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文檔簡介
陜西省西安市618中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.32.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.3.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.324.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點,且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.297.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當(dāng)直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.8.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.9.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知雙曲線(,),以點()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點,若,則的離心率為()A. B. C. D.11.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,滿足約束條件,則的最大值為________.14.設(shè)為正實數(shù),若則的取值范圍是__________.15.的角所對的邊分別為,且,,若,則的值為__________.16.已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且,則實數(shù)的值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知分別是內(nèi)角的對邊,滿足(1)求內(nèi)角的大?。?)已知,設(shè)點是外一點,且,求平面四邊形面積的最大值.18.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).19.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).20.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點,與交于點,,都垂直于平面,且,,是線段上一動點.(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點時,求四面體的體積.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.22.(10分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點.(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時,取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,即,又,所以公差,所以,即,因為函數(shù),在時,單調(diào)遞減,且;在時,單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.2、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.3、A【解析】
根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.8、B【解析】
先根據(jù)題意,對原式進行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運用,屬于綜合性較強的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.9、A【解析】
可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點,進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,則當(dāng)時,,單減,當(dāng)時,,單增;當(dāng)時,,,當(dāng),,當(dāng)時,單減,當(dāng)時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時,得,解得;當(dāng)與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題10、A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點,且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因為,所以圓心到的距離為:,即,因為,所以解得.故選A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于中檔題.對于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.11、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時,,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點與原點距離的平方,利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示,易知當(dāng),時,的最大值為.故答案為:9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù),可得,進而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因為,所以,所以,所以,所以,令,,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,所以當(dāng)時,取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運算求解的能力,屬于難題,15、【解析】
先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因為,故,因為,所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因為,解得或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.16、0或6【解析】
計算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本關(guān)系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理可得:,則,得到,再利用輔助角公式化簡,最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值;【詳解】解:(1)由,,,,,,,;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理得:,,,所以當(dāng)時有最大值【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,三角恒等變換公式的應(yīng)用,三角形面積公式的應(yīng)用,以及正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析;定點坐標(biāo)為【解析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結(jié)合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.20、(1).(2)【解析】
(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線面垂直的判定定理得出平面,進而得出四面體的體積,計算出,,即可得出四面體的體積.【詳解】(1)因為平面,平面,所以又因為,都垂直于平面,所以又,分別是正方形邊,的中點,且,所以.(2)因為,分別是正方形邊,的中點,所以又因為,都垂直于平面,平面,所以因為平面,所以平面所以,四面體的體積,所以.【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域為,值域為【解析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因為是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函數(shù)的定義域為.化簡,得,因為,且,,所以,所以.所以函數(shù)的值域為.(注:或許有人會認(rèn)為“因為,所以”,其實不然,因為.)【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力,屬于??碱}型.22、(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平
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