函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問題）中考數(shù)學(xué)

搶分通關(guān)01函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問題）目錄【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在中考選擇題、填空題考場中是熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?1．從考點頻率看，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是高頻考點、必考點，所以必須提高對函數(shù)圖象和性質(zhì)理解和掌握的能力.2．從題型角度看，以選擇題、填空題最后一題為主，分值3分左右，著實不少！易錯點一反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限【例1】（2024·湖南長沙·三模）如圖，點是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點作軸于點，點在軸上．若的面積是3，則．【例2】（2024·安徽合肥·一模）如圖，已知反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若的面積為9，則的值為．【例3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，的邊軸，的延長線過原點，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若的面積是2，則的值為．

由三角形的面積求反比例函數(shù)的由三角形的面積求反比例函數(shù)的K值時，要充分考慮到反比例函數(shù)所在的象限，再取值.易錯點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題【例1】（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過的一次函數(shù)的圖象與經(jīng)過的一次函數(shù)的圖象相交于點C．若點C的縱坐標(biāo)為3，則函數(shù)的大致圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【例3】（2024·安徽蕪湖·一模）已知反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像與一次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能為（

）A．B．C． D．由已知圖象確定相對應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.由已知圖象確定相對應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.易錯點三根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，且經(jīng)過點，下列結(jié)論：①；

②；③點和在拋物線上，當(dāng)時，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的兩根分別為，．其中錯誤的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】（2024·湖南永州·一模）如圖，拋物線的圖像與軸相交于、兩點，與軸相交于點，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④．正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【例3】（2024·陜西榆林·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知拋物線的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，給出下面4個結(jié)論：①；②；③；④若點，在拋物線上，則．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)a,b,c的取值，再分類討論各個式子是否正確，其中還和方程與不等式有緊密的聯(lián)系.題型一反比例函數(shù)與特殊四邊形【例1】（2024·山西大同·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與相交于點，與相交于點，若點的坐標(biāo)為的面積是，則的值為．

反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問題，熟記反比例函數(shù)中反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問題，熟記反比例函數(shù)中K值的幾何意義和各特殊平行四邊形性質(zhì).1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，菱形的頂點B在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，A，D在第一象限，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過面積為2的菱形的中心E，交于點F．

（1）k的值為．（2）的值為．2．（2024·安徽阜陽·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與軸、軸交于，兩點．正方形的頂點，在第一象限，且頂點在反比例函數(shù)的圖像上．（1）的面積為；（2）若正方形向左平移個單位長度后，頂點恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，則．題型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)【例1】（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點A、點B，將直線向下平移b個單位后雙曲線交于點C、點D，M是第二象限內(nèi)一點，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，求交點再聯(lián)立方程組，再利用直線上加下減的平移原則.反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，求交點再聯(lián)立方程組，再利用直線上加下減的平移原則.【例2】（2024·安徽池州·一模）如圖，已知直線與軸、軸分別交于點，．請解決下列問題：（1）線段的長為；（2）若菱形的邊軸，另一邊在直線上，且點是的中點，點在反比例函數(shù)的圖象上，則．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，與雙曲線相交于點C，D，且點D的坐標(biāo)為．如圖，當(dāng)點A落在x軸負(fù)半軸時，過點C作x軸的垂線垂足為E，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連接．當(dāng)時，則點C的坐標(biāo)為．題型三幾何圖形中動點之函數(shù)問題【例1】（2024·河南信陽·一模）如圖1，已知的邊長為，，于點E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的與重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時，S的值是（

）

A． B． C． D．幾何圖形中動點問題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.幾何圖形中動點問題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.【例2】（2024·河南濮陽·一模）如圖1，在矩形中，為的中點，是線段上的一動點．設(shè)，圖2是關(guān)于的函數(shù)圖象，其中是圖象上的最低點，則的值為（

）A．7 B．8 C． D．1．（2024·河南周口·一模）如圖1，矩形中，點為的中點，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達(dá)點時停止運動，連接、，設(shè)為，為，且關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則的最大值為（

）

A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在中，，．與矩形的一邊都在直線上，其中、、，且點位于點處．將沿直線，向右平移，直到點與點重合為止．記點平移的距離為，與矩形重疊區(qū)域面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C．D．3．（2024·河南平頂山·一模）如圖1，在中，．動點P從點A出發(fā)沿折線A→B→C勻速運動至點C后停止．設(shè)點P的運動路程為x，線段的長度為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖像，其中M為曲線的最低點，則的面積為（

）A． B． C． D．題型四二次函數(shù)與其他函數(shù)綜合問題【例1】（2024·安徽宿州·一模）如圖，已知拋物線（是常數(shù)且）和線段，點和點的坐標(biāo)分別為．

（1）拋物線的對稱軸為直線；（2）當(dāng)時，將拋物線向上平移個單位長度后與線段僅有一個交點，則的取值范圍是．二次函數(shù)中平移，左加右減，上加下減，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答.二次函數(shù)中平移，左加右減，上加下減，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答.1．（2024·安徽合肥·一模）我們定義：如果一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)6倍的點，則把該函數(shù)稱為“行知函數(shù)”，該點稱為“行知點”，例如：“行知函數(shù)”，其“行知點”為．（1）直接寫出函數(shù)圖象上的“行知點”是；（2）若二次函數(shù)的圖象上只有一個“行知點”，則的值為．2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D在拋物線上，且與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則點D坐標(biāo)為，連接，，點P在拋物線第四象限內(nèi)不與B，C兩點重合．過點P作y軸的垂線與線段交于點E，以為邊作，使，點F在點E的下方，且，點F恰好落在射線上，再將繞點E旋轉(zhuǎn)得到（點P的對應(yīng)點為點，點F的對應(yīng)點為點），當(dāng)與垂直時，點的橫坐標(biāo)為．

搶分通關(guān)函數(shù)選填壓軸題解析（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問題）目錄【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在中考選擇題、填空題考場中是熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?1．從考點頻率看，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是高頻考點、必考點，所以必須提高對函數(shù)圖象和性質(zhì)理解和掌握的能力.2．從題型角度看，以選擇題、填空題最后一題為主，分值3分左右，著實不少！易錯點一反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限【例1】（2024·湖南長沙·三模）如圖，點是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點作軸于點，點在軸上．若的面積是3，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)值的幾何意義，連接，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得到，結(jié)合雙曲線過第二象限，求出值即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵點是反比例函數(shù)圖像上的一點，∴，∴，∵雙曲線過第二象限，∴；故答案為：．【例2】（2024·安徽合肥·一模）如圖，已知反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若的面積為9，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，設(shè)，則，，結(jié)合圖象經(jīng)過斜邊的中點，得到，根據(jù)點D，點C都在圖象上，得到，得到，繼而得到，結(jié)合的面積為9，得到，計算得，解答即可．【詳解】設(shè)，則，，∵圖象經(jīng)過斜邊的中點，∴，∵點D，點C都在圖象上，∴，∴，∴，∵的面積為9，∴，∴，∴．故答案為：．【例3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，的邊軸，的延長線過原點，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若的面積是2，則的值為．

【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合．延長交軸于點，證明，求得相似比為，利用相似比求得的面積，利用等高的兩個三角形求得的面積，再利用比例系數(shù)的幾何意義求解即可．【詳解】解：延長交軸于點，連接，

∵平行于軸，，∴軸，∴，∵，∴，∵的面積是2，∴的面積是，的面積是，∴，故答案為：3．由三角形的面積求反比例函數(shù)的由三角形的面積求反比例函數(shù)的K值時，要充分考慮到反比例函數(shù)所在的象限，再取值.易錯點二一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題【例1】（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象得到的符號，進(jìn)而由判斷出拋物線與軸的交點位置、對稱軸位置，又結(jié)合可知拋物線開口向上，據(jù)此即可求解，掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象可得，，由一次函數(shù)圖象與軸的交點在軸的正半軸上可得，，∵，∴二次函數(shù)與軸的交點在軸的正半軸上，∵拋物線的對稱軸，∴拋物線的對稱軸位于軸的左側(cè)，又∵，∴拋物線開口向上，故選：．【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過的一次函數(shù)的圖象與經(jīng)過的一次函數(shù)的圖象相交于點C．若點C的縱坐標(biāo)為3，則函數(shù)的大致圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象判別，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是設(shè)點，一次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，求出，，然后再求出，最后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)點，一次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，把分別代入兩個函數(shù)解析式得：，，解得：，，∴，，∴，∵，∴的圖象為開口向下，頂點為的拋物線，所以C選項符合題意．故選：C．【例3】（2024·安徽蕪湖·一模）已知反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像與一次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，依據(jù)題意，由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，且與y軸交于正半軸，則，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則，從而函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，從而排除A、D，C，故可得解．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，且與y軸交于正半軸，則，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則，∴函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線．∴綜上，可得B正確．故選：B．由已知圖象確定相對應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.由已知圖象確定相對應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.易錯點三根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，且經(jīng)過點，下列結(jié)論：①；

②；③點和在拋物線上，當(dāng)時，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的兩根分別為，．其中錯誤的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．由拋物線對稱軸為直線可判斷①，由拋物線與軸的交點個數(shù)可判斷②，由拋物線開口方向，對稱軸及拋物線與軸交點位置可判斷③，由拋物線經(jīng)過及拋物線的對稱性可判斷④，由根與系數(shù)關(guān)系可判斷⑤．【詳解】解：由圖可知，拋物線開口向上，，拋物線對稱軸為直線，，，故②正確；拋物線和軸交點在負(fù)半軸，，，①正確；當(dāng)時，兩點都在對稱石側(cè)．圖象部分．隨增大而增大，，③正確；不等式，拋物線在軸上方時，取值范圍，而拋物線和軸交點為和，解集是或；④錯誤．的兩個根，，∴，，，，的兩個根，，⑤錯誤．故選：B．【例2】（2024·湖南永州·一模）如圖，拋物線的圖像與軸相交于、兩點，與軸相交于點，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④．正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的開口，對稱軸，與軸交點個數(shù)，自變量取值范圍等知識．可借用數(shù)形結(jié)合的方法．【詳解】①：圖象與軸有兩個交點①正確；②：圖象開口向上對稱軸圖象與軸的交點在軸負(fù)半軸②正確；③：由圖象可知，當(dāng)時，③不正確；④：由圖象知，當(dāng)時，④正確．故選：B．【例3】（2024·陜西榆林·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的位置確定待定字母的取值范圍．根據(jù)二次函數(shù)的圖象的位置，確定a、b、c的符號，通過對稱軸，與x軸交點的位置確定各個選項的正確與錯誤即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵對稱軸在y軸的右側(cè)，∴a、b異號，∴，故①錯誤，∵對稱軸為對稱軸為直線，，∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故②正確；∵拋物線與x軸交于兩點，∴有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，故③正確；∵，∴∵，，∴，∴，故④正確；所以正確的個數(shù)有3個，故答案為：C【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知拋物線的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，給出下面4個結(jié)論：①；②；③；④若點，在拋物線上，則．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，即可判斷②結(jié)論；由拋物線圖象可知，當(dāng)時，，即可判斷③結(jié)論；根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：由圖象可知，拋物線與軸有兩個交點，，，①結(jié)論正確；拋物線開口向上，對稱軸為直線，且與軸交點在負(fù)半軸，，，，，，，，，②結(jié)論錯誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，，，，③結(jié)論正確；拋物線的對稱軸為直線，點離對稱軸近，點離對稱軸遠(yuǎn)，，④結(jié)論正確，正確的結(jié)論有3個，故選：C．由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)a,b,c的取值，再分類討論各個式子是否正確，其中還和方程與不等式有緊密的聯(lián)系.題型一反比例函數(shù)與特殊四邊形【例1】（2024·山西大同·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與相交于點，與相交于點，若點的坐標(biāo)為的面積是，則的值為．

【答案】2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的的值，求出點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，根據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，∵點的坐標(biāo)為∴，則點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，∴解得，故答案為：2．反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問題，熟記反比例函數(shù)中反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問題，熟記反比例函數(shù)中K值的幾何意義和各特殊平行四邊形性質(zhì).1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，菱形的頂點B在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，A，D在第一象限，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過面積為2的菱形的中心E，交于點F．

（1）k的值為．（2）的值為．【答案】1【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）由菱形的性質(zhì)，得到的面積是，而矩形的面積是，即可得到的值；（2）設(shè)點E的坐標(biāo)為，分別求得點A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立求得點F的坐標(biāo)，然后利用平行線的性質(zhì)求得即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，，的面積菱形的面積，∵，，四邊形是矩形，矩形的面積，的值是．故答案為：；（2）由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)點E的坐標(biāo)為，直線的解析式為，則設(shè)點B的坐標(biāo)為，設(shè)點A的坐標(biāo)為，∴，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得（負(fù)值已舍），∴，故答案為：．2．（2024·安徽阜陽·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與軸、軸交于，兩點．正方形的頂點，在第一象限，且頂點在反比例函數(shù)的圖像上．（1）的面積為；（2）若正方形向左平移個單位長度后，頂點恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，則．【答案】28【分析】（1）首先求得點的坐標(biāo)，可得，，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）過點作軸于點，交反比例函數(shù)圖像于點，過點作軸于點，證明，，進(jìn)而確定點的坐標(biāo)，然后求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：（1）對于一次函數(shù)，令，則有，解得，即，令，則，即，∴，，∴；（2）如圖，過點作軸于點，交反比例函數(shù)圖像于點，過點作軸于點，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵軸，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，同理可得，∴，，∴，即，將點代入反比例函數(shù)，可得，解得，即該反比例函數(shù)解析式為，∵軸，∴點的縱坐標(biāo)為5，∴點的橫坐標(biāo)為1，即，∵將正方形向左平移個單位長度后，頂點恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，即此時點重合，∴點移動了個單位長度，即，∴．故答案為：（1）2；（2）8．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．題型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)【例1】（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點A、點B，將直線向下平移b個單位后雙曲線交于點C、點D，M是第二象限內(nèi)一點，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

【答案】9【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理．由題意可得，設(shè)直線的解析式為，點，，根據(jù)兩點間距離公式求得，整理得，進(jìn)而得到，由點恰好都落在反比例函數(shù)圖象上得到，即，由根和系數(shù)的關(guān)系得，求出的值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：聯(lián)立，解得或，∴點，，∴，∵與位似，相似比為，∴，∴，

∵將直線向下平移b個單位，∴設(shè)直線的解析式為，點，，∴，整理得，，∴，∵點恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，∴與反比例函數(shù)的交點方程為，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得或(不合，舍去)，令，則，∴直線和與的交點分別為和，∴，故答案為：9．反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，求交點再聯(lián)立方程組，再利用直線上加下減的平移原則.反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，求交點再聯(lián)立方程組，再利用直線上加下減的平移原則.【例2】（2024·安徽池州·一模）如圖，已知直線與軸、軸分別交于點，．請解決下列問題：（1）線段的長為；（2）若菱形的邊軸，另一邊在直線上，且點是的中點，點在反比例函數(shù)的圖象上，則．【答案】5【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）分別求出直線與軸交于點，與軸交于點，從而得出，，再由勾股定理計算即可得出答案；（2）延長交軸于點，由菱形的性質(zhì)得出，證明，即可得出點的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意，得當(dāng)時，，直線與軸交于點．當(dāng)時，，直線與軸交于點，，．在中，，故答案為：；（2）如圖，延長交軸于點．，點是的中點，．四邊形是菱形，．軸，，，，，，，，．點在反比例函數(shù)的圖象上，，故答案為：．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，與雙曲線相交于點C，D，且點D的坐標(biāo)為．如圖，當(dāng)點A落在x軸負(fù)半軸時，過點C作x軸的垂線垂足為E，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連接．當(dāng)時，則點C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先證明的面積和的面積相等；證明四邊形與四邊形都是平行四邊形，故可得出，，再由全等三角形的判定定理得出，故，設(shè)，，，可得，再證明，可算出，，進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，，∵于相交于點C，D，且點D的坐標(biāo)為．∴，即反比例為，設(shè)，則，∵，而，∴；∵兩三角形同底，∴兩三角形的高相同，∴，∵，，∴四邊形與四邊形都是平行四邊形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，設(shè)，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴直線的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可得

，解得：，，∴．故答案為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同底等高的三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)，題目綜合性較強．題型三幾何圖形中動點之函數(shù)問題【例1】（2024·河南信陽·一模）如圖1，已知的邊長為，，于點E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的與重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時，S的值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是動點函數(shù)圖象問題、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及含30度角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，弄清楚不同時段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，，結(jié)合函數(shù)圖象確定，當(dāng)運動時間時，為二次函數(shù)，且在時達(dá)到最大值，對稱軸為，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的另一個交點為，然后確定二次函數(shù)解析式，代入求解即可．【詳解】解：∵為，，于點E．∴，∴，由運動的與重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象得：當(dāng)運動到6時，重疊部分的面積一直不變，∴，∴，由函數(shù)圖象得：當(dāng)運動時間時，為二次函數(shù)，且在時達(dá)到最大值，對稱軸為直線，∴二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的另一個交點為，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點代入得：，∴，當(dāng)t為9時，．故選：C．幾何圖形中動點問題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.幾何圖形中動點問題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.【例2】（2024·河南濮陽·一模）如圖1，在矩形中，為的中點，是線段上的一動點．設(shè)，圖2是關(guān)于的函數(shù)圖象，其中是圖象上的最低點，則的值為（

）A．7 B．8 C． D．【答案】D【分析】由圖象右端點的橫坐標(biāo)為，得出，從而求得，，，作點M關(guān)于的對稱點E，連接交于N，連接交于O，連接，得，根據(jù)兩點之間，線段最短，得到此時y最小，最小值為的長度，通過證明，求出，，過點E作于F，利用勾股定理求出，，，從而求得的長度，即可求解．【詳解】解：∵圖象右端點的橫坐標(biāo)為，∴∵矩形中，∴，∴∵∴∴∴∵M(jìn)為的中點，∴作點M關(guān)于的對稱點E，連接交于N，連接交于O，連接，如圖，∴，，∴，根據(jù)兩點之間，線段最短，得此時y最小，∵點M關(guān)于的對稱點E，∴垂直平分，∵，，∴，∴，即，∴，∴，過點E作于F，由勾股定理，得，∵，∴，解得：，∴，，∴，∵是圖象上的最低點，∴a是y的最小值，∴，故選：D．【點睛】本題考查幾何動點函數(shù)圖象問題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握利用軸對稱求最短距離問題是解題的關(guān)鍵．1．（2024·河南周口·一模）如圖1，矩形中，點為的中點，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達(dá)點時停止運動，連接、，設(shè)為，為，且關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查動點問題與函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．在函數(shù)圖象中找到當(dāng)時，，得出，進(jìn)而得到，再利用圖象的拐點得出，由圖象知到達(dá)時得最長，由勾股定理即可求出其值．【詳解】解：由圖知，當(dāng)時，，即當(dāng)在點時，點為的中點，，，當(dāng)在上運動時，慢慢增大，到點時，從圖中的拐點可知，此時，，當(dāng)在上運動時，先減小再增大，直到到達(dá)點時，此時最長，，故選：B．2．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在中，，．與矩形的一邊都在直線上，其中、、，且點位于點處．將沿直線，向右平移，直到點與點重合為止．記點平移的距離為，與矩形重疊區(qū)域面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根據(jù)經(jīng)過點和經(jīng)過點時計算出和，再分，和三種情況討論，畫出圖形，利用面積公式解答即可．【詳解】解：當(dāng)經(jīng)過點時，如圖所示：為等腰直角三角形，，，，；當(dāng)經(jīng)過點時，如圖所示：，，，；①當(dāng)時，如圖所示：此時，，，；②當(dāng)時，如圖所示：過作于，此時，，，，，，四邊形是矩形，，；③當(dāng)時，如圖所示：此時，，，，，，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解三角形等知識，關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行運算．3．（2024·河南平頂山·一模）如圖1，在中，．動點P從點A出發(fā)沿折線A→B→C勻速運動至點C后停止．設(shè)點P的運動路程為x，線段的長度為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖像，其中M為曲線的最低點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短．作，當(dāng)動點P運動到點時，線段的長度最短，此時，當(dāng)動點P運動到點時，運動結(jié)束，此時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：作，垂足為，當(dāng)動點P運動到點時，線段的長度最短，此時點P運動的路程為，即，當(dāng)動點P運動到點時，運動結(jié)束，線段的長度就是的長度，此時，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴的面積為，故選：C．題型四二次函數(shù)與其他函數(shù)綜合問題【例1】（2024·安徽宿州·一模）如圖，已知拋物線（是常數(shù)且）和線段，點和點的坐標(biāo)分別為．

（1）拋物線的對稱軸為直線；（2）當(dāng)時，將拋物線向上平移個單位長度后與線段僅有一個交點，則的取值范圍是．【答案】2或【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想作出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意可知拋物線的對稱軸為直線，即可求解；（2）由題意可知，當(dāng)時，將拋物線向上平移個單位長度后拋物線為，結(jié)合圖形，找到臨界點：當(dāng)拋