第01講 平方根與算術(shù)平方根（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)第01講平方根與算術(shù)平方根 1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．3.掌握平方根與算術(shù)平方根的有關(guān)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1：平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識(shí)點(diǎn)3：平方根的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)4：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【題型1：平方根的概念和表示】【典例1】（2023?秦都區(qū)校級(jí)二模）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．【答案】A【解答】解：±＝±3，故選：A．【變式1-1】（2023春?確山縣期中）（﹣2）2的平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．【答案】A【解答】解：（﹣2）2＝4，∴4的平方根是±2，故選：A．【變式1-2】（2023春?徐匯區(qū)期末）的平方根為±．【答案】±．【解答】解：的平方根為±，故答案為：±．【題型2：平方根的性質(zhì)】【典例2】（2023春?郯城縣期中）若關(guān)于m的代數(shù)式m﹣1和3m﹣5是某個(gè)正數(shù)的平方根，求這個(gè)正數(shù)．【答案】或1．【解答】解：m﹣1和3m﹣5互為相反數(shù)或者相等，即m﹣1+3m﹣5＝0或者m﹣1＝3m﹣5，解得：或者m＝2，∴或者m﹣1＝1，∴這個(gè)正數(shù)為或者1，綜上可知，這個(gè)正數(shù)為或1．【變式2-1】（2023春?平邑縣期中）若a+1和a+3是正數(shù)m的平方根，求m的值．【答案】1．【解答】解：∵a+1和a+3是正數(shù)m的平方根，由于a+1≠a+3，∴a+1+a+3＝0，解得a＝﹣2，∴a+1＝﹣1，a+3＝1，∵1和﹣1是1的平方根，∴m＝1．【變式2-2】（2022春?涼州區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)x的平方根是a+3和2a﹣15，求a和x的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得a+3+2a﹣15＝0，解得：a＝4，所以x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49．【變式2-3】（2023春?扎賚特旗期末）一個(gè)正數(shù)的x的平方根是2a﹣3與5﹣a，求a和x的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的x的平方根是2a﹣3與5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a＝0，解得：a＝﹣2，∴x＝（﹣7）2＝49．【題型3：利用開平方解方程】【典例3】（2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）求下列各式中x的值．（1）x2﹣49＝0；（2）﹣64x2+＝0；（3）（1﹣2x）2＝1；（4）9（3x+1）2＝64；【答案】（1）x＝±7；（2）x＝±；（3）x＝0或1；（4）x＝或﹣．【解答】解：（1）x2﹣49＝0，x2＝49，x＝±7；（2）﹣64x2+＝0，64x2＝，x2＝，x＝±；（3）（1﹣2x）2＝1，1﹣2x＝±1，1﹣2x＝1，x＝0，或1﹣2x＝﹣1，x＝1，∴方程的解為x＝0或1；（4）9（3x+1）2＝64，（3x+1）2＝，3x+1＝±，3x+1＝，x＝，或3x+1＝﹣，x＝﹣，∴方程的解為x＝或﹣．【變式3-1】（2023?白云區(qū)一模）解方程：（x﹣2）2＝4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：開平方得：x﹣2＝±2，x1＝4，x2＝0．【變式3-2】（2023春?大興區(qū)期中）已知，求x的值．【答案】或．【解答】解：∵，∴，∴或，∴或．【變式3-3】（2022春?賓川縣校級(jí)期中）求下列各式中的x．（1）x2＝49；（2）（y﹣3）2﹣64＝0．【答案】（1）x＝±7；（2）y＝11或y＝﹣5．【解答】解：（1）x2＝49，x＝±7；（2）（y?3）2＝64，y﹣3＝±8，y＝11或y＝﹣5．故答案為：（1）x＝±7；（2）y＝11或y＝﹣5．【題型4：算術(shù)平方根的概念】【典例4】（2023春?環(huán)江縣期末）表示（）A．10的算術(shù)平方根 B．10的平方根 C．10的平方 D．10的立方【答案】A【解答】解：A．10的算術(shù)平方根是，故此選項(xiàng)符合題意；B．10的平方根是，故此選項(xiàng)不符合題意；C．10的平方是100，故此選項(xiàng)不符合題意；D．10的立方是1000，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【變式4-1】（2023春?石嘴山校級(jí)期末）81的算術(shù)平方根為（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【答案】D【解答】解：∵92＝81，∴81的算術(shù)平方根為＝9．故選：D．【變式4-2】（2023?新華區(qū)校級(jí)二模）若，則a＝（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵，∴a＝12＝1．故選：B．【變式4-3】（2023?朝天區(qū)模擬）的平方根是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【答案】A【解答】解：＝9，9的平方根是±3．故選：A．【題型5：算術(shù)平方根的非負(fù)性】【典例5】（2023春?雅安期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則2x+y的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±4【答案】A【解答】解：∵，（y+2）2≥0，又∵，∴x﹣3＝0，y+2＝0，則x＝3，y＝﹣2，∴2x+y＝2×3+（﹣2）＝6﹣2＝4．∵4的平方根為±2，故選：A．【變式5-1】（2023春?瓊海校級(jí)期末）已知x為實(shí)數(shù)，且（y+1）2+＝0，則yx的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【答案】B【解答】解：∵，∴y+1＝0，x﹣2＝0，∴y＝﹣1，x＝2，∴yx＝（﹣1）2＝1，故選：B．【變式5-2】（2023春?綏陽(yáng)縣期中）已知實(shí)數(shù)m，n滿足+|n﹣2|＝0，則m+2n的值為（）A．3 B．﹣3 C．0 D．1【答案】A【解答】解：∵+|n﹣2|＝0，≥0，|n﹣2|≥0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，解得：m＝﹣1，n＝2，則m+2n＝﹣1+2×2＝3，故選：A．【變式5-3】（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)月考）若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，則的算術(shù)平方根為（）A．4 B．±4 C．2 D．±2【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝0，y﹣15＝0，解得：x＝1，y＝15，故＝＝4，則的算術(shù)平方根是2．故選：C．【題型6：算術(shù)平方根的應(yīng)用】【典例6】（2023春?橋西區(qū)期末）有一張面積為81cm2的正方形卡片．（1）該正方形賀卡的邊長(zhǎng)為9cm；（2）現(xiàn)有一個(gè)面積為96cm2的長(zhǎng)方形卡袋，長(zhǎng)寬之比為4：3，能否將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋？請(qǐng)判斷并說明理由．【答案】（1）9；（2）不能，見解析，【解答】解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意，得x2＝81，解得x＝9，x＝﹣9（舍去），故正方形的邊長(zhǎng)為9cm，故答案為：9．（2）不能將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋．理由如下：∵面積為96cm2的長(zhǎng)方形卡袋，長(zhǎng)寬之比為4：3，∴設(shè)長(zhǎng)為4xcm，寬為3xcm，∴4x×3x＝12x2＝96，解得x＝2，x＝﹣2（舍去），故長(zhǎng)方形的寬為，∵故不能將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋．【變式6-1】（2023春?雙柏縣期中）勤儉節(jié)約是中華民族傳統(tǒng)美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把兩塊廢棄的正方形木板分割重新拼接成一張完整的正方形桌面，其面積為1.69平方米，其中他用的一塊木板的邊長(zhǎng)為0.5米，求另一塊木板的邊長(zhǎng)是多少米？【答案】另一塊木板的邊長(zhǎng)為1.2米【解答】解：設(shè)另一塊木板的邊長(zhǎng)為x米，則：x2+0.52＝1.69，即：x2＝1.44，解得：x1＝1.2，x2＝﹣1.2（舍去），∴另一塊木板的邊長(zhǎng)為1.2米，答：另一塊木板的邊長(zhǎng)為1.2米．【變式6-2】（2023春?朝天區(qū)月考）面積為37cm2正方形紙片沿邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使剪出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬之比為3：2，且面積為24cm2？【答案】能．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3xcm，寬為2xcm，由題意得，3x?2x＝24，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm，面積為37cm2的正方形紙片的邊長(zhǎng)為，∵，∴能剪出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬之比為3：2，且面積為24cm2的長(zhǎng)方形．【變式6-3】（2023春?大冶市期末）如圖，用兩個(gè)面積為50cm2的小正方形紙片拼成一個(gè)大正方形．（1）求拼成的大正方形紙片的邊長(zhǎng)；（2）若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬之比為3：2且面積為54cm2？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）10cm；（2）能；剪出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為9cm，寬為6cm．【解答】解：（1）大正方形的邊長(zhǎng)為：；（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3xcm，寬為2xcm，根據(jù)題意得：3x?2x＝54，解得：x＝3或x＝﹣3（舍去），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3×3＝9（cm），寬為2×3＝6（cm），∵9＜10，∴沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為3：2，且面積為54cm2．1．（2023?金昌）9的算術(shù)平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3【答案】C【解答】解：9的算術(shù)平方根是3，故選：C．2．（2023?云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：第1個(gè)單項(xiàng)式為a，即a1，第2個(gè)單項(xiàng)式為a2，第3個(gè)單項(xiàng)式為a3，．．．第n個(gè)單項(xiàng)式為an，故選：C．3．（2022?涼山州）化簡(jiǎn)：＝（）A．±2 B．﹣2 C．4 D．2【答案】D【解答】解：＝＝2，故選：D．4．（2023?宿遷）計(jì)算：＝2．【答案】2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算術(shù)平方根是2，即＝2．故答案為：2．5．（2023?濱州）一塊面積為5m2的正方形桌布，其邊長(zhǎng)為m．【答案】m．【解答】解：設(shè)正方形桌布的邊長(zhǎng)為am（a＞0），則a2＝5，那么a＝，即正方形桌布的邊長(zhǎng)為m，故答案為：m．6．（2023?荊州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，則＝2．【答案】2．【解答】解：|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，∵|a﹣1|≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，則a＝1，b＝3，那么＝＝2，故答案為：2．7．（2023?湖北）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得是整數(shù)：m＝2（答案不唯一）．【答案】2（答案不唯一）．【解答】解：寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得是整數(shù)：m＝2（答案不唯一）．故答案為：2（答案不唯一）．8．（2022?賀州）若實(shí)數(shù)m，n滿足|m﹣n﹣5|+＝0，則3m+n＝7．【答案】7．【解答】解：∵|m﹣n﹣5|+＝0，∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，∴m＝3，n＝﹣2，∴3m+n＝9﹣2＝7．故答案為：7．1．（2023?廣東模擬）4的平方根是（）A．2 B．±2 C． D．±【答案】B【解答】解：±＝±2．故選：B．2．（2023春?商南縣期末）若2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)數(shù)兩個(gè)不同的平方根，則m的值（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1【答案】B【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0，解得：m＝1．故選：B．3．（2023春?河?xùn)|區(qū)期末）若x使（x﹣1）2＝4成立，則x的值是（）A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．±2【答案】C【解答】解：∵（x﹣1）2＝4成立，∴x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．故選：C．4．（2023春?二道區(qū)校級(jí)期末）若x2＝（﹣0.7）2，則x＝（）A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49【答案】B【解答】解：∵x2＝（﹣0.7）2，∴x2＝0.49，∴x＝±0.7．故選：B．5．（2023春?唐山期末）的值是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】A【解答】解：原式＝4，故選：A．6．（2023?揚(yáng)州三模）的值等于（）A．0.3 B．±0.3 C．0.03 D．±0.03【答案】A【解答】解：原式＝0.3，故選：A．7．（2023春?鐵西區(qū)期中）已知：＝4.858，＝1.536，則＝（）A．0.1536 B．48.58 C．0.04858 D．以上答案全不對(duì)【答案】C【解答】解：∵＝4.858，∴＝0.04858．故選：C．8．（2023春?思明區(qū)期末）“9的算術(shù)平方根是3”用式子表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：9的算術(shù)平方根是3用式子表示為＝3．故選：C．9．（2023春?合浦縣期末）將實(shí)數(shù)按如圖方式進(jìn)行有規(guī)律排列，則第19行的第37個(gè)數(shù)是（）A．19 B．﹣19 C． D．﹣【答案】A【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，第n行有（2n﹣1）個(gè)數(shù)，且每行最后一個(gè)數(shù)字的絕對(duì)值等于行數(shù)，奇數(shù)行的最后一個(gè)為正，偶數(shù)行的最后一個(gè)為負(fù)，∴第19行有2×19﹣1＝37個(gè)數(shù)，∴第19行的第37個(gè)數(shù)是19．故選：A．10．（2023春?萬秀區(qū)校級(jí)期中）已知x，y都是實(shí)數(shù)，且|x+1|+＝0，則xy＝（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4【答案】D【解答】解：∵|x+1|+＝0，|x+1|≥0，≥0，∴x+1＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣1，y＝4，∴xy＝（﹣1）×4＝﹣4．故選：D．11．（2022春?秀山縣校級(jí)月考）求下列各式中的x．（1）9x2﹣25＝0；（2）4（x﹣2）2﹣9＝0．【答案】（1）x＝；（2）x＝或x＝．【解答】解：（1）移項(xiàng)得，9x2＝25，兩邊都除以9得，x2＝，由平方根的定義得，x＝，即x＝；（2）移項(xiàng)得，4（x﹣2）2＝9，兩邊都除以4得，（x﹣2）2＝，由平方根的定義得，x﹣2＝或x﹣2＝﹣，解得x＝或x＝．12．（2023春?廣州期中）一個(gè)正數(shù)的平方根是2a﹣1與﹣a+2，求a和這個(gè)正數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得