

32

因為函數(shù)g(x)有三個零點，所以方程2XO-5XO-4XO+6=O有三個根，所以過點(2,0)作

曲線丁=/⑺的切線有且僅有3條.故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知樣本數(shù)據(jù)-1,-1,2,2,3,若該樣本的方差為廣，極差為3則,=.

7

【答案】—##0.7

【解析】

2

【分析】根據(jù)極差的定義可得f=3-(-1)=4,先求出平均數(shù)，再從方差，從而可求

【詳解】極差，=3—(—1)=4,平均數(shù)為(T+(”+2+2+3=i,

故方差?=-［(-1-1)2+(-1-1)2+(2-1)2+(2-1)2+(3-1)21=—.

5L」5

14

所以

/-4-10

7

故答案為:歷.

14.已知圓。：必+丁2=1與直線/：x=-l,寫出一個半徑為1，且與圓。及直線都相切

的圓的方程：.

【答案】％2+什—2）2=1（答案不唯一）

【解析】

［分析］根據(jù)圓的圓心和半徑，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系及兩個圓的位置關(guān)系計算即可.

【詳解】設(shè)圓心。為（毛,%）,由已知圓C與直線/:X=—1相切，圓C與圓。：/+丁2=1

相切，

|-l-x0|=1X。=0拓=0xo=-2

可得《「一，即得或＜

y/xo+%r=21為=2$=一2Jo=0

且已知半徑為1,

所以圓的方程可以為：尤2+（y—2『=1或V+（y+2）2=1或（％+2/+/=1

故答案為：V+（y—2『=1（答案不唯一）

y2

15.已知橢圓二+l（a〉5〉0）的左頂點為A,左焦點為F過尸作x軸的垂線在x軸

ab2

3

上方交橢圓于點8,若直線A2的斜率為一，則該橢圓的離心率為.

2

【答案】1##0.5

【解析】

（眩

【分析】由題意設(shè)4（—。,0）,B-C—,再由J—u/結(jié)合4=4+02,即

Ia'AB~-c+a~2

可得出答案.

【詳解】由題意可得，A（-a,0）,F（-c,0）,

尤2v2h2

令橢圓與+6=1（?！??！?）中x=-c,解得：y=±—,

（匕0八0?

所以3—c,—,而_g____3，則4_a+c_3,

'aJAB-c+a2-c+aa2

解得：e=—.

2

故答案為：*I".

16.已知了(尤)是偶函數(shù)，當xNO時，/(x)=Vx+log2(x+l),則滿足/(x)〉2的實

數(shù)X的取值范圍是.

【答案】(7,o)u(l,y)

【解析】

【分析】利用奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性解不等式.

【詳解】當龍20時，/(%)=V^+Iog2(%+1),函數(shù)在［0,+功上單調(diào)遞增，???

f(x)>/(0)=0,又/(x)是偶函數(shù)，所以/(x)的值域為［0,+").

當XN0時，/(x)=V^+log2(x+l),不等式〃x)〉2為G+log2(x+l)〉2,即

XX

^</x+log2(X+1)-2>0,

r-r\2

設(shè)g(x)=Jx+log2(x+l)—二，由函數(shù)y=?,y=log2(x+1),y=——在(0,+“)上

%X

都是增函數(shù)，得g。)在(0,+8)上是增函數(shù)，由g⑴=0,則g(x)>0=g⑴解得尤>1；

當％<0時，由函數(shù)值域可知/(%)>0,此時工<0,所以/(x)〉2恒成立；

X%

綜上可知，滿足/(X)〉2的實數(shù)X的取值范圍是(―8,0)u(l,+8).

X

故答案為：(TQ,0)U(L+8)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，。1，/，生+。4成等比數(shù)列，%=6.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列<---，的前”項和為S“，求證：2(〃+2)S"<〃+1.

值4+1J

【答案】(1)=〃+1

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義和等差數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程組求得q,d，進而確定4；

(2)利用裂項相消法可求得S“，整理即可證得結(jié)論.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,

9，口3，出+。4成等比數(shù)列，，4=4（。2+。4），即（q+2d『=%（2q+4d）,

又…+鈕=6,則由[3+2>=%（2l+4d）得:夕：或火丁,

%+4d=6[d=1[d=3

當％=-6,d=3時，。3=0，不滿足。1，。3，。2+。4成等比數(shù)列，舍去；

q=2,d=1,r.aa=2+（〃—1）=72+1.

【小問2詳解】

1111

由（1）得：-----=/4、/一一二，

anan+i++”+1n+2

：.+++++-------—

"（23）（34j（45）Un+1）（“+ln+2）

11_n

~2~n+2~2（n+2）'

.?.2（〃+2）S“=n<n+1.

18.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ccosB-asinA-bcosC.

（1）判斷的形狀；

（2）若afb，。在BC邊上，BD=2CD,求cosNADB的值.

【答案】（1）直角三角形

（2）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角互化，即可得到結(jié)果；

（2）由（1）中結(jié)論即可得到cos/5,從而得到A￡>的值，然后在△A8D中結(jié)合余弦定

理即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

因為ccos5=asinA-Z?cosC,由正弦定理可得，

sinCcosB+sinBcosC=sin2A

即sin（5+C）=sin2A

所以sinA=sin2A,Ae（0,71）sinA=1

且Ae(O"),所以A=]

即LABC直角三角形.

【小問2詳解】

在直角-ABC中，有Z/+C?=片=3必，即/=2",所以c=

又因為3。=28,所以BD=4BC=3^b

33

nD_C_母b_瓜

目.cosB—=-尸—-，

ay/3b3

在△A3。中，由余弦定理可得，

*22222

/DAB+BD-AD^+-b-AD娓

cosZB=----------------=------------T=-=——

2ABBD2乂顯又說b3

3

解得AD=^Zn

3

在八ABD中由余弦定理可得,

24oo

0222

AD?+BD?-AB?-b+b-2b

cosZADB=33

2ADBDo布,2A/3,

2x—bx-----b

33

19.如圖，在直三棱柱ABC-431cl中，。、E分別是的中點，A4=AC=2CB,

(1)求證：3G〃平面A。。；

(2)若3c=1,求四棱錐C—AD3E的體積；

(3)求直線BG與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵|

⑶至

5

【解析】

【分析】(1)連接AG交4。于點e，連接EF，則尸為AG的中點，利用中位線的性質(zhì)

可得出DF//BQ,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)過點。在平面ABC內(nèi)作◎7±AB,垂足為點證明出CM,平面AA43,計

算出CM的長以及四邊形ADBE的面積，利用錐體的體積公式可求得四棱錐C-AD3E

的體積；

(3)設(shè)BC=L以點C為坐標原點，CA.CB、CG所在直線分別為x、＞、z軸建立空

間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線BG與平面ACE所成角的正弦值.

【小問1詳解】

證明：連接AG交4。于點歹，連接石尸，則歹為AG的中點，

因為。、R分別為A3、AG的中點，則。BG，

因為DFu平面BCi＜Z平面A。。，〃平面

【小問2詳解】

解：因為BC=1,則9=AC=2CB=2,AB=&B=小,

AC2+BC2=AB2，即AC工BC,

過點C在平面ABC內(nèi)作。7±AB,垂足為點

因為平面ABC,?！ㄘ纹矫嫒伺_。，，。/，相，

又因為_LN8,ABoA^^A,A3、A4,u平面平面A4,與5,

由等面積法可得CM=ACBC=垣，

AB5

因為A4_L平面ABC,

又因為44〃5用且⑨=8瓦，故四邊形44,43為矩形，

所以，S四邊形A0BE=S矩形AA由B—S^A4101s△&B|E岑義2+6義1=小，

,71?f1￡2^/52

VC-\DBE=J5四邊形40BE,CV=§XX;一=

【小問3詳解】

解：不妨設(shè)BC=1,因為ACIBC,CG，平面A5C，

以點C為坐標原點，CA、CB、CG所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標系，

則5（0,1,0）、C（0,0,0）,￡（0,0,2）、A（2,0,2）、E（0,l,l）,

設(shè)平面ACE的法向量為〃=（%,%z）,C4,=（2,0,2）,CE=（0,1,1）,

n-CA=2x+2z=0

則《，取X=l,可得"=（1,1,一1）,

n-CE=y+z=0

.、aBQ-n3

因為BG=（0,—1,2）,則cos<BCi，n>=,,=

75x73

因此，直線BG與平面ACE所成角的正弦值為巫.

5

20.新高考模式下，數(shù)學試卷不分文理卷，學生想得高分比較困難.為了調(diào)動學生學習數(shù)學

的積極性，提高學生的學習成績，張老師對自己的教學方法進行改革，經(jīng)過一學期的教學實

驗，張老師所教的80名學生，參加一次測試，數(shù)學學科成績都在[50,100]內(nèi)，按區(qū)間分組

^[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)

（1）求這80名學生的平均成績（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表）；

（2）按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機抽取10名學生座談，再在這10名學生中，選3名

學生發(fā)言，記優(yōu)秀學生發(fā)言的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和期望.

【答案】(1)73.5

9

(2)分布列見解析；期望E(X)=一

1710

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接計算即可；

(2