第八章 立體幾何專題訓練（三）-異面直線所成的角-【新教材】2020-2021學年人教A版（2019）高中數(shù)學必修第二冊專項訓練

第八章立體幾何專題訓練（三）—異面直線所成的角一．單選題1．已知正四面體，為中點，則與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．如圖，在四棱錐中，底面為矩形．底面，，．為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，為線段上不含端點的動點，則直線與所成的角的余弦值不可能是A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，，，，，則異面直線與所成角的大小為A． B．或 C． D．或5．在直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．6．在四棱錐中，平面，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．7．已知正三棱錐的底面是邊長為6的正三角形，其外接球球的表面積為，且點到平面的距離小于球的半徑，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．8．矩形中，，，點為中點，沿把折起，點到達點，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．二．多選題9．如圖，棱長為2的正方體中，在線段（含端點）上運動，則下列判斷正確的是A． B．三棱錐的體積不變，為 C．平面 D．與所成角的范圍是10．在直三棱柱中，各棱長均為2，，分別為線段，的中點，則A．平面平面 B． C．直線和所成角的余弦值為 D．該棱柱外接球的表面積為11．如圖，正方形的邊長為1，、分別為、的中點，將正方形沿對角線折起，使點不在平面內(nèi)，則在翻折過程中，以下結(jié)論正確的是A．異面直線與所成的角為定值 B．存在某個位置，使得直線與直線垂直 C．三棱錐與體積之比值為定值 D．四面體的外接球體積為12．如圖，在邊長為4的正三角形中，，，分別為各邊的中點，，分別為，的中點，將沿，，折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是A．與所成的角的正弦值為 B．與成角 C．與所成的角為 D．與所成角余弦值為三．填空題13．已知正三棱錐中，是的中點，若三個側(cè)面是直角三角形，則直線與直線所成的角的大小為．14．在四面體中，，，，則、所成的角的余弦值為．15．已知長方體中，，是的中點，且異面直線與所成的角是．則在此長方體的表面上從到的路徑中，最短路徑的長度為．16．如圖，已知棱長為2的正方體中，點在線段上運動，給出下列結(jié)論：①異面直線與所成的角范圍為；②平面平面；③點到平面的距離為定值；④存在一點，使得直線與平面所成的角為．其中正確的結(jié)論是．四．解答題17．如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為．（1）求圓柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的余弦值．18．正三棱柱中，是的中點，，．（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）求異面直線、所成的角的正弦值．19．如圖直三棱柱，在底面中，，，棱，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線、所成角的余弦值．20．如圖，在四棱錐中，面，，，，，為線段上的點．（1）證明：平面；（2）若是的中點，求與所成的角的正切值；（3）在（2）的條件下，求異面直線與所成角的余弦值．

第八章立體幾何專題訓練（三）—異面直線所成的角答案1．解：為中點，取中點，連結(jié)，，設(shè)正四面體的棱長為2，則，，且，是異面直線與所成角（或所成角的補角），故異面直線與所成角的余弦值為：．故選：．2解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，4，，，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，，，異面直線與所成角的余弦值為．故選：．3．解：建立空間直角坐標系，如圖所示；設(shè)正方體的棱長為1，則，0，，設(shè)，，，所以，，，，0，，，；令，，則；所以在單調(diào)遞減，易知，所以，則直線與所成的角的余弦值的范圍為．故選：．4．解：以為坐標原點，，為軸，軸建立空間直角坐標系，因為，，，，則，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則，又，所以，故異面直線與所成角的大小為．故選：．5．解：如圖所示，不妨設(shè)．，．．設(shè)異面直線與所成的角為，則．故異面直線與所成角的余弦值為．故選：．6．解：以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，3，，，1，，，0，，，，，，，異面直線夾角的取值范圍為，，異面直線與所成角的余弦值為．故選：．7．解：因為外接球球的表面積為，設(shè)其半徑為，則有，解得，設(shè)點到平面的距離為，則有，解得或（舍，取的中點，則，所以異面直線與所成角為或它的補角，，即，所以，而，故，所以，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：．8．解：如右圖，因為，異面直線與所成角就是或其補角，在中，，，在左圖中作，垂足為，則，，所以，所以．故選：．9．解：棱長為2的正方體中，在線段（含端點）上運動，對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，，、平面，平面，平面，，故正確；對于，在線段（含端點）上運動，，平面，平面，平面，到的距離是定值，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，到平面的距離，三棱錐的體積為：，故錯誤；對于，，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，在線段（含端點）上運動，當與重合時，與所成角為0，當與重合時，與所成角為，故錯誤．故選：．10．解：在直三棱柱中，各棱長均為2，，分別為線段，的中點，對于，，，，，平面平面，故正確；對于，，，，，平面，平面，平面，，故正確；對于，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，設(shè)直線和所成角為，則，直線和所成角的余弦值為，故錯誤；對于，過的重心作平面的垂線，在上取，則是該棱柱外接球的球心，連接，，球半徑，該棱柱外接球的表面積為，故正確．故選：．11．解：對于，取中點，連接，，則，且，平面，，異面直線與所成的角為，又，異面直線與所成的角為定值，故正確；對于，若直線與直線垂直，直線與直線也垂直，則直線平面，直線直線，又，平面，，而是以和為腰長的等腰三角形，與題意不符，故錯誤；對于，，分別為正方形的邊、的中點，與面積比為，到面的距離與到面的距離之比為，三棱錐與體積之比值為定值，故正確；對于，外接球球心在中點，由題意解得外接球半徑，四面體的外接球體積為，故正確．故選：．12．解：對于，的邊長為4，折成正四面體后，如圖，，，分別為各邊的中點，，分別為，的中點，，，連結(jié)，取中點，則，異面直線與所成角為，，，連結(jié)，得，，，與所成的角的正弦值為：，故錯誤；對于，正四面體中，取中點，連結(jié)，，則，，平面，，與成角，故正確；對于，連結(jié)，，則，異面直線與所成的角為，，，，，與所成的角為，故正確；對于，異面直線與所成角為，，故正確．故選：．13．解：取中點，連接、，設(shè)，則，，且，是直線與直線所成的角（或所成角的補角），，，，是等邊三角形，．直線與直線所成的角的大小為．故答案為：．14．解：作出四面體的外接長方體，如圖所示，設(shè)長，寬，高，則由勾股定理可得，，解得，連結(jié)交于點，則異面直線、所成的角為（或補角），在△中，由余弦定理可得，，所以、所成的角的余弦值為．故答案為：．15．解：如圖，取中點，連接，可得，異面直線與所成的角是，，設(shè)，，，則，且，又，，求得．可得長方體中，，則在此長方體的表面上，從到的路徑中，最短路徑是沿剪開，繞把平面翻折至與所在面重合，連接所得線段長度，大小為（另外兩種情況長度相等為，不是最小值）．故答案為：．16．解：對于①，當在點時，，異面直線與所成的角最大為，當在點時，異面直線與所成的角最小為，異面直線與所成的角的范圍為，故①錯誤；對于②，因為平面，所以平面平面，故②正確；對于③，平面，所以點到平面的距離為定值，且等于的，即，故③正確；對于④，直線與平面所成的角為，，當時，最小，最大，最大值為，故④不正確，故答案為：②③．17．解：（1）由題意，在中，，，所以，在中，，，所以，因為三棱錐的體積為．所以，解得，故圓柱的表面積為．（2）取中點，連接，，則，得或它的補角為異面直線與所成的角，又，，得，，由余弦定理得，異面直線與所成角的余弦值為．18．解：（1）正三棱柱中，是的中點，，．三棱錐的體積為：．（2）證明：連接，交于點，連接，是矩形，是的中點，是的中點，，平面，平面，平面．（3），是異面直線、所成的角，，，，，異面直線、所成的角的正弦值為：．19．（1）證明：在直三棱柱中，為的中點，，，平面，平面，，，，，為的中點，易得，連接，得，，則，即．平面，平面，，平面．（6分）（2）連接交于點，作，的中點分別為，，連接，，，則即為異面直線、所成的角，易求得，則在中，．（12分）20．解：（1）在四棱錐中，面，平面，所以，因為，設(shè)，