2024高考一模模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（解析版）

備戰(zhàn)2024高考一模模擬訓(xùn)練卷(1)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)集合A={x\y=Jx-2},B-{y\y--x2+4},則/c3=()

A.0B.RC.[0,4]D.[2,4]

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查集合的交集運(yùn)算，函數(shù)的定義域、值域，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：；x22,集合A=[2,+oo),

又集合8=(-鞏4],故NcB=[2,4].

故答案選：D

2.設(shè)萬(wàn)，B為非零向量，且滿足|萬(wàn)+3|=①一3|,則展3=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查利用向量的模求向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)[2+31=|5-|得忸+訐=|@-時(shí),展開(kāi)求解即可.

【解答】

解：因?yàn)?a+B國(guó)萬(wàn)一31,所以耳

即IN/+2a-b+\b^=\af-la-b+\b^,所以濟(jì)3=0

故選8.

7

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1),貝『六|=()

2-1

A.2B.3C.V2D.1

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題

【解答】

解：...復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1),二"二？十，，貝/

4.2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)接,

需要經(jīng)過(guò)多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)(長(zhǎng)軸端點(diǎn)

第1頁(yè)，共20頁(yè)

中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面E，近地點(diǎn)(長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn))距地面邑，地球的半徑為七則該橢

圓的短軸長(zhǎng)為()

A.B.

C.&Si+R)(Sz+R)D.210+R)(S2+R)

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得。+c=S]+R,a—c=S2+R,計(jì)算即可得解.

【解答】

222

解；由題意得a+c=S]+R,a-c=S2+R,b=a-c=(Sx+R\S2+R),

b=M+RX^+R)，26=2抑]+1)(邑+區(qū)).

5.已知sin(a-e]=cos]?+ej,則cos26=()

1

A.1B.-1C.-D.0

2

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

7T

根據(jù)兩角差的正弦公式和兩角和的余弦公式，可得tan6=-1,即可得到。=-7+左匹左￡Z,再根據(jù)誘導(dǎo)

4

公式即可求出cos20.

【解答】

解：Hsinf--cosfT+所以Lcose-X^sine=LsinO,

16J16J2222

所以1——sin^=――-cos0,所以tan8=—1,

22

■JT

所以。=——十左肛左eZ,

4

所以cos20=cos2x(-/+fcr]=cos]-,+2fcrJ=cos]-=0,"eZ

故選：D.

6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃Q2),有下列四個(gè)命題：

甲：尸(X〉掰+1)〉尸(X(加一2)；乙：尸(X〉加)=0.5；

第2頁(yè)，共20頁(yè)

丙：P(X^m)=0.5；?。篜(m-1<X<m)<P(m+1<X<m+2).

如果只有一個(gè)假命題，則該命題為

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查正態(tài)分布的概率，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：乙、丙一定都正確，則〃=加，P(X〉m+l)=P(X<m-l)〉P(X<m-2),

甲正確，，丁錯(cuò)，選D.

7.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+1)為偶函數(shù)，/(x)=f(x+1)-/(x+2),若/(I)=2,則/(18)=()

A.IB.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，屬于中檔題.

【解答】

解：/(2x+l)為偶函數(shù)，則/(x)關(guān)于x=l對(duì)稱，取/(x)=2sin(工x+工)關(guān)于x=l對(duì)稱，

36

TTTTTTTL

/(X)+/(X+2)=2sin(―x+-)+2sin-(x+2)+-

36|_36

=2sin(—%+—)+sin(—x+—

L3636J

c「.乃7171.71.715%71.51.1

=2sin—xcos——I-cos—xsin——I-sin—xcos--1-cos—xsin—TI=2cos—TTX.

_36363636J3

/(x+l)=2si嗚x+g=2cos*—(x)+/(x+2),

即/(x)=2sin(-7VX+工)滿足條件，/(18)=2sin(6^+-)=l.

366

8.已知/(x)=xlnx,若過(guò)一點(diǎn)(加汨)可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項(xiàng)一定成立的是()

2

A.n<mInmB.n>m\nmC.--e<〃<0D.m<1

e

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題.

第3頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)切點(diǎn)為(f/lnf),求得切線方程為y=+,可得出/-“zlnf+〃一〃？=0,令=+

分用(0、加>0兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(。的單調(diào)性，根據(jù)方程g?)=0有兩根可得出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)切點(diǎn)為(fJlnf),對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)得/'(x)=lnx+l,則切線斜率為r?)=lnf+l,

所以，切線方程為V-/ln/=(lnf+l)(x-。，即y=(lnt+l)x-f,

所以，〃=+1),可得/=0,

g(t)=t-mint+n-m,其中/>0,

由題意可知，方程g(/)=o有兩個(gè)不等的實(shí)根.

①當(dāng)加wo時(shí)，對(duì)任意的/>o,g'Q)>o,此時(shí)函數(shù)g(。在(o,+8)上單調(diào)遞增，

則方程g(/)=o至多只有一個(gè)根，不合乎題意；

②當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)0<f<加時(shí)，g'⑺<0,此時(shí)函數(shù)g?)單調(diào)遞減，

當(dāng)，>冽時(shí)，g'(f)>0,此時(shí)函數(shù)g?)單調(diào)遞增.

由題意可得g")*=^(/M)=m-mlnm+n-m=n-mlnm<Q,可得〃<加山〃?.

故選：A.

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-中，4c與BD交于點(diǎn)。，貝U

A.ADJI平面BOQB.BD±平面COG

2

C.G。與平面/BCD所成的角為45°D.三棱錐c-的體積為］

【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查空間直線與平面的平行與垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面所成的角，屬于中檔題.

逐項(xiàng)判斷，可得結(jié)果.

【解答】

第4頁(yè)，共20頁(yè)

解：AD/BC「AD]，平面50G,8Gu平面BOQ,ZD]〃平面BOQ,/對(duì).

BDICO,BD±CCX,CDcCG=C，二臺(tái)。，平面COG，臺(tái)對(duì)?

2

C]C_L平面48CD,G。與平面48cz）所成角為NC]OC,tanZCOC=

1正w1,

.-.zqoc^45°,。錯(cuò).

112

V-V=—x—x2xlx2=—,。對(duì).選/BQ.

cLBOC-c—ZBJOC/C323

10.已知函數(shù)/（》）=/53（4￥+。）（其中幺>0,<y>o,I〈萬(wàn)）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是（）

TT

B.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-診,0）對(duì)稱

C.函數(shù)“X）在區(qū)間［-工，工］上單調(diào)遞減

36

D.若/（----（/）=—>則sin"a-cos4a的值為—

655

【答案】BD

【解析】【分析】

第5頁(yè)，共20頁(yè)

本題考查由部分圖象求函數(shù)解析式，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，

屬于中檔題.

首先利用函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的關(guān)系式求解.

【解答】

T27r57r7C

解：由函數(shù)的圖象，得知：4=2,—=------------=—，

43124

2%

所以T=故。=—=2,

T

57r

2x+(p=k兀"GZ),

5%

解得。=上萬(wàn)——(A-eZ),

6

jrSTT

由于|夕|<?,所以0=—或----，

66

.5兀_.,2〃,人r、

當(dāng)r0=x=2sin(2x--------)=2(舍去)

6336

故/(x)=2sin(2x+生)，故/錯(cuò)誤；

6

rrTT

當(dāng)彳=一一時(shí)，/(——)=0,故8正確；

1212

當(dāng)xe[-工，工]時(shí)，2x+-e[--,-],/(x)為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

36622

什兀、6c?/萬(wàn)c兀、6

對(duì)于D：右f(-----a)=一，2sin(2aH—)=—,

65365

63

整理得：2cos2a=-，所以cos2a=—.

55

3

sin4a-cos4a={sin1a+cos2a)(sin2a-cos1a)=-cos2a=--,故Z)正確.

故選：BD.

11.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別

以4,4表示從甲罐取出的球是紅球、白球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以5表示從乙罐取出的球是紅球.

則下列結(jié)論中正確的是()

733

A.尸⑷4)=6B.p⑻=寶

OJ0

c.事件B與事件4相互獨(dú)立D.4，4互斥

【答案】BD

第6頁(yè)，共20頁(yè)

【解析】【分析】

本題考查條件概率，互斥事件與相互獨(dú)立事件的判斷等知識(shí).屬中檔題.

根據(jù)題意，逐一分析判斷即可.

【解答】

52

解：由題意4，4是互斥的事件，「（4）=于尸（4）=于

_5x—5

p（3|4）=號(hào)智=—=：,網(wǎng)刃4）=（，故/錯(cuò)誤；

1（力J_?o

7

552433

P（^）=-x-+-x-=—,故5正確；

7o/o56

5525335

由尸（84）=亍、$=藐，^（5）-p（4）=-x-.

7856567

因?yàn)槭帲?尸⑻?尸（4），故c錯(cuò)誤；

易得4，4互斥，故。正確.

故答案選：BD.

12.已知拋物線/=4》的焦點(diǎn)為尸，以該拋物線上三點(diǎn)4,B,C為切點(diǎn)的切線分別是4，,，3，直線4,4

相交于點(diǎn)。，％與人右分別相交于點(diǎn)尸，。?記4民。的橫坐標(biāo)分別為氣，馬，項(xiàng)，貝版）

A.DA-DB=Q

C.\AF\-\BF|=|DFI2D.\AP\-\CQ\=\PC\-\PD\

【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查拋物線的切線，直線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式等，屬于較難題.

【解答】

解：方法一：/5,9,8（無(wú)2，?＜（%,票），左=/,

,X；1/、an_112

I:y_：=3匹（》一再），BPy--x1x--x1,

彳產(chǎn)+々

2即退=土產(chǎn)時(shí),

第7頁(yè)，共20頁(yè)

亦麗+一丫子2竽仁丁42

=(■

24

一口『一*l(4+x㈤不一定為。’/錯(cuò).

22

\AF\-\BF\=

令+1哈+1)=

DF?_(苞+》2)](二112])2_X]+2X]「2+%]X]X；苞々?]

“一—4)~42~

2222

=五區(qū)+9+且+1=|AF|[3尸|,C對(duì).

1644

'再+%23%2),尸(石+小石％)Q(%2+%0%27、

/尸_卜。一X1)2|(工1工0-%oJ_I/-I《4+X],

一V,21(41―4，

PD—卜2一%)2]((%()-%2)再)；_I%/I也+X]

―V121(41—4

\AP\4CQ\=\PC\-\PD\,。對(duì).

第8頁(yè)，共20頁(yè)

y=~X9^AD=^BD=^X29方程為J=3工1(%一11)+,，

乙乙乙，4

即y——XjX——,①，BD:J二萬(wàn)工2%——,②

聯(lián)立①②=＞以土產(chǎn),中），

顯然上以?的B=；王馬不一定為-1,D4與DB不一定垂直，

故萬(wàn)鼠麗不一定為0，4錯(cuò).

對(duì)于5,退=*，?二陽(yáng)+馬=2W，B正確.

22

對(duì)于C,|/用“跖|=（a+1）（紅+1）,

122

而k2=（三產(chǎn)y+（苧_1）2=；*+x；）+窗+1=|4F|.|AF|,C正確.

對(duì)于。，仿對(duì)/的分析nP（土產(chǎn),牛），。（干&，￥）,

X

.,1^1\A-XP\國(guó)f

"\PD\~\xP-xD\

….\AP\\PC\

而M

x+xZ-xJlPDI\CQ\

|ce|24

2

:.\AP\-\CQ\=\PC\-\PD\,。正確，選：BCD.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

2i,x20,

13.設(shè)函數(shù)y（x）=/(-6)+/(log26)=

l+log3(3-x),x<0,

【答案】6

【解析】【分析】

本題考查分段函數(shù)的求值，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出/（-6）、/（log?6）的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【解答】

21,無(wú))0,

解：根據(jù)題意,函數(shù)/'（》）=

l+log3(3-x),x<0,

則/(-6)=1+log39=3,/(log26)=2晦6T=3,

第9頁(yè)，共20頁(yè)

故〃-6）+/（log26）=3+3=6.

故答案為：6.

14.等比數(shù)列｛%｝滿足如下條件：對(duì)于任意“eN*,有%+i>%,S“+]<S”.試寫(xiě)出滿足上述條件的一個(gè)

通項(xiàng)公式an-.

【答案】-（；）"（答案不唯一）

【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及S“與a”的關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意直接分析求解即可.

【解答】

解：由于s“+i<s"，所以。<S“，故%+]<0，且見(jiàn)+]〉％，

所以數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別滿足為<0,qe（0,1）即可；

故%=-（》"（答案不唯一）?

故答案為：-（；）"（答案不唯一）.

15.箕舌線因意大利著名的女?dāng)?shù)學(xué)家瑪麗亞.阿涅西的深入研究而聞名于世.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交圓

/+/-2y=0于點(diǎn)P,交直線y=2于點(diǎn)Q,過(guò)尸和。分別作x軸和y軸的平行線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的

軌跡為箕舌線.記箕舌線函數(shù)為/（x）,則的解析式為.

Q

【答案】/（x）=^-

x+4

【解析】【分析】

本題考查直線方程與圓的方程，滲透數(shù)學(xué)文化。屬于中檔題。

根據(jù)題意畫(huà)出題目中的圓和直線，設(shè)出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)X。，聯(lián)立。。與圓的方程解出P點(diǎn)縱坐標(biāo)得到表達(dá)式。

【解答】

解：連接/尸，則4Pl.c）P,圓了2+/一2了=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐+（丁-1）2=1,

第10頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)點(diǎn)。(％,2),當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)”重合時(shí)，直線。0的方程為^=一x,

2

y=-x

%

聯(lián)立/+/_2好0,解得y=

QQ

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)/重合時(shí)，點(diǎn)/的坐標(biāo)也滿足方程y=所以，/(%)=—^,

-x+4X-+4

故答案為/(x)==J.

X+4

16.已知正四棱錐S-Z3CD的所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過(guò)點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐,

得到截面多邊形:T,則「的邊數(shù)至多為，「的面積的最大值為.

【答案】5；

【解析】【分析】

本題主要考查四棱錐的截面問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，余弦定理，三角形的面積公式，屬于難題。

【解答】

解：方法一：r的邊數(shù)至多為5,延長(zhǎng)交于點(diǎn)J,延長(zhǎng)E/,CB交于點(diǎn)K,連接次分別與48

交于G,〃，連接FG,HI得截面五邊形EFGHI.

設(shè)跖=x,:.SF=2x,EF=y/3x,CJ=2-2x,

：.JD=l-2x=DG,JF=CQ-2x),

JK=41(2-2x)=2V2(1-x),JG=HK=6Q-2X)，F(xiàn)G=\-2X,

JG2+FG2=JF":.JGLGF,

???\^=1-V2(l-2x)-(l-2x)=5^

而EJ=MQ-x)=EK,加=2啦(1—x),

第11頁(yè)，共20頁(yè)

22

S莊JK=1-272(1-x)=V2(1-X),顯然五邊形時(shí)截面面積最大,

??WW=V2(1-X)2-A/2(1-2X)2

lr--41

=V2(-3x2+2x)W0——=—<x=:時(shí)取“=”，

-1233

.?.r面積的最大值為注.

3

方法二：取SC中點(diǎn)凡8尸，SC,￡>E，SC,;.SC_L平面尸.

作平面與8D/平行，如圖至多為五邊形.

:.PB=1-A,BQ=1-A,PQ=1-A,NQ=MP=ABD=V22,

3+1_2

cosZDF5==_

7^1Frs"DFB=q

2x—x—

22

G_1V3V3,2A/2_V2.2

血?22234

與NQ的夾角為&4與AD夾角，而&4與垂直，

??.SpMN。=屆(J%)，S=V22(l-2)+^22=-|V222+V22，

2=2時(shí)，s取最大值正.

33

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

第12頁(yè)，共20頁(yè)

已知｛q｝是等差數(shù)列，公差不為零，其前"項(xiàng)和為S”.若生，%，%成等比數(shù)列，$3=12.

⑴求%及S“；

1$=a“,”eN+,=l,7；為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，求北的取值范圍.

⑵己知數(shù)列｛〃｝滿足^--b

u

M+1n3

-2

（1）由題可得：（％+然）=（%+?）（%+64）

【答案】解:

3%+3d—12

解得d=0,%=4(舍)或d=1,%=3,

n(Qi+a)_n(n+5)

a?=n+2,S,n

22

11

⑵由6得

n+l

111、/11、/11、

磋2時(shí)，了=（z不一「）+（「+「）+（!———）++(—--)+-,

b“"bn-,1bn…-\bn…-2bn-2b”.n-3b2瓦b、

(n+1)(〃+2)

=an-\+an-2+an-3+…+《+3=

2

當(dāng)〃=1時(shí)上式仍成立.

211

bn==2(-),

(〃+1)(〃+2)n+1n+2

1

)]

n+2

=2占12

n+2n+2

2

丁函數(shù)北=1——-在IL+8）單調(diào)遞增.

〃+2

1）?

18.（本小題12.0分）

國(guó)防科技大學(xué)是我國(guó)軍事學(xué)院的最高學(xué)府，被稱為“軍中清華”，學(xué)校擬計(jì)劃對(duì)今年招收的部分新生做一

個(gè)測(cè)試，抽取40名新生對(duì)關(guān)于報(bào)考志愿的首要考慮因素進(jìn)行調(diào)查，所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

男生女生總計(jì)

以祖國(guó)的國(guó)防事業(yè)為首要考慮因素1026

以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢(mèng)為首要考慮因素4

總計(jì)2040

⑴補(bǔ)充完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān);

第13頁(yè)，共20頁(yè)

(2)若測(cè)試調(diào)查共設(shè)置2個(gè)環(huán)節(jié)，新生需要參加全部環(huán)節(jié)的測(cè)試，每個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)項(xiàng)目，若新生每通過(guò)一

2

個(gè)項(xiàng)目積2分，未通過(guò)積-1分；已知新生甲第1環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)的概率均為一，第2環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)

3

3

的概率為不，各環(huán)節(jié)、各項(xiàng)目間相互獨(dú)立；求甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)環(huán)節(jié)的測(cè)試后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望

n(ad—be}2

參考公式：/=9(a+b)(c+d)(a+c)S+d)'其中"=+6+C+%

參考數(shù)據(jù):

pd)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】解：⑴補(bǔ)充2x2列聯(lián)表如下所示:

男性女性總計(jì)

以祖國(guó)的國(guó)防事業(yè)為首要考慮因素101626

以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢(mèng)為首要考慮因素10414

總計(jì)202040

八嘿需胃.…

有95%的把握認(rèn)為“新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)”

(2拷的所有可能取值為-4,-1,2,5,8

“11224

尸(5=-4)=—X—X—X—=-----

3355225

尸…)=2-

33553355225

P(^2)=4(ix2xZx2)+lxix3x2+2x2x2x2=2L

335533553355225

^=5)=2x(2x2x2x3+lx2x3x3

33553355225

PC=8)=W至

3355225

所以，4的分布列為

第14頁(yè)，共20頁(yè)

+2x21+5,空+8x&=36

2257525

19.（本小題12.0分）

在△48C中，A,B,C的對(duì)邊分別為,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

⑴若。二百口，求cosB的值；

(2)若b=l,/5/C的平分線4D交5c于點(diǎn)。，求4。長(zhǎng)度的取值范圍.

【答案】角得(1)vacosB-2acosC=(2c-b)cosA,

/.sinAcosB-2sinAcosC=(2sinC-sinB)cosA

nsinAcosB+cosAsmB=2sinAcosC+2cosAsinC

nsin(Z+B)=2sin(4+C)

nsinC=2sin8nc=2b,c=也anb=，

2

a2+,c2-bi2_。2+3。2-----4--a2_13v/T3

...cos3=

lac2。?百Q(mào)24

(2)由(1)知c=26,?.?b=l,:.c=2,設(shè)/BAD=6,

S=--2-sin2^=--2-AD-sin?1?AD?sin0

"222

47T4

=4>=jcos6*e(0,—),.'.ADe(0,—).

20.（本小題12.0分）

第15頁(yè)，共20頁(yè)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA1平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上，PC1平面BDE.

BC

⑴證明：平面尸/C；

(2)若P4=4D=2,求二面角8-尸。一/的正切值；

【答案】解：(1)平面/BCD,3Du平面/BCD,

PALBD,

■：PC1平面BDE,BDu平面BDE,

PC1BD,

又PAcPC=P,PA,尸Cu平面尸NC,

BD1平面PAC；

設(shè)NC與8。交點(diǎn)為。，連?！?

因?yàn)镻C_L平面ADE,BE,OEu平面區(qū)法，

所以BE,尸C,OE1PC,

所以NBEO為二面角8—PC—Z的平面角，

因?yàn)?O_L平面P/C,/Cu平面P/C,

所以8。L/C,

所以四邊形/BCD為正方形，又PA=AD=2,

易得OB=OC=6，PC7AC°+P#=26，

因?yàn)槭?_L平面48cO,/Cu平面/8CO,

所以尸/L/C,

第16頁(yè)，共20頁(yè)

則APACSAOEC,

?OEPAOE2

貝n！I—=—n—=—

OCPCV22G

所以tan/BEO嘿=魯6

3

即二面角B-PC-A的正切值為6.

21.(本小題12.0分)

已知圓C:/+/=4,尸為圓C上任意一點(diǎn)，2(-4,0)

(1)求尸。中點(diǎn)M的軌跡方程。

(2)若經(jīng)過(guò)0的直線/與M的軌跡相交于N、B,在下列條件中選一個(gè)，求ANBO的面積。

條件①：AB斜率為士②原點(diǎn)0到AB的距離為生42.

417

【答案】解：⑴設(shè)

因?yàn)镸是尸0中點(diǎn)，又。(一4,0),

所以尸(2x+4,2p),

又尸為圓C上任意一點(diǎn)，將尸代入圓C:/+J?=4,得(2x+4>+4/=4,

化簡(jiǎn)得：(x+2)2+/=1,

故點(diǎn)M的軌跡方程為(x+2)2+/=1;

(2)把M的軌跡記為OE,則QE的圓心坐標(biāo)為￡(-2,0),半徑為1,

選①:直線/的方程為尸;(x+4),即，-4"4=。,

1-2+41?

點(diǎn)E到直線I的距禺為-/,=I—，

Vl+16V17

13

則4?=2.

17

44

點(diǎn)。到直線/的距離為

所以邑3]134V13

V17V17-17

選②：易知直線/的斜率存在,

設(shè)直線/方程為V=40+4),即％x-y+4匯=。，

第17頁(yè)，共20頁(yè)

因?yàn)辄c(diǎn)。到直線I的距離為生47,

17

當(dāng)左=,時(shí)，直線/的方程為y='(x+4),即x-4y+4=0,

44

點(diǎn)E到直線I的距離為斗士生=上,

Jl+16V17

則|明=25-(/)2=2咫,

4V13

所以邑"。=5＞＜布

當(dāng)左=---時(shí)，直線/的方程為＞=—?-(%+4),即x+4y+4=0,

44

點(diǎn)E到直線I的距離1-2為+41=左?，

VI+16V17

則河=2卜(卓=2后,

4V13

所以SQBO=~XX

綜上，A48O的面積為生叵

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=eax-x與函數(shù)g(x)=x-』lnx,aeR.

⑴若〃x)＞0,求Q的取值范圍；

(II)若曲線＞=f(x)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求證:兩條曲線＞=