重慶市2024屆高三3月高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試卷

重慶市2024屆高三3月

高考適應(yīng)性月考（七）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.命題p：V%￡R,%2cQ的否定為（）

A.BxGR,x2eQB.天任R,%?￡Q

C.VXGR,X2D.VXGQ,A:2eR

2.已知向量a=(2,x),Z?=(l,3),a_L(H-b),貝!Jx=()

A.1B.2C.6D.1或者2

3.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：C=Wlog2[l+^，

它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)

所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中?叫做信噪比.若不改

N

q

變帶寬W,而將信噪比三從1000提升至2500,則C大約增加了（）（附：lg2=0.3010）

N

A.10%B.13%C.23%D.30%

4.2024年春節(jié)期間，有《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》、《第二十條》、《熊出沒?逆轉(zhuǎn)

時空》、《紅毯先生》等五部電影上映，小李準(zhǔn)備和另3名同學(xué)一行去隨機觀看這五部

電影中的某一部電影，則小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影的概率

為（）

372

A.BD.

10-I125

5.已知偶函數(shù)在（0,2）上單調(diào)遞減，則4=/（2°」）*=41。82、,0=4鼻的大小

關(guān)系為（）

A.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

6.已知數(shù)列｛q｝滿足a,.=3%+i-2%,q=入出=2,｛%｝單調(diào)遞增，則彳的取值范圍為

)

A.(YO,1)B.(-8,1]

CS).一0,2)D.(-co,2)

7.已知函數(shù)/（兀）=2sin0MCOS5-2jGcos20x@>0）在（0,71）上恰有兩個零點，則口的

取值范圍為（）

*I/14

A.—<CD<—B.—<co<—

3323

1515

C.—<gW—D.—434—

3626

8.已知圓C:Y+y2=4上兩點人國乂）,3（三,必）滿足尤IN+M%=。，貝!!

,1+6％+6|+,2+也為+6］的最小值為（）

A.30-2B.6-272

C.6A/2-4D.12-472

二、多選題

9.下列命題正確的是（）

A.己知XN。,"）,若尸（X>-2）=0.7,貝|P（X>4）=0.3

B.若散點圖的散點均落在一條斜率非。的直線上，則決定系數(shù)R2=l

C.數(shù)據(jù)看,馬,毛,又，%的均值為4,標(biāo)準(zhǔn)差為1,則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)

D.數(shù)據(jù)12,23,35,47,61的75百分位數(shù)為47

10.已知A（0,—2）,_B（0,2）,C（-2,0）,動點M滿足M4與MB的斜率之積為-不，動點Af的

軌跡記為:，x軸，垂足為H,M關(guān)于原點的對稱點為N,NH交f的另一交點為P,

則下列說法正確的是（）

22

A./的軌跡方程為：±+2L=I（XHO）

B.MBC面積有最小值為2石-2

C.MBC面積有最大值為2指+2

D.△MPN為直角三角形

11.正方形A5co的邊長為2,點E是AO的中點，點下是3C的中點，點G是￡F的中

點，將正方形沿所折起，如圖所示，二面角A-EF-O的大小為6,則下列說法正確

的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.當(dāng)，時，AC與E戶所成角的余弦值為更

23

B.當(dāng)，時，三棱錐C-ABG外接球的體積為g岳

23

C.若AC=&EF,貝=4

23

D.當(dāng)，=￡時，AC與平面ABEE所成角的正弦值為姮

310

三、填空題

12.已知關(guān)于x的方程Y+2x+3=0的兩個復(fù)數(shù)根記為4/2，則z；+z；=.

22

13.已知用，鳥分別為雙曲線會告=1（“＞0,方＞0）的左、右焦點，過左焦點片的直線交雙

曲線左支于P,。兩點，且|P0=g|P閭,尸鳥，則該雙曲線的離心率e=.

14.已知函數(shù)=|lnx|的圖象在點尸（石,/（石））和。（程〃%））。＜/）處的兩條切線

PA

互相垂直，且分別交y軸于48兩點，則行的取值范圍為.

四、解答題

15.在ASC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。也c,已知/+°2-/=26℃08/1,邊BC

上的中線AM長為6.

⑴若A=j,求c；

⑵求_ABC面積的最大值.

16.已知正項數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，且滿足％=1,2S?=anan+1,數(shù)列｛2｝為正項

等比數(shù)列，%=%且優(yōu),3配/依次成等差數(shù)列.

⑴求｛%｝,也｝的通項公式；

⑵設(shè)c“=],｛%｝的前〃項和為T,,問是否存在正整數(shù)％使得A＜與?（"24）成

立，若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由.

17.已知函數(shù)/(x)=alnx+j-2(。*0)在定義域上有兩個極值點為，上.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(占)+/(々)=—+2,求a的值.

e

18.如圖所示，已知在四棱柱ABC。-44G。中，所有的棱長均為2,側(cè)面DCCQJ底

7T

面48。,/￡>℃=/048=15為6。的中點，尸為棱GC上的動點(含端點)，過

4,民廠三點的截面記為平面a.

(1)是否存在點尸使得底面ABCD?請說明理由；

(2)當(dāng)平面a與平面A5co所成二面角的余弦值為當(dāng)時，試求平面a截得四棱柱兩部

分幾何體的體積之比(體積小的部分作比值的分子).

19.已知拋物線C:/=4y,M,N為拋物線C上兩點，",N處的切線交于點?(得,九)，

過點P作拋物線C的割線交拋物線于48兩點，。為A3的中點.

(1)若點尸在拋物線C的準(zhǔn)線上，

(i)求直線MN的方程(用含％的式子表示)；

(ii)求PMN面積的取值范圍.

(2)若直線加。交拋物線C于另一點。，試判斷并證明直線ND與AB的位置關(guān)系.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，結(jié)合命題P,直接求解即可.

【詳解】命題p：VXER,%2￡Q的否定為：3XGR,X2.

故選：A.

2.D

【分析】

求出a-b坐標(biāo)，再根據(jù)。?-4=0列方程求解.

【詳解】由已知〃—b=(l,x—3),

又Q,

所以〃.(〃-/?)=2+%(%-3)=0,

解得犬=1或者2

故選：D.

3.B

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)運算法則以及參考數(shù)據(jù)，直接求解即可.

【詳解】令三=，，不妨設(shè)/=1000時，對應(yīng)的最大信息傳送速率為C，/=2500時，對應(yīng)的

N

最大信息傳送速率為G，

1g2501

^^=邑_]=卬1。4(1+25。0)_]=3_]

人」GGwiog2(i+iooo)igiooi

lg2

lg2501ilgl0000-lg4_3.398

1-1?0.1327

IglOOligiooo一3

故將信噪比后從1。?！闾嵘?5。。，則C大約增加了13%.

故選：B.

4.C

【分析】

答案第1頁，共19頁

首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影

的方案數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】依題意每位同學(xué)均有5種選擇，則四位同學(xué)一共有5斗種方案，

若小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影，

有①兩人看《熱辣滾燙》，則有C；A：種方案，

②一人看《熱辣滾燙》，則有C；Aj種方案，

即滿足小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有C；Aj+C；A；種方案，

r*1A2+r2A272

所以所求概率P=3A4J3A4=.

54625

故選：C

5.C

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合自變量的大小關(guān)系判斷即可.

【詳解】因為為偶函數(shù)，故"1唯￡|=〃-1嗨3）=川嗎3）,

又因為2°」<2°5=忘<:，且￡=而<四=3,故J<3,則gvlog3.

01

故0<2<|<log23<2,又〃尤）在（0,2）上單調(diào)遞減，

貝廳（2°」）>7[1）>〃1嗎3）,即/（2?！梗?gt;/[]>7]l°g2

故Q>

故選：C

6.D

【分析】

先通過q+2-4向=2（%+「。”）得到數(shù)列｛“「為｝為等比數(shù)列，求出其通項公式，再根據(jù)｛4｝

單調(diào)遞增列不等式求解.

【詳解】由Q〃+2=3a,+-2a”得an+2~an+l=2（%+「a”），

又｛%｝單調(diào)遞增，故-一%>0,

所以數(shù)列｛。向-4｝是以出-卬=2-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

答案第2頁，共19頁

所以區(qū)田一%=（2-⑷?2修，又｛??）單調(diào)遞增，

所以（2-乃.21>0對任意正整數(shù)”恒成立，

所以2-4>0,得2<2,

故選：D.

7.B

【分析】

先化簡得了（司=25畝（2。X-51-班，再求出的范圍，再根據(jù)零點個數(shù)列不等式求

解.

【詳解】由已知/（x）=sin2ox-V3（cos2（yx+l）=2sin^2a>x-J^-A/3,

令〃x）=0,得sinQaa-三）=手，

TT7T7T

當(dāng)0V%V九時,<2CDX<271G,

333

因為函數(shù)“X）在（0㈤上恰有兩個零點，

兀兀]

所以2三<2無。一71巴47"，解得上<0〈42

33323

故選：B.

8.D

【分析】

根據(jù)題意，由王3+%%=。發(fā)現(xiàn)。又卜1+若％+6|+,2+有必+6|的幾何意義是4,8

兩點到直線x+gy+6=0的距離之和的2倍，進而利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】由占％+%％=。得0408=0，即OA_LOB，則。4_LO及

Ir-1Ir-1[玉+也%+6||x2+V3y2+6|

JJ

因為,+6%+6|+,2+括必+6|=2,7'+~~/,,

I?+6?+后）

所以，由點到直線的距離公式可知卜+若%+q+,+6y2+6|表示A,3兩點到直線

x+gy+6=0的距離之和的2倍，如圖所示：

答案第3頁，共19頁

設(shè)尸的中點分別為易知，由梯形ADFB的中位線可得|四+忸耳=2慳同，

則|再+石％+6k后+也必+6|=2(\AD\+\BF\)=4\ME\，即點M到直線x+6y+6=0的距離之

和的4倍，

因為A03是直角三角形，所以|OM|=g|A8|=；x2也=夜，

則點M在圓元2+產(chǎn)=2上運動，

顯然，最小值為原點。到直線彳+b+6=0距離與圓尤2+丁=2半徑之差的4倍,

_,|0+6|

3

原點。到直線x+括y+6=o距離"=I2=，尤2+丁=2半徑々=夜,

V1+V3"

所以卜+若弘+6|+卜2++6/4眼目的最小值為4(3-收)=12-4&.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將卜+6必+6|+卜2+若%+。轉(zhuǎn)化為A8兩

點到直線x+gy+6=0的距離之和的2倍，從而得解.

9.ABD

【分析】

對于A：利用正態(tài)分布的對稱性判斷；對于B：根據(jù)相關(guān)的概念判斷；對于C：舉反例說明；

對于D：直接求75百分位數(shù).

【詳解】

對于A：已知X~N(1,〃)，若尸(X>—2)=0.7,

則P(X>4)=P(X<—2)=l—P(X>—2)=0.3,A正確；

對于B：若散點圖的散點均落在一條斜率非。的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)

答案第4頁，共19頁

系，則決定系數(shù)g=1，B正確;

對于C：不妨設(shè)玉=4-2x,x2=4-x,x3=4,x4=4+x,x5=4+2羽%>0,

貝ij4f+f+%2+4f=5,解得元=也，

2

止匕時升=4+72>5,

故找到一組數(shù)4-后,4,4,4+走,4+祀，數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，C錯誤；

22

對于D：5x75%=3.75,故這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47,D正確.

故選：ABD.

10.ACD

【分析】

對A：設(shè)點M（x,y）,根據(jù)題意，結(jié)合斜率計算公式，列出方程，整理化簡即可；對BC,

求得與2C平行且與橢圓相切的直線方程，結(jié)合三角形面積公式，數(shù)形結(jié)合即可求得AMBC

771d1

面積的最值；對D:根據(jù)kPNX%PM=-彳花”汽*不一=,求得左MNX女尸〃=-1，即可判斷.

【詳解】對A：設(shè)點M的坐標(biāo)為（X,y）,顯然無力0,由題可得：一X4=-；，

2222

整理可得上+匕=1,故M的軌跡方程為上+匕=l（xw0）,故A正確；

對BC：因為3（0,2）,C（-2,0）,故可得BC所在直線方程為：y=x+2；

設(shè)與直線BC平行，且與M的軌跡相切的直線方程為y=x+m,

22

聯(lián)立直線y~與橢圓方程土+L=1,可得3—+4mx+2m2—8=0,

84

由A=16療一12（2療-8）=0,可得加=±2』；

數(shù)形結(jié)合可知，M與叫重合時，也即點M為直線y=x-2逐與橢圓的切點時，的

面積取得最大值,

答案第5頁，共19頁

此時，M到直線BC的距離方」2+乎|,

又忸C|=^(-2)2+22=2A/2；

2+2。廠

故AMBC面積的最大值為:忸c|xd=gx25/IxJ~^=2+2s/3；

41

同時，數(shù)形結(jié)合可知，AMBC的面積沒有最小值；故B錯誤，C正確;

對D：設(shè)點尸(%,%),則H(%o,O),N(-%,-%),

則2％===?==?七=流*=2,

又點",P均在橢圓三+$=1上，則8,兩式做差可得五二4=-五二說

84芯84

,T

則主”=[,也即總X%=-；；

?XJ乙L

」x2=

故^MNXkpM=(ApNXkpM)X-1,

2

故MNIMP,也即APMN為直角三角形，D正確；

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題BC選項處理的關(guān)鍵是，求得與直線BC平行且與橢圓相切的直

線方程，數(shù)形結(jié)合解決問題；D選項處理的關(guān)鍵是利用橢圓第三定義，結(jié)合斜率關(guān)系求解；

屬綜合困難題.

11.BD

【分析】依題意可得NCFB為二面角A-EF-L）的平面角，則AC與E尸所成角等于/C鉆，

利用銳角三角函數(shù)計算即可判斷A,記A3的中點為“，則C-ABG的外接球球心在過點M

且垂直于平面ABG的直線上，理由勾股定理求出外接球的半徑，即可判斷B,過C作CH,叱,

垂足為H,即可證明C"_L平面ABEE,從而得到AC與平面所成角為NC4H,求出

答案第6頁，共19頁

sinZCAH,即可判斷D,結(jié)合D求出當(dāng)AC=好￡/時夕的值，即可判斷C.

2

【詳解】依題意在正方形ABCD中，點￡是4。的中點，點廠是BC的中點，

所以EFHDCHAB,

所以CF_LEf\BFYEF,CFBF=F,C￡BPu平面BCR,所以EF1平面BCb,

又ABHEF,所以平面3CF,又3Cu平面3CT,所以AB人3C,

所以NCfB為二面角A-KF-O的平面角，

TT

即。=/CEB,當(dāng)。=耳時，AC與所所成角等于AC與AB所成角/C4B,

此時COS/CAB=M=,A8,=坐,故A錯誤；

ACyjAB+BF-+CF23

記AB的中點為M,△ABG為等腰直角三角形，

則C-ABG的外接球球心在過點M且垂直于平面ABG的直線上，

又MF=4MB?+BF。=也，設(shè)球心為。，外接球的半徑為R,設(shè)OM=r,

R2=t2+l解得代④

則有

7?2=(1-?)2+2t=i

48l

故C—ABG的外接球的體積V=g兀收=§&兀，故B正確;

過C作CH_LM,垂足為因為EF工平面BC產(chǎn)，EFu平面AB莊,

所以平面ABFE±平面BCF,

又平面ABFEI平面=B尸，。"(=平面8叱，

所以C"_L平面ABFE,

答案第7頁，共19頁

則C"=sin6,HF=\cos3\,AH=^4+(l-cosdf，AC=^4+(1-cos61)2+sin26?,

TT

當(dāng)時，AC與平面ABFE1所成角為NC4H,

此時8=且，HF=g,AH=—,AC=-j5,

222

所以sinNCA”=C^=姮，故D正確；

AC10

當(dāng)，不為鈍角時AC=74+(l-cos6?)2+sin26?=與EF=亞,

所以cos6=J,又0微，則9=：,

當(dāng)。為鈍角時，CH=sin(7i-0)=sin^,HF=cos(7i-0)=-cos6^,AH=^4+(1-cos6>)2,

AC=^4+(l-cos^)24-sin20，

由AC=,4+(1-cos6)2+sin2=與EF=下,

所以cos6=；,又則d無解，故C錯誤；

故選：BD.

【點睛】

答案第8頁，共19頁

方法點睛：（1）求直線與平面所成的角的一般步驟：

①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；

②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.

（2）作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂

線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面

角的平面角.

12.-2

【分析】

根據(jù)韋達定理求解即可.

【詳解】由韋達定理可得Z]+z?=-2,ZjZ2=3,故z；+z；=（Z]+z?）—2ZJZ2=4—6——2.

故答案為：-2

13.叵

2

【分析】

設(shè)|尸閶=/,利用條件和雙曲線的定義求出|尸。|,|尸耳I，I。耳瑪I，然后在Rt防工和

RtPQF2中利用勾股定理列方程組求解.

【詳解】設(shè)I尸局=乙則|尸。|=?|班|="2"，

所以|。叫=不-?—2a）=—t+2a,\QF2\=—t+4a

因為PQ_LP&

]p/f+|*2=1時「?-24+產(chǎn)=402

所以弁“『I…即HMG+T

由W+/=（，+4Q[得，=3Q,代入（，一+/=4C2得!.二彳

即離心率

答案第9頁，共19頁

故答案為：典.

2

14.（0,1）

【分析】

由題意分別表示出如=-},須2=:，兩直線相互垂直可得%％=1,進而根據(jù)切線方程,

尸A

結(jié)合兩點間的距離公式可得=再根據(jù)番％=1求解即可.

QB

【詳解】作圖可得〃x）=|lnx|的零點為1，故不妨設(shè)。＜不＜1,%＞】，

則尸（石,-lnx,）,Q^,ln%），

當(dāng)xe（l,+8）時/（x）=lnx,/,（x）=p

當(dāng)xe（0,l）時/（x）=-lnx,/f（x）=-^

1,1,1

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知g=—-，kBQ=—.

%x2

因為/（X）的圖象在尸，。兩點處的切線互相垂直，所以即占龍2=1.

因為/日：7-（-^%1）=-—（x-xj,gpy=~—x+l~1nxl,

%B：y-ln%=；（尤一%）,即'=：了+1除一1,

則4（0,1-山西），B（0,lnx2-l）,因為0＜玉＜1,且再馬=1，

PA

=2~=丫（0,1）I尸A

,故斜的取值范圍為（0』）?

故QB+1

~石2

答案第10頁，共19頁

故答案為：（0,1）

15.（1）1^12

(2)24

【分析】

（1）根據(jù)余弦定理與正弦定理化簡/+02一廿=2ACOSA可得A=B，再根據(jù)直角三角形中

勾股定理求解即可；

(2)設(shè)Q0=a,由余弦定理與同角三角和的關(guān)系可得SMe=19^+360?-亞,再根

據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.

【詳解】(1)6Z2+c2-Z?2=2Z?ccosAW*2d;ccosB=2Z?ccosA,故4cosg=Z?cosA,

由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,故sinAcosB-sinBcosA=0,

即sin(A—N)=0,又A,5￡(0,兀)，故A=5.

若人=￡,則4=8=：,故。=￡,貝ijABC為直角三角形.

442

設(shè)=則。,=2根，貝I」蘇+(2Mly=6。，解得m=6f.

^,c=AB=42BC=l4iCM=^^-.

(2)由(1)可得A=B,則AC=8C=2CM.

222

ACA-CM-AM

設(shè)CM=a,則AC=2a,由余弦定理可得cosC=—,

2ACCM

即cosC=5[丁36,由ce(0㈤可得sinC=Jl-cos2c=1-f至p]

答案第11頁，共19頁

_，-9〃4+360/一362

一W’

1

故SABC=；AC?3CsinC2asinC.

故S.BC=d9/+；°/-空，當(dāng)片=--262=20時s由取得最大值,

為s.=49?2。［36。？2。-36=24.

16.(1)??=?,b“=2"

⑵存在，左=16

IS.,n=1r、

【分析】⑴根據(jù)4=＜?作差得到。用-。-=2,從而得到｛4｝的奇數(shù)項、

偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，從而求出其通項公式，設(shè)等比數(shù)列也“｝的公比為q,利用等差中項

的性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式求出q,即可求出｛bn｝的通項公式；

(2)由(1)可得。“=/，則＜=：+/+點++總，利用放縮法證明北＜|!，

即可得解.

【詳解】(1)因為4=1,2s"=的,+1，

當(dāng)”=1時，2sl=axa2,所以,=2；

當(dāng)時，2Sn-1=anan-\，

所以25?-2S“_i=anan+1-anan^,

2

即??=??(??+i.

冊＞。,可得%-%=2("22),

所以｛4｝的奇數(shù)項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

答案第12頁，共19頁

偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列,

所以%T=2"T,a2n=In,

綜上可得見=〃；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4,

因為&,3々,b3依次成等差數(shù)列，所以4+&=6仇,

.?也(1+4)=—所以d+4_6=0,解得q=2或q=-3.

q

b

因為也｝為正項等比數(shù)列，故4=2,由8=2=4,貝岫=二=2,

q

所以么=2〃.

11

(2)由(1)可得。〃=—

anbnnx2n

所以仁+上11

H----------+H-----------

3x23nx2n

11116

----1---------T---------T

22x223x2324

當(dāng)〃=4時,n二--'----T-I---------TH---------T>Ti=---

422x223x234x24324

當(dāng)〃>4時，T=—I--------Z-H----------rH--------r+-------------

〃22x223x234x24nx2n

111f11)

22x223x23(3x2，3x2叮

_16Ifl11)

—五十§［夢+尹++FJ

2

-3

24318(2n-3JJ24'

所以存在％=16,使得￡<(<與?(7此4).

17.(1)0<?<1

(2)a——

e

【分析】

答案第13頁，共19頁

(1)求導(dǎo)，然后利用判別式以及韋達定理求解；

(2)計算/&)+/(%),然后代入玉+尤2,再%的值計算整理后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)

單調(diào)性來求解.

【詳解】(1)由已知「(%)=，_二+±二以-一「+l,x＞0,

XXXX

因為函數(shù)/(X)在定義域上有兩個極值點%,三,

△=4-4。>0

2

所以玉+入2=—>°,角星得0<?<1,

a

xx=—>0

{2a

所以實數(shù)a的取值范圍為0＜。＜1;

(2)由⑴得0<Q<1,尸⑴1/一產(chǎn)+1

即兩個極值點W，Z為方程a?-2x+l=0的兩根,

21

則X]+%=一,X^2——

aa

2121

n

所以/(%)+/(工2)=。1+----~^+a\nx2+-------

-^1'*^2

I尤2小

=aln(玉々)+2-"+%12xx+x2

T,22=?ln(x1x2)+2-

一，中2中22

、21

代入芭+X?——,X/2=一得

aa

22x-

)

/(%1+/(x2)=aln1+2x-^--1-=。-4Ina+2，其中OVQVI，

a

22

貝！JQ—〃ln〃+2=—H2,Q—aln〃=一,

e

設(shè)g(x)=x—xlnx,O<x<l,

貝|Jg'(x)=l—(l+lnx)=Tnx,當(dāng)Ovxvl時，gz(x)>0,

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，XgM=---ln-=-,

keyeeee

所以a=L

e

18.(1)存在，理由見解析;

答案第14頁，共19頁

⑵，

29

【分析】

（1）以0c中點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點尸的坐標(biāo)，寫出剩余點的坐標(biāo)，

求得平面a與平面的法向量，根據(jù)其法向量數(shù)量積為零，求得參數(shù)，即可判斷；

（2）根據(jù)（1）中所求，由二面角的余弦值求得月的坐標(biāo)，再作出平面a截幾何體的截面,

根據(jù)棱臺和棱柱的體積計算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）連接8。，取OC中點為0,連接

因為，￡>=￡^=2,/￡>℃=三，故三角形。。C為等邊三角形，則。。1QC；

因為面，面A3CD,面QQCC1C面ABC￡）=￡）Cr>iOu面DQCC],故。。，面

ABCD；

又O民OCu面ABC。，故。0,0民。Q，OC；

在三角形BDC中，因為OC=5C=2,NOC3=NZM5=60。，三角形&X7為等邊三角形，則

BO±DC；

綜上。民0c兩兩垂直，則以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：

又0B=0D「%2=C，故0（0,0,0）,C（0,1,0）,A（^,-2,0）,

2（0,0,百）6（0,2,道），4（6-1,@,網(wǎng)。,1,@,

設(shè)G/=2C]C,AG[0,1],

則0/=2℃+（1-2）0（?1=（0,/1,0）+（0,2-24班一百九）=（0,2—；1,百一百；1）,

即尸（0,2-4退一返2）；

答案第15頁，共19頁

因為OR±^ABCD,故取平面A3CD的法向量為“=(0,0,1)；

又馬=(右，一2,0),加=(0,1-%-?Q,

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z),

m-EA=0n,瓜-2y=0

則外則《/、r取九=，則y=^A,z=

m?EF=0(l-2)y-V32z=0

故平面A￡尸的法向量為加=732,-2,^(1-2)；

I22J

若存在點尸使得C底面ABC。，則方屈=0,即￥(1一可=0,解得4=1；

故存在點尸，當(dāng)其與C重合時，平面C底面ABCD.

(2)設(shè)平面。與平面A3CD所成二面角為，，

由題可得"os.=2叵，即由二2()二巫,

11而7+#+:一獷11

整理得：322+22-1=0,解得4=-1(舍去)或2=；.

故當(dāng)尸為CG上靠近G的三等分點時，平面a與平面ABC。所成二面角的余弦值為誓;

此時，取CG上靠近C點的三等分點為G,取8瓦上靠近3點的三等分點為//,

連接DGAH,HG,HF,如下所示:

在三角形RC|G中，瓦b分別為RG，GG中點，故EFHD\G,

又ADJIBCIIHG,昱AD\=BC=HG,故四邊形4//GR為平行四邊形，貝IjAH//QG//所,

則平面4處E與平面AEF是同一個平面；

X

又^ABCD-^CJD,=，ABCD。2=2sABDx(?￡),=2xx2?x6=6;

答案第16頁，共19頁

S=-sin60oxARxB./f=-x^x2x-=^,

MB典2aII2233

。1,Ano口rrr16i2A/3

S=—sin60xEC,xC.F=—x——xlx—=——，

MF2112236

由(1)知，OBLOC.OBLOD,,OCCOD】=O,OC,ODiu面EFC],

故。s_L面石/G，則棱臺—EG廠的高為05=6,

xSEC/)X°3

則9月"-四尸=]x(SAM”+SECF+yjS^BH

7

兩部分體積分別為一7和6-：7=§29,故體積之比為7余=左7.

66629

~6

【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題第二問的關(guān)鍵一是準(zhǔn)確求得平面。的法向量，二是根據(jù)兩平

行線可以確定一個平面作出平面。的截面，進而通過棱柱和棱臺的體積公式進行計算.

19.(1)(i)y=-^xQx+l；(ii)[4,+oo)

⑵平行，證明見解析

【分析】

(1)(i)設(shè)點通過求導(dǎo)