2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（九省聯(lián)考題型）（含答案解析）

2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（九省聯(lián)考題型）

學(xué)校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

設(shè)則函數(shù)=±士±土竺的最小值為（

1.x>0,y）

X

A.6B.7C.10D.11

2.已知A,3是圓C：/+y2-分=0上的兩點,過點A,B的兩條切線與直線x=4三

線共點，則直線48必過定點（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.

0A=3,設(shè)B,

3.如圖，圓。是半徑為1的圓,C為圓上的任意2個點，則AC8C的

2

[-1.3]C.[-1-1]D.[~,1]

O

4.有5名留學(xué)海外的南開畢業(yè)生回到母校的3個班去分享留學(xué)生活見聞，則每個班至

少去一名的不同分派方法種數(shù)為（）

A.36B.72C.90D.150

2n+l,、

5.已知數(shù)列｛%｝滿足：an=4/+數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和為（，若

〃eN*）恒成立，則幾的取值范圍是（）

(33、

A.~M，~8B.(-oo,5)

65

C.-00，16D.(-co,4)

6.如圖，在長方體ABCD-ABCR中，BC=2AB=2BB1=6,點E為棱8C上靠近點C

的三等分點，點尸是長方形AD2A內(nèi)一動點（含邊界），且直線用尸，與平面AD2A

所成角的大小相等，則下列說法錯誤的是（）

A.4尸〃平面BCG片B.三棱錐尸-2耳￡的體積為4

-525

C.存在點居使得AF/碼ED.線段4尸的長度的取值范圍為

_Zo

7.過點尸(2,1)作直線/,分別與X軸的正半軸、y軸的正半軸交于點AB,O為坐標原點,

設(shè)NQ4B=e,則當(dāng)Q4B的周長最小時，tan夕等于()

134一

A.—B.—C.—D.2

243

171

8.已知函數(shù)/(x)=a(sinx-cos尤)+—cos2x+x,若/(x)在一不、兀上單調(diào)遞增，貝!]。的

2_2

范圍是()

A.[1,2]B.[0,+?)C.[0,2]D.[0,1]

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.集合A/={-2,3—+3X-4,x2+x-4),若則x=—2或x=l

B.設(shè)全集為R,若則翻1RA

C.集合科*=3〃+1,〃eZ}={[x=3n—2,?eZ}

D.“X和y都是無理數(shù)”是“x+y是無理數(shù)”的必要不充分條件

10.已知函數(shù)/(x)=2sin[2x-11+l,則下列說法正確的是()

A.f(x+7r)=f(x)

B.小+弓的圖象關(guān)于原點對稱

SJT

c.^0<x1<x2<—,則/(石)</(9)

兀冗

D.對S,巧，x36,有/(%)+/($)>/(%)成立

11.已知直線y=-尤+2分別與函數(shù)丫=6'和y=lnx的圖象交于點4(玉,乂),3(9,為)，

則下列結(jié)論正確的是()

試卷第2頁，共4頁

A.西+%2=2B.e*+e巧>2e

-

C.xl]nx2+x2]nxl>0D.玉馬〉]

三、填空題

12.已知世包(i為虛數(shù)單位，oeR)為純虛數(shù)，則。=.

1+i

13.在平面直角坐標系x°y中,P是曲線無2=分上的一個動點，則點尸到直線x+y+4=。

的距離的最小值是—.

14.在長方體中，AB=3,AD=AA1=4,E,F,G分別是棱AB,BC,

CG的中點，P是底面ABC。內(nèi)一動點，若直線2P與平面EBG平行，當(dāng)三角形2男尸的

面積最小時，三棱錐A-B耳尸的外接球的體積是.

四、解答題

15.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成績實行“3+3”的構(gòu)成模式，第一個“3”

是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、

化學(xué)、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考

錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某

一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S,從學(xué)生

群體S中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)

計如表：

選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)123

人數(shù)104050

(1)從這100名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等的概率；

(2)從這100名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量

之差的絕對值，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望；

(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機抽取4名學(xué)生，將其中恰好選考物理、化學(xué)、

生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y,求事件“Y>2”的概率.

16.已知函數(shù)=f—alnx-l,aeR.

(1)當(dāng)a=2,求函數(shù)外力的極值;

(2)若函數(shù)/(無)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

17.如圖，在幾何體93中，底面ABC為以AC為斜邊的等腰直角三角形.已知平面

ABC，平面ACD,平面ABC1平面/平面A8C,A￡>J_DE.

⑴證明：平面AC。；

⑵若AC=28=2,設(shè)/為棱班的中點，求當(dāng)幾何體ABCDE的體積取最大值時AM與

8所成角的正切值.

22

18.已知橢圓C:=+與=1(。>6>0)的左、右焦點分別為小工，設(shè)點小鳥與橢圓短軸

的一個端點構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形.

⑴求橢圓C的標準方程；

34

(2)橢圓C上的三點A民尸，滿足記線段A3的中點。的軌跡為石，

若直線/：》=%+1與軌跡E相交于兩點，求|MN|的值.

19.對數(shù)列｛〃〃｝,規(guī)定｛△在｝為數(shù)列｛的｝的一階差分數(shù)列，其中△an=an+i-an(〃eN*),

規(guī)定｛△2即｝為｛即｝的二階差分數(shù)列，其中△2即=△〃〃+,-△刖(〃￡N*).

(1)數(shù)列｛〃〃｝的通項公式%=/(nGN*),試判斷｛△〃〃｝,｛△2即｝是否為等差數(shù)列，

請說明理由？

(2)數(shù)列｛加｝是公比為q的正項等比數(shù)列，且衣2,對于任意的〃《N*,都存在加￡N%

使得△2加=加1,求9所有可能的取值構(gòu)成的集合；

(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛c〃｝的前〃項和為S〃，且△2憾=0,對滿足力+〃=2Z,m^n

的任意正整數(shù)相、孔、k,都有cm^cn,且不等式恒成立，求實數(shù)/的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】利用基本不等式求解可得答案.

【詳解】.%>0,..y=r+苫+25=彳+至+]32,?生+1=11,

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)尤=235，即x=5時，等號成立，

x

所以函數(shù)y=Y+X+25的最小值為11,

X

故選：D.

2.A

【分析】設(shè)點尸（4,為三線共點，則以尸C為直徑的圓與圓C：/+/-4=0的兩個交點

即為切點，由兩圓相減即可得出公共弦的直線方程，利用賦值法即可得出定點.

【詳解】依題意，如圖所示:

圓C：x2+y2-4y=0的方程可化為C：Y+（y-2）2=4所以圓心C（0,2）.

（ill+2\

設(shè)兩條切線的交點為P（4,機），則以PC為直徑的圓的圓心為[2,丁/

設(shè)以PC為直徑的圓的半徑為「，

貝"=四=+5-2）2=JI6+（〃L2）2.

所以以小為直徑的圓的方程為-2T+（y-等）、生「.

過點尸（4,加）作圓C：d+y-4y=0的切點分別為A,B,

兩圓的交點為A,B,即兩圓的公共弦為48.

將兩圓的方程相減可得直線A3的方程為4x+（?7-2）y-2?7=0,

2=。得仃=1

即〃z(y_2)+(4x_2y)=0,

4x-2y=0[y=2'

答案第1頁，共20頁

所以直線AB必過定點(1,2).

故選：A.

3.A

【分析】利用平面向量線性運算和數(shù)量積運算，將AC2C轉(zhuǎn)化為JgC1-4C|-cos。，其

中。為。4和8c的夾角.由此求得AC8C的取值范圍.

【詳解】設(shè)。是線段8c的中點，則有OD±BC.設(shè)9為。1和8c的夾角.則ACIC

={OC-OA^BC=OCBC-OABC=\pd\.|BC|-COSZBCO-|OA|-|BC|-COS6

=||BC|2-||BC|COS6>,且

BC2-Bccos0BC2-BC=Bc

I||11|-11|I||IfI|-1"!一!’由于18cle[°，2],所以當(dāng)忸。昌

時，ACBd有最小值-1又當(dāng)BC=2且cos6=-l時，42VB4cos。有最大值為3,

821?21?

即AC4C有最大值3.所以AC4C的取值范圍是一：，3.

_O

故選：A

【點睛】本小題主要考查向量線性運算、數(shù)量積的運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,

屬于中檔題.

【分析】按2、2、1和1、1、3兩種情況分別算出分派方法的種數(shù)，然后相加，即可得到本

題答案.

CC

【詳解】分兩類：一類，3個班分派的畢業(yè)人數(shù)分別為2、2、1,則有十?禺=90種分派

方法；另一類，3個班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1、1、3,則有點?閥=60種分派方法，所

以不同分派方法種數(shù)為90+60=150種.

故選：D

答案第2頁，共20頁

【點睛】本題主要考查排列組合的綜合問題.

5.D

【分析】由于%=J：.、2=34一1二，所以利用裂項相消求和法可求得

4n2x(n+l)(〃十了

2

en+2n丁nA(_*\(〃+10)(〃+2)

小文廠然后由7>(，+1)(〃+1。)(〃訃T)可得(4(1)“恒成立'再利用基本

不等式求出‘'的最小值即可

4(H+1)

2n+l111

【詳解】%=4^~(n+l)2

4n2x(n+l)2

故北二相一卦GV卜…+J-島

11場2+2幾

-I------------=-------------

4[(n+l)2J4(2)2

故丁">(〃+l)”(i+10)(〃N*)恒成立等價于會+，

(?+10)(?+2)

即4(?+1)>4恒成立,

1a

化簡得到了(?+1)+-^+10>2,

4175+1)J

、

因為;(〃+1)+999

+10>-2出+】)?(+10=4當(dāng)且僅當(dāng)〃+1=----即〃=2時

5+1)4n+1)〃

7+1

取等號，

所以4<4.

故選：D

6.B

【分析】由已知，選項A,可根據(jù)平面ADQA〃平面3CG4,利用面面平行的性質(zhì)推導(dǎo)出

A/〃平面5CG耳；選項B,可利用等體積法，/一期《二匕—明E去計算；選項C,連接A尸，

作EGHCD交于G,連接FG,根據(jù)4尸旦=ZEFG可知人尸=FG,從而確定點尸在AG

答案第3頁，共20頁

的中垂線上，當(dāng)點尸與點K重合時，AF//B、E；選項D,根據(jù)cosNAGA=73=石片，結(jié)合

HU

HG=A/=三25，分別計算線段4尸的長度的最大值和最小值即可.

O

【詳解】選項A,因為平面ADDA"平面BCC'BI,A尸u平面ADD^，所以A尸〃平面BCC^,

該選項正確；

選項B,VF_BBiE=VA_BB[E=^xix3x4x3=6,該選項錯誤；

選項C,如圖1,連接人/，作EG〃CD交AD于G,連接FG.

因為A瓦，平面ADD,A,所以NA/耳為BXF與平面ADD.A,所成的角.

因為EG,平面ADD,A，所以/E/G為EF與平面ADD}A所成的角.

因為瓦F,EF與平面ADDM所成角的大小相等，所以NAFB]=NEFG,貝|

tanZAFB,=^=tanZEFG=,又因為AB,=EG,所以4尸=尸G,則點尸在的中垂線

/\rr(jr

上，即點尸在線段上運動，如圖2.當(dāng)點廠與點K重合時，%FHB\E,該選項正確；

選項D,因為BC=2B與=6,E為棱3c上靠近C的三等分點，所以e=3,AG=4,貝|

AG=5.因為cosNAGA=g|；=祟，所以8G=A/=M.當(dāng)點下在點/或點X處時，線

25

段4尸的長度取到最大值，最大值為當(dāng)點P在點K處時，線段AF的長度取到最小值，

O

5「525"

最小值為g.所以線段4尸的長度的取值范圍為-，V,該選項正確.

2|_Zo_

圖1圖2

故選：B.

7.B

【分析】利用三角函數(shù)表示出Q4B的邊長，可得其周長的表達式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最

值情況，即可求得答案.

答案第4頁，共20頁

TT

【詳解】由題意，如圖，尸（2」），分別作尸。，。4,2。，。"垂足分別

為C,D,

119

則|QA|=|OC|+|CA|=2+-\AB\=\PA\+\PB\=--+-

tan8sin6cos8

|OB|=|OD|+|DB|=l+2tan6>,

一112

則sOAB的周長可表示為IOA|+1OB|+1AB|=2H--------F1+2tan0H--------1---------

tan0sin0cos0

i

令tan6=">0,貝|sin<9=i,cos<9=

#7TJ?+i

2

iA//_i_i/------,1_12t

則周長為y=3+/2/+,+2g,則尸一二2-瓦尸q+不7T

112t23/+2f2.

0

令相（。=一丁+2_,廣—+r——,?>0）,則加?）=/+r+r>,

t「業(yè)+1,廠+1'z34（r+ir（產(chǎn)+1戶

,1cl2t

即y=-”+2-&/+]+77G在（°，+◎上單調(diào)遞增，

2

1c12tn2t-l1-2/

令y'=。，即一產(chǎn)+2-----------/-------/二0,即——

/+1〃+112dt2+1

3

整理為4戶—3/=0,可得t=

4

33

貝ij當(dāng)o</<時，y<o,當(dāng)時，y>o,

44

即函數(shù)y=3+；+2f+'7+2V?W在區(qū)間（0卷）上單調(diào)遞減，在弓,+?0上單調(diào)遞增,

???函數(shù)在t=：時，取得極小值，且為最小值，

4

3

即當(dāng)Q4B的周長最小時，tan,

4

故選：B

【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于求出三角形周長的表達式后，要利用導(dǎo)數(shù)判斷其最

值情況，其導(dǎo)數(shù)的計算比較復(fù)雜，要特別注意.

8.D

答案第5頁，共20頁

【分析】首先求得了'(%)=〃905%+5皿%)-$1112%+1,則問題轉(zhuǎn)化為廣。)之。在一萬，萬恒成

立，

令t=cosx+sinX,可將問題轉(zhuǎn)化為不等式/-必-2W0在［-1,四］上恒成立.構(gòu)造函數(shù)

.「［/z(-l)<0

h(t)=t2-at-2,ZG［-1,偽,只需滿足j以衣<0.可求得〃的范圍.

【詳解】/(x)=a(sinx—cosx)+；cos2x+x,

/./(x)=〃(cosx+sinx)-sin2x+l

jr

若在F，n上單調(diào)遞增

,71

貝U/(%)=Q(cosx+sinx)—sin2x+l2。在一于兀恒成立，

々f=cos尤+sinx,則r=VIsin［x+/］,sin2x=產(chǎn)-1,又一fVx+fV”故，

V4J444

一停Wsin卜+(卜1n/e［-1,行］，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式1m+2上0在［-1,四］上恒成

立，即不等式f2—成_240在［-1,忘］上恒成立.令帕)=產(chǎn)-1-2,忘］，則有

［/?(-1)<0

［0)4。'解得°會九

故選:。.

【點睛】本題的求解過程自始至終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第一個轉(zhuǎn)

化過程，換元是第二個轉(zhuǎn)化過程;構(gòu)造二次函數(shù)是第三個轉(zhuǎn)化過程，也就是說為達到求出參數(shù)

■的取值范圍，求解過程中大手筆地進行三次等價的轉(zhuǎn)化與化歸,從而使得問題的求解化難為

易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學(xué)思想的威力，難度困難.

9.BC

【分析】對于A：由2eM,得出3d+3x-4或f+x-4等于2,分別求解，然后驗證互異

性即可判斷為錯；對于B：由集合間的包含關(guān)系和補集的概念判斷正確；對于C：令集合

｛尤I尤=3w-2,〃eZ｝中的a=L+L左?Z,即可判定為正確；對于D,取特值即可判定為錯誤.

【詳解】對于A：由2eM,

右3%2+3%—4=2=>f+%—2=0=>x=-21,

當(dāng)％=1時，f+%-4=-2不滿足互異性，舍去，當(dāng)％=-2時，x2+x-4=-2,不滿足互異

答案第6頁，共20頁

性，舍去；

若d+x—4=2=>/+*-6=0=>x=-3或2,

當(dāng)x=2時，3尤？+3元一4=14合題意，當(dāng)x=—3時，3/+3x—4=14,合題意，

故％=-3或2,A錯誤；

對于B：若AgB,則翻URA,B正確；

對于C：令集合{x|x=3〃-2,〃eZ}中的〃=左+1,左eZ,得

{x[x=3〃-2,〃eZ}={x|x=3左+1,%eZ}={x[x=3〃+l,"eZ},故C正確；

對于D：x="y=-Enx+y=O不是無理數(shù)，若x+y=&+l為無理數(shù)，可取x=6,y=l,x

和y不都是無理數(shù)，故"X和y都是無理數(shù)”是“x+y是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故

D錯.

故選：BC.

10.ACD

【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式求周期判斷A,利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B,利

用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,利用正弦型函數(shù)的值域可判斷D.

【詳解】???函數(shù)/(x)=2sin(2x-1+l的周期T=§=萬，所以萬)=/(力恒成立，

故A正確；

又小+f=2sin2x+l,所以/'1+1^=251吟+1=白+1,

/H+C=2sinH]+i=_^+1,所以小+力"{表小，

所以/卜+7]的圖象不關(guān)于原點對稱，故B錯誤；

當(dāng)時，所以函數(shù)/(x)=2sin(2x-g1+l在上單調(diào)遞

增，故C正確；

?—?、r兀7C一廣.—TCTC2兀.-\/3.（TC\

因為無￡—,所以2%一5￡—，故w-Wsin2冗一7W1,

/（x）e[V3+l,3],又2（石+1）>3,gp2/（%）^>/（%）max,

nTT

所以對VX1,尤2，毛€勺，5]，有/（%）+/（三）>/（尤2）成立，故D正確.

故選：ACD.

答案第7頁，共20頁

11.AB

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=^與y=lnx的圖象關(guān)于y=x對稱、4(%,%)在〉=-％+2上，可判斷

A；利用基本不等式和選項A可判斷B；設(shè)/(x)=e*+X-2,利用函數(shù)的單調(diào)性可得。<X1<1,

22

1<X2<2,由％In%+尤1nxi<(西一％2)山工<0可判斷C；記g(x)=2-x-lnx,利用零點存

在性定理可得1<々，由西W=(2-%2)赴二馬山々構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx(x>0),利用導(dǎo)

數(shù)可得f(x)在尤e(l,e)上單調(diào)遞增，可得答案.

【詳解】對于A,因為函數(shù)丫=^與y=lnx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對稱，

因為y=x與V=-x+2互相垂直，所以4(下,必),3(孫力)關(guān)于丫7對稱，

所以占=%，%=%，又4(玉,M)在y=-x+2上，

所以乂=-占+2,所以士+馬=2,故A正確;

對于B,+e*>2點計&=2e，故B正確;

將V=-*+2與y=e*聯(lián)立可得-x+2=e*,即e*+x-2=0,

設(shè)/(x)=e*+x-2,則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

因為/'(0)=e°+0-2=-1<0,+：-2=￡-|>0,

故函數(shù)的零點在H上，即0<玉<g,由占+Z=2得，

1<%,<2,Xjlnxj+x2lnxj=xjnx2-%皿，<占In尤?In%=(xx-x2)\n.x1<0,故C錯誤;

x\

記g(x)=2-x-lnx,則x>0時g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，

g(l)=2-l-lnl=l>0,g^Vej=2-Ve-InVe=^-Ve<0,

則1V%2〈八，2-％2—ln%2=。,所以玉％=(2-%2)%2=%21n%2，

函數(shù)〃%)=%山%(%>0),r(x)=l+lnx,當(dāng)％￡(l,e)時，>0,

所以/(%)在％￡(l,e)上單調(diào)遞增,又%=lnw=芯,

故石兀2=/In/<五In五=

2

故選項D錯誤.

答案第8頁，共20頁

故選：AB.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)〃x)=e*+彳-2,利用單調(diào)性得到0VAi<1,

1<X2<2,考查了學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)運算能力.

12.-3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.

〃+3i(tz+3i),(1—i)a+3+(3—〃)i〃+3(3—〃).

【詳解】--.；=---~~L=-+^--Ll

1+1+2r22

因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以彳=。，a=3

故答案為：-3.

13.巫

2

【分析】根據(jù)題意，找到與直線X+'+4=0平行且與曲線Y=4y相切時的切點坐標，再結(jié)

合點到直線的距離公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線x+y+6=0與y=相切，則切線的斜率為t

4

且/=gx,令y=gx=-l,則x=-2,即切點的橫坐標為—2,

將x=—2,代入y=可得y=i,即切點坐標為(一2,1),

所以點P到直線x+y+4=0的距離的最小值即為(-2,1)到直線的距離，

即八匕二±也，

V1+12

故答案為：地

2

125兀

14.

6

答案第9頁，共20頁

【分析】由直線與平面沒有公共點可知線面平行，補全所給截面后，易得兩個平行截面，從

而確定點P所在線段，可知當(dāng)時，三角形3片尸面積最小，然后證明耳P,得

到為三棱錐A-24尸的外接球的直徑，進一步求解得答案.

【詳解】補全截面E/G為截面EFGHQK如圖，設(shè)以，AC,

「直線DtP與平面EFG不存在公共點，,DtP//平面EFGHQR、,

易知平面ACR//平面EFGHQR,,.-.PeAC,

且當(dāng)尸與R重合時，BP=BR最短,此時PBB］的面積最小，

由等面積法得;BRXAC=：ABX8C,BP|B/?XA/32+42=^X3X4,:.BP=三,

B,B±AP,BP±AP,.1AP，平面4BP,則AP_L耳尸，

又AB，與8,A與為三棱錐A-8男尸的外接球的直徑，長度為反百=5?

二三棱錐A-84尸的外接球的半徑為g,體積為V=g;rx5

【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)

化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段以，尸8,PC兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元

素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用摩2+總2+~?2=4友求解，考查學(xué)生的空間想象能

力與思維能力，是中檔題.

答案第10頁，共20頁

41

15.(1)—

?99

（2）H

【分析】（1）由題，可知總情況數(shù)為c；。。，2人選考科目數(shù)量分別為1,2,3的情況數(shù)，據(jù)

此可得答案；

（2）由題意可知X的可能取值分別為0,1,2,分別求得X=0,1,2時概率即可得答案；

402

（3）由題可得隨機抽取1人，選考科目數(shù)為2的概率為又F22,即4人中有2

人，3人，4人選考科目數(shù)為2,即可得答案.

【詳解】（1）記“所選取的2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等”為事件A,則

兩人選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量（以下用科目數(shù)或選考科目數(shù)指代）為1的情況數(shù)為C；。，

OC；41

數(shù)目為2的為C3數(shù)目為3的有C3則尸（A）=

C?oo99

（2）由題意可知X的可能取值分別為0」,2.

或+1+/=41

為0時對應(yīng)概率為（1）中所求概率:p(x=o)=

/99’

為1時，1人選考科目數(shù)為1,另一人為2或1人為2,1人為3：

CXo+C'C；16

P(X=1)=oo

33

為2時，1人為1,1人為3：P（X=2）=?/=卷.

joo

則分布列如圖所示:

X012

411610

P

993399

故X的期望為E（X）=0x面+以玉+2*面=為；

（3）所調(diào)查的100名學(xué)生中物理、化學(xué)、生物選考兩科目的學(xué)生有40名，相應(yīng)的頻率為

答案第11頁，共20頁

忐40=§2,則4人中隨機1人選考2科的概率為二2.

Xr>2,當(dāng)y=2時，相應(yīng)概率為i=x"-|)；當(dāng)y=3時，相應(yīng)概率為

2

；y=4,相應(yīng)概率為6

5

貝iJp（yN2）=c；1|]x2328

+C：

625

16.(1)見解析；⑵(0,2)U(2,4W)

【分析】(1)代入。的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確

定a的范圍即可.

【詳解】⑴當(dāng)a=2時，r(x)=2x-p令r(%)=0,解得X=l.

列表：

X（0,1）1（L+OO）

r（x）——04-

f(x)極小值/⑴/

所以，當(dāng)x=l時,〃力有極小值"1)=0,/⑴沒有極大值

r

(2)①因為/(力=爐_01nx_i,x>0所以/(x)=2x--.

當(dāng)aV0時，/r(x)>0,

所以“力在(。，+8)上單調(diào)遞增，“X)只有一個零點，不合題意，

當(dāng)。>0時，由尸(x)>0得x>J|,由/'(x)<0得0。<機，

\a

所以/(力在Q上單調(diào)遞減，/(尤)在2，+C°上單調(diào)遞增,

所以八x)在尤=自處取得極小值，即為最小值.

答案第12頁，共20頁

1。當(dāng)4=2時，f（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，/（元）在（1，+8）上單調(diào)遞增,

/（元）只有一個零點，不合題意；

2°當(dāng)0＜。＜2時,/⑴=0,/（元）最多有兩個零點.

注意到f(x)=x2-a\nx-\＞-a\nx-\,令一alnx-1=0,

取x0=e-，使得〃毛）>0,下面先證明機>/：；

設(shè)g（x）=xlnx,g，（尤）=lnx+l,令g[x）=0,解得尤=:.

列表

1

X

e

g'(x)——0卜

g(x)極小值T

當(dāng)x二L

所以，g（x）有極小值g

e

所以故即'口〉e".

e22\2

因此，根據(jù)零點存在性定理知，在上〃x）必存在一個零點,

又x=l也是/（%）的一個零點，則/（x）有兩個相異的零點，符合題意

3。當(dāng)。>2時，g>l,故/。）=0,/（“最多有兩個零點.

注意到lnx<x,取x，=a+l>J^,

貝If（x，）=x，2-^lnxr-l=（?+l）2_Qln（Q+l）_]

++1=a>0,

因此，根據(jù)零點存在性定理知，在+1上必存在一個零點,

又x=l也是“X）的一個零點，則/（x）有兩個相異的零點，符合題意.

答案第13頁，共20頁

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(0,2)u(2,y).

【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值及零點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,

轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.

17.(1)證明見解析

(2)6

【分析】(1)先做一條輔助線，再通過面面垂直的性質(zhì)得到。平面ABC,再根據(jù)OE平

面A3C,可得進而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明.

(2)過點E作EN1.BC交8c與點N，連接ON,通過題目條件和小問1結(jié)論證明四邊形ODEN

為平行四邊形，然后把多面體ABCDE分為兩個三棱錐求體積，令

￡>E=x(OWx<l),把求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于尤的函數(shù)的最大值.構(gòu)造函數(shù)/(x),通過

導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，進而得到f(x)的最大值，求出此時的尤值.然后以點0為原點建立空

間直角坐標系。-孫z,通過向量法求A"與CZ>所成角的正切值.

【詳解】(1)過點。作DO,AC交AC與點0,

平面ABCJ,平面ACD,且兩平面的交線為AC

平面ABC又'DE.平面ABC:.DO±DE

又：AD_!_￡>￡■且ADcOO=D平面ACD

(2)過點E作①交3c與點N,連接ON

平面ABCJ,平面3CE,且兩平面的交線為8c

；.EN_L平面ABC又?.AE)平面ABCE到平面ABC的距離相等

ADOEN旦D0=EN,ON_L平面ACD:.CO=ON,DE=ON

■■+^-ACD=1-S1DE.SMCD=1EW+1DE.DO=1DO(1+DE)X

DO2+DE2^DO2+CO2=CD2=1,令DE=x(0VxWl)

則VABCDE=/W=1^0(1+DE)=，"x)=-2x).

所以/■紅)在上單調(diào)遞增，在］上單調(diào)遞減，

即5</1>岑，當(dāng)且僅當(dāng)DE=；時取得最大值.

如圖所示，以點0為原點建立空間直角坐標系。-孫z,

答案第14頁，共20頁

(]3OC3封f106

所以",AM=〔444)122J

\4447

AMCD歷

設(shè)A"與C。所成角為a,則cosa=--------=——,則tantz=6,即當(dāng)幾何體ABCDE體

AM\-\CD37

積最大時，4〃與8所成角的正切值為6.

/K2

18-(1)￥+T=1

⑵述

3

【分析】(1)由題意可得c=2,即可求出力=2,即可求出橢圓的標準方程；

(2)方法一：設(shè)4%,%),8(%，%),利用向量。尸，求得點尸的坐標，根據(jù)點尸在橢圓上，

把直線的方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達定理，利用弦長公式，即可求解；

方法二：設(shè)42&3%25m口),3(2行3尸21110,根據(jù)題意和點尸在橢圓上，化簡整理

可得a-4=1,再根據(jù)中點坐標公式，消去a線段AB的中點。的軌跡方程，再設(shè)",N兩

點點坐標為(%,%),根據(jù)弦長公式即可求出.

【詳解】(1)由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=2A/2,

22

故橢圓c的標準方程為二+幺=1.

84

(2)方法一

設(shè)A(再,％),2(無2,為)，

34(3434、

因為0尸=三。4+三08,所以0尸=|彳西+三尤2，三"+三%.

答案第15頁，共20頁

一「3434

故P點坐標為［5玉+二區(qū)2'不'1+1%

由于點P在橢圓C上,

故有照+川2+聆】+軻

=1,

2222

9%?%16%2?%24

H-------H-----

2584258425

所以十+苧=°'

X_X|+%

-7

令線段m中點坐標為Q(x,y),則

y=2i±A

因為A,8在橢圓C上，故有°,\

"+江=1

184

2222

相加有%+%+X+%=2,

84

故(%+%)2-2=々+(必+%『-2%%=2,

84

由于牛+個=0,

故包+在1=2,即。點的軌跡E的方程為片+亡=1，

8442

《+匚1

聯(lián)立《42得3/+4彳-2=0,

y=x+1

設(shè)”(%,%)，N(*%)，

42

則xx=——,

x3+x4=――,34

故\MN\=J1+左2k3-X|=d、+k2d5+Z)2-4冗3>4=.

4

方法二

設(shè)A(2A/2COSa,2sina\5(2^2cosB，2sin0),

答案