第3講命題與充要條件

新課標高中一輪總復習第一單元集合與常用邏輯用語2第3講命題與充要條件3理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題，否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.41.判斷下列語句是否為命題，若是，判斷其真假，并說明理由.（1）求證：3是無理數(shù).（2）x2+4x+4≥0.（3）你是高一的學生嗎？（4）一個正數(shù)不是質數(shù)就是合數(shù).5（1）（3）不是命題，（1）是祈使句，（3）是疑問句.（2）（4）是命題，其中(4)是假命題，如正數(shù)12既不是質數(shù)也不是合數(shù).（2）是真命題，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立.62.(2010·湖北聯(lián)考)若非空集合A、B、C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則()BA.“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B.“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C.“x∈C”是“x∈A”的充要條件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件，也不是“x∈A”的必要條件由A∪B=C，則A

C且B

C，故x∈A，則x∈C，但x∈C不一定有x∈A，故“x∈C”是“x∈A”的必要不充分條件.73.(2010·天津漢沽一中模擬）命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是()CA.“若x<y,則x2<y2”B.“若x>y,則x2>y2”C.“若x≤y,則x2≤y2”D.“若x≥y,則x2≥y2”82x2+2x+12<0(2x+1)2<0，p為假，sinx-cosx=sin(x-)≤2，故q為真.所以q為假，故選D.4.(2010·山東臨沂一模)已知命題p：x∈R，2x2+2x+12<0；命題q：x∈R，sinx-cosx=2，則下列判斷正確的是()DA.p是真命題B.q是假命題C.p是假命題D.q是假命題95.(2009·江蘇金陵中學三模）若“x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命題，則x的取值范圍是

.x[2,5]，且x(-∞,1)∪(4,+∞)是真命題.由x<2或x>51≤x≤4[1,2),得1≤x<2，故填[1,2).101.命題及四種命題（1）可以判斷真假的陳述句叫做命題，它由①

兩部分構成.（2）命題的四種形式：原命題：若p則q;逆命題：若②

則③

；否命題：若④

則⑤

;逆否命題：若⑥

則⑦

.題設和結論qp
p
q
q
p11(3)四種命題的關系：⑧

的命題互為等價命題，它們同真同假.互為逆否122.充分條件與必要條件(1)若p

q,則稱p為q的⑨

，同時q是p的⑩

;(2)若

且

，則稱p是q的充要條件.1112充分條件必要條件p

qq

p13(2010·山東模擬）分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：題型一四種命題的相互關系例1（1）若b2-4ac=0，則方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實根；（2）若A∪B=I，則A=IB.14（1）逆命題：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實根，則b2-4ac=0，為真命題.否命題:若b2-4ac≠0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有兩個相等實根，為真命題.逆否命題：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有兩個相等實根，則b2-4ac≠0，為真命題.（2）逆命題：若A=IB，則A∪B=I，為真命題.否命題：若A∪B≠I，則A≠IB,為真命題.逆否命題：若A≠IB，則A∪B≠I，為假命題.15（1）已知原命題，寫出它的其他三種命題，首先把命題改寫成“若p，則q”的形式，然后找出其條件p和結論q，再根據(jù)四種命題的定義寫出其他命題.對寫出的命題也可簡潔表述；對于含有大前提的命題，在改寫命題形式時，大前提不要動.（2）判斷命題的真假，可直接判斷，如果不易判斷，可根據(jù)互為逆否命題的兩個命題是等價命題來判斷；原命題與逆否命題是等價命題，否命題與逆命題是等價命題.16若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則q是r的()A.逆命題B.否命題C.逆否命題D.以上判斷都不對C設p：若a，則b，所以q：若b，則a，所以r：若a，則b，故q是r是逆否命題，所以選C.17題型二充分條件、必要條件的判斷下列各小題中，p是q的充要條件的是()例2①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點；②p:=1,q:y=f(x)是偶函數(shù)；③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:UB

UAA.①②B.②③C.③④D.①④D18①中Δ=m2-4m-12>0(m-2)2>42m>6或m<-2，即p

q；④中A∩B=A

ABUBUA.故選D.充要條件的判斷：（1）分清命題的條件與結論；（2）常用方法有：定義法,集合法,變換法(命題的等價變換)及鏈條法等.19充分性即證：xy≥0|x+y|=|x|+|y|,必要性即證：|x+y|=|x|+|y|xy≥0.(1)充分性：若xy=0，則有x=0或y=0，或x=0且y=0.此時顯然|x+y|=|x|+|y|.題型三充要條件的證明與探索設x,y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|的充要條件是xy≥0.例320若xy＞0，則x,y同號,當x＞0且y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|;當x＜0且y＜0時，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.綜上所述，由xy≥0可知|x+y|=|x|+|y|.21(2)必要性：因為|x+y|=|x|+|y|，且x,y∈R，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2,可得xy=|xy|，可得xy≥0.故|x+y|=|x|+|y|xy≥0.綜合(1)(2)知命題成立.22充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，由“條件”“結論”是證明命題的充分性，由“結論”“條件”是證明命題的必要性.證明分為兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性，證明時，不要認為它是推理過程“雙向書寫”，而應該施行由條件到結論，由結論到條件的兩次證明.23設命題p:|4x-3|≤1；命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.由|4x-3|≤1得-1≤4x-3≤1,故12≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得(x-a)(x-a-1)≤0,故a≤x≤a+1.24因為p是q的必要而不充分條件,所以p是q的充分而不必要條件,即［12,1］［a,a+1］,所以a≤12a+1≥1,解得0≤a≤12.故所求的實數(shù)a的取值范圍是［0,12］.25(2010·江西模擬）已知拋物線C:y=-x2+mx-1和點A(3，0)、B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件.由已知得線段AB的方程為x+y=3(0≤x≤3)，因為拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，26所以方程組y=-x2+mx-1

x+y=3(0≤x≤3)有兩個不同的實數(shù)解.將y=3-x代入y=-x2+mx-1，得x2-(1+m)x+4=0(0≤x≤3),即關于x的方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有兩個不同的實數(shù)解.27反過來，若方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有兩個不同的實數(shù)解x1、x2，分別代入x+y=3可得到y(tǒng)1和y2，故拋物線C與線段AB有兩個不同的交點（x1,y1)和(x2,y2).于是問題轉化為求關于x的方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有兩個不同的實數(shù)解的充要條件.28令f(x)=x2-(1+m)x+4(如圖所示).則有(1+m)2-4×4>0f(3)≥00<m+12<3f(0)≥0，即(1+m)2>42-3m+10≥00<m+1<6，解得3<m≤103.故所求的充要條件是3<m≤103.291.充分條件、必要條件是高考中常見的考查內容，常與其他知識綜合在一起.以下四種說法所表達的意義相同：①“若p則q”為真；②p

q;③p是q的充分條件；④q是p的必要條件.302.充分條件、必要條件常用的判斷方法：（1）定義法：判斷B是A的什么條件，實際上就是判斷B

A或A

B是否成立，只要把題目中所給條件按邏輯關系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷.（2）集合法：在對命題的條件和結論間的關系判斷有困難時，有時可以從集合的角度來考慮，記條件p、q對應的集合分別為A、B，則：31若AB，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分非必要條件；若AB，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要非充分條件；若A=B，則p是q的充要條件；若A

B，且A

B，則p是q的既非充分條件也非必要條件.32(3)用命題的等價性判斷：判斷p是q的什么條件，其實質是判斷“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”是真還是假，原命題為真而逆命題為假，p是q的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；原命題為真，逆命題為真，則p是q的充要條件；原命題為假，逆命題為假，則p是q的既不充分也不必要條件.同時要注意反例法的運用.33注意：確定條件為不充分或不必要的條件時，常用構造反例的方法來說明.3.探求充要條件可以先求充分條件，再驗證必要性；或者先求必要條件，再驗證充分性；或者等價轉換條件.34(2009·福建卷)設m,n是平面