2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型復(fù)習(xí)-中點(diǎn)模型

中點(diǎn)模型

破解策略

1.倍長(zhǎng)中線

在AABC中,M是BC的中點(diǎn).

圖1

⑴如圖1，連接AM并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使得ME=AM.連接CE,則AABM當(dāng)△ECM.

⑵如圖2,點(diǎn)D在AB上，連接DM并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使得ME=DM,連接CEJIJABDM^ACEM.

遇到線段的中點(diǎn)問(wèn)題，常借助倍長(zhǎng)中線的方法還原中心對(duì)稱圖形，利用“8”字形全等將題中條件集中，達(dá)到解題的目

的，這種方法是最常用也是最重要的.

2.構(gòu)造中位線

在AABC中,D是AB的中點(diǎn).

⑴如圖取AC的中點(diǎn)E,連接DE,則DE〃BC且DE=|fiC.

⑵如圖2,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使得CF=BC,連接CD,AF,則DC〃AF且DC=\AF.

三角形的中位線從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面將圖形中分散的線段關(guān)系集中起來(lái).通常需要再找一個(gè)中點(diǎn)來(lái)構(gòu)造中位

線，或者倍長(zhǎng)某線段得出中位線.

3.等腰三角形“三線合一”

如圖.在AABC中，若AB=AC,通常取底邊BC的中點(diǎn)D,連接AD,則AD±BC且AD平分NBAC.

事實(shí)上，在△ABC中:①AB=AC;②AD平分NBAC;③BD=CD;④ADLBC.

對(duì)于以上的四條語(yǔ)句，任意選擇兩個(gè)作為條件，就可以推出另兩條結(jié)論，即“知二得二”

4.直角三角形斜邊中線

如圖.在AABC中,NABC=90。,取AC的中點(diǎn)D,連接BD,則有BD=AD=CD=\AC.

D

B

反過(guò)來(lái),在AABC中，點(diǎn)D在AC上，若BD=AD=CD=24C,則有ZABC=90。.

例題講解

例1如圖.在AABC中,AB=BC,AD_LBC于點(diǎn)D.BE1AC于點(diǎn)E,AD與BE交于點(diǎn)F,BH_LAB于點(diǎn)B,M是BC的中點(diǎn),

連接FM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)H.

⑴如圖1,若/ABC=30。,求證:DF+BH=^-BD.

（2攻口圖2,若NABC=45。,如圖3,若NABC=60。（點(diǎn)M與點(diǎn)D重合），分別猜想線段DF,BH與BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

分析由M為BC中點(diǎn)，易想到連接CF,從而利用“8”字形全等和等腰三角形軸對(duì)稱性將線段集中.

解答

例2如圖，在AABC中,M是邊BC的中點(diǎn)點(diǎn)D,E在NBAC的內(nèi)部,AABD和AACE是分別以AB,AC為斜邊的直角三

角形,且NBAD=NCAE=a,連接MD,ME,求NDME的度數(shù).（用含a的式子表示）

分析已知有兩個(gè)直角三角形，以及中點(diǎn)M,則通過(guò)取斜邊中點(diǎn)，運(yùn)用斜邊中線及中位線性質(zhì)可將題中條件集中.

解答

例3在RtAABC中,NACB=90。,點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè),NDAONBAC,且DA=DC,過(guò)點(diǎn)B作BE〃DA,與DC交于點(diǎn)

E,M是AB的中點(diǎn).連接MD,ME.

⑴如圖1,當(dāng)NADC=90。時(shí)，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是，如圖2,當(dāng)NADC=60。時(shí)線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系

_____；

⑵如圖3,當(dāng)ZADC=a時(shí),求生的值.

圖3

分析根據(jù)已知條件中的平行以及中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM即可構(gòu)造“8”字形全等，從而得到等腰三角形，再運(yùn)用三線合

一的性質(zhì)解題.

解答

例4如圖,在AABC中,AB=BC,0是AC的中點(diǎn),P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,O,C重合），分別過(guò)點(diǎn)A,C作直線BP的

垂線,垂足為E,F,連接OEQF.若|CF-AE\=2,EF=2B，當(dāng)APOF為等腰三角形時(shí)，求出0P的長(zhǎng).

分析由|CF-AE|=2可知要分兩種情況討論，再由中點(diǎn)以及直角條件易想到運(yùn)用倍長(zhǎng)中線以及直角三角形斜邊中線的

方法來(lái)解題.

解答

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖.在AABC中,AOAB點(diǎn)D在AC上,AB=CD,,E,F分別是邊BC,AD的中點(diǎn).連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)G.若乙EFC=60。,連接GD,判斷.A4GD的形狀并證明.

2.如圖，在四邊形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連

接AG,BG,CG,DG,且.N4GD=NBGC..若AD與BC所在的直線互相垂直，求仁的值.

3.如圖,在正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊BC,DC的延長(zhǎng)線上,且(CE=CF,,連接AF,取其中點(diǎn)M.連接EF,取其中點(diǎn)N,

4.在AABC中,AB=AC,F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以CF為邊作菱形CDEF,使菱形CDEF與點(diǎn)A在BC的同側(cè)，連接BE.G

是BE的中點(diǎn)，連接AG,DG.

⑴如圖1,當(dāng)ABAC=乙DCF=