2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)模擬卷3（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷03

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知向量。=(2,2),b=(l,x),若a//方，則|6|=()

A.1B.0C.布D.2

【答案】B

【解析】向量a=(2,2),Z?=(1,x),a/lb,.',lx=2,.".x-l>

jF+]2=0

故選：B.

2.已知集合4={—1,0,2},B={X|X2<1},則下列結(jié)論正確的是（）

A.A=BB.AoBC.D.AnB={-l,0}

【答案】D

【解析】由題意可知：B={%|X2<1}={%|-1<X<1},

所以A3之間沒(méi)有包含關(guān)系，且AcB={-1,0},故ABC錯(cuò)誤，D正確;

故選：D.

3.已知In*,

人=logo/.5,)

2

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bob>a

【答案】c

［解析1b=log031.5<log031=00=lnl<ln—=<2<lne=l,

2

4.已知樣本數(shù)據(jù)看,X2，」,X”的平均數(shù)為無(wú)，則數(shù)據(jù)%,工2,…,無(wú)"，了（）

A.與原數(shù)據(jù)的極差不同B.與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.與原數(shù)據(jù)的方差相同D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同

【答案】D

【解析】由樣本數(shù)據(jù)七,，%的平均數(shù)為無(wú)，可得元=1(%+%++%)，

n

對(duì)于數(shù)據(jù)看,9,--,Xn,X,其平均數(shù)才=一一(無(wú)]+X2++X“+X)=X,

H+P

其方差s；=+

n+1

即兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，方差不同，可得C錯(cuò)誤，D正確；

由極差定義，兩組數(shù)據(jù)的最大值和最小值不變，則兩組數(shù)據(jù)的極差相同，即A錯(cuò)誤;

對(duì)于中位數(shù)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相同，即B錯(cuò)誤.

故選：D

JT

5.在梯形A8CD中，ADI/BC,NABC=—,BC=2AD=2AB=2,以下底所在直線為軸,

2

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為()

2兀4715兀一

A.—B.—C.—D.2兀

333

【答案】B

【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱與一個(gè)同底的圓錐的組合體，如圖所示：

其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于AB=1，

圓柱的高等于AT>=1,圓錐的高等于BC-4>=1,

底面圓的面積為兀xV=兀，

1兀

圓錐的體積為一x兀xl=—,圓柱的體積為兀xl=7l,

33

7T4兀

所以所得幾何體的體積為兀+彳二下.

33

故選：B.

6.甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，

以4，4分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以糜示從乙箱中取出

的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

c1]3

A.A,4互斥B.尸但A)=,c.=7D.P(B)=-

【答案】c

【解析】因?yàn)槊看沃蝗∫磺颍蔄，4是互斥的事件，故A正確；

由題意得尸(A)=；,P(4)=|，P(叫A)q，P(叫4)=9,

152413

故均正確；

P(B)=P(4B)+P(M=-X-+-X-=-!B,D

24S

因?yàn)镻(&B)=§X]=五，故C錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,y=/(x)+e，是偶函數(shù)，y=/(x)—3e、是奇函數(shù)，則/(力的最

小值為()

A.eB.2.72C.26D.2e

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)/(x)的解析式，再利用基本不等式可求得了(x)的最小值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)+e*為偶函數(shù)，則〃—力+r=/(尤)+e"BP/(x)-/(-x)=e^-e\

又因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)—3e”為奇函數(shù)，則/(―力―3。=—/(x)+3e"即

/(x)+/(-x)=3eT+3e-\②

聯(lián)立①②可得/(%)=e*+2e-x,

由基本不等式可得f(x)=ex+2e_x>2je'2e-x=272,

當(dāng)且僅當(dāng)e*=2er時(shí)，即當(dāng)x=4ln2時(shí)，等號(hào)成立，

2

故函數(shù)/(X)的最小值為2VL

8.雙曲線C：*―1=1(°>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn),,離心率為亞，點(diǎn)P(玉,％)是C

a-k2

的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作/片P鳥的平分線的垂線，垂足是〃，|"0|=夜，若一點(diǎn)乃茜

足片，瑪7=5,則7?!煙兩條漸近線距離之和為()

A.2應(yīng)B.2百C.2A/5D.2底

【答案】A

【解析】設(shè)半焦距為c,延長(zhǎng)耳加交于點(diǎn)兒由于雌/片2鳥的平分線，F(xiàn)2MLPM,

所以-NPK是等腰三角形，所以|PN|=|%|,且碗N"的中點(diǎn).

根據(jù)雙曲線的定義可知I尸耳1—1%|=2a,即INK|=2a,由于慮耳耳的中點(diǎn),

所以倒是右人百巴的中位線，所以|MO|=：|N4l=a=夜，

又雙曲線的離心率為Y5,所以c=G，b=l,

2

Y2

所以雙曲線渤方程為上-y2=1.

2.

所以耳(-6,0),工(百,0)，雙曲線微漸近線方程為x土應(yīng)y=O,

設(shè)T(",v),7到兩漸近線的距離之和為S,則S+M-f”,

V3小

由耳，ET=("-G)Q+&)+v2=/+y2-3=5,得/+丫2=8，

/?2

又雁G上_丁=1上，貝上一聲=1,即/-2/=2,解得“2=6,V2=2,

22

所以|〃|>四|討，故5=弓，=2夜，即距離之和為2應(yīng).

故選:A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)Z1,Z2是關(guān)于X的方程/+以+1=0(-2<6<2,6€夫)的兩根，貝I]()

A.z、=z?B.—&R

z?

C.㈤=忤|=1D.若Z;=1,則z：=z；=1

【答案】ACD

-b+^4-b2i

【解析】解：△=廿_4<0：.X=-----------

2

不:設(shè)「-白亞/，

2

則Z]=Z2，故4正確;

由選項(xiàng)/可知，|zJ=|Z2|=+(上券)2=1'班確;

由韋達(dá)定理得々Z2=l,

二五=C=Z；b2-2.

-------------------------------1

Z2Z1Z222

當(dāng)b^O時(shí),,任R,故反昔;

Z]

當(dāng)6=1時(shí)，z.=--+^-i16.

------------1

12222

計(jì)算得zf=----/-z-Z,

12221

同理可得zf=Z1=z2,

結(jié)合近4項(xiàng)可知Z：=Z1Z2=1,同理可得Z：=l,故〃正確.

故選：ACD

)=立相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且

10.如圖，點(diǎn)A,3,c是函數(shù)/(x)=sin(。尤+°)3>>0)的圖象與直線

2

陽(yáng)-MM"-展上0,則()

D.若將函數(shù)"》)的圖象沿x軸平移。個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為最

【答案】AD

兀27r

【解析】令)(%)二5皿(口工+0)二學(xué)得，69%+0=g+2E或+0=5+2而，左右Z,

71712兀

由圖可知：a)xA+(p=—+2kjt,coxc-\-cp=—+2kji+2Ti,CDXB+cp=-+2kn,

所以忸上…=5+2\AB\=X-X=--

44BACD3

所以g=BCTAB|=,+2兀j

，所以①二4,故A選項(xiàng)正確,

3C0\5)

兀

所以/(%)=sin(4x+0),由/=0得sin]一]+")=0,

12

兀-

所以—1+0=兀+2kn,k￡Z,

4兀一

所以夕=—H2kji,k￡Z,

.\.4兀[.[.4兀).f.7T1t\

所以/(x)=sinI4x+—+2EI=sinI4x+—I=-sinI4x+—I,

33

9兀兀

-sin一+—故B錯(cuò)誤.

23

兀35兀兀個(gè)兀71

當(dāng)時(shí)，4%~\G—,2兀H—,

3I33)

(5兀兀A兀兀

因?yàn)閥=_sinf在fe[y-,27r+]J為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤;

石'5

將函數(shù)八力的圖象沿x軸平移。個(gè)單位得g(x)=-sin(4x+4e+T，(6<0時(shí)向右平移，?！?

時(shí)向左平移)，

g(x)為偶函數(shù)得49+1=3+防1,keZ,

所以+keZ,則冏的最小值為故D正確.

故選：AD.

11.如圖，正方體ABCD—4瓦。12的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)￡是力8的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為側(cè)面BCG與內(nèi)(含邊界)

一點(diǎn)，貝1J()

A.若2PL平面AG。，則點(diǎn)明點(diǎn)磨t合

B.以既球心，友為半徑的球面與截面AC?的交線的長(zhǎng)度為圓

33

C.若然棱比中點(diǎn)，則平面2成截正方體所得截面的面積為2姮

6

D.若母U直線A"的距離與到平面CDRG的距離相等，則點(diǎn)用軌跡為一段圓弧

【答案】ABC

【解析】正方體ABCD—ABIGA中，平面DCG2，DC|U平面。CC|2，BC_LDC\,

正方形OCCQi中，PjClDQ,

2cBeu平面BCD],D[CcBC=C,則。G，平面

RBu平面BCD1,DC]±D、B,

同理，DA1D[B,

<=平面AG。，a41coei=。，平面AG。，

若點(diǎn)P不與鹿合，因?yàn)闉跏矫鍭G。，則RP//RB,與D]P|D]B=Di矛盾,

故當(dāng)平面ACQ時(shí)，點(diǎn)巧夕重合，故A正確；

DA=DC=DD[,AC=AD1=CD,,三棱錐。一AC?為正三棱錐,

故頂點(diǎn)應(yīng)E底面ACQ的射影為△AC"的中心〃，

連接DH,由^o-ACD=^D,-ACD>得一x—x2x2x2=—x—x2-\/2x2\/2xDH>

t3232

所以?！?々，因?yàn)榍虻陌霃綖槎?，所以截面圓的半徑2

V33=忑'

2

所以球面與截面ACD｛的交線是以媯圓心，耳為半徑的圓在△ACp內(nèi)部部分,

、2

如圖所示，HN=-x2s[2x^-=^-,所以MR=2V6276

323

V7

7T兀

HF-+HM2^MF2＞所以NMHF=W，同理，其余兩弦所對(duì)圓心角也等于萬(wàn),

所以球面與截面ACDI的交線的長(zhǎng)度為2乳文宗—3x；又東=卒,故B正確；

對(duì)于C,過(guò)反用］直線分別交加、〃由J延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,M,連接QM、Dfi,

分別交側(cè)棱G。于點(diǎn)兒交側(cè)棱AA于點(diǎn)"連接腐口M,如圖所示:

則截面為五邊形RHEPN,

GA=AE=EB=BP=PC=CM=1,GE=EP=PM=5，GM=3插

D[G=D[MNDD+DM”=屈,H4=—,GH="，

33

cosZD{GM=5。"=,故sinNRGM=,

D[G一V26J26

1/TvV13而—國(guó)

所以S&D\GM=立=,S「FH——義72x---x-,------,

GEH23V266

ZA/2Oz

3V17cV177V17,…次

所以五邊形D.HEPN的面積s=S0-2SAGEH=-....2x--—,故C正確;

ZACrziZl266

因?yàn)?4_L平面BCCiB1,PB{u平面BCCXBX,

所以P與，44,點(diǎn)厚ij直線4耳的距離即點(diǎn)厚U點(diǎn)用的距離，

因?yàn)槠矫鍮CGA，平面CDDG，故點(diǎn)厚（]平面CDD?的距離為點(diǎn)行!]CC,的距離，

由題意知點(diǎn)段I點(diǎn)B,的距離等于點(diǎn)躥ijCC,的距離，

故點(diǎn)/的軌跡是以用為焦點(diǎn)，以CG為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面3CG4內(nèi)的部分，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）.

【答案】-672

9—3r

【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為&=G（?）9fC；(-2)rx~

令9己-3上r=0,得r=3,

2

故常數(shù)項(xiàng)為C；（一2）3=—672.

故答案為：-672.

13.在一ABC中，tanB=tanC=，b—\,則tan(5+C)=a—

【答案】①.6②.73

工JT

【解析】由tanB=tanCB=CeK,可得5=C=—

36

TT2兀

所以可得B+C=—,所以人=一即tan（B+C）=百；

33

是,

易知sinB=—sinA=

2f2，

由正弦定理可得a=吧&-b=6

sinB

故答案為：6,后

14.已知點(diǎn)4為拋物線y2=2x上一點(diǎn)（點(diǎn)/在第一象限），點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為1,線段加田中

垂線交準(zhǔn)線，于點(diǎn)。，交荔由于點(diǎn)￡（久第/播兩側(cè)），四邊形AOEE為菱形，若點(diǎn)只0分別在邊物、

_—5

EA上，DP=ADA，EQ=/JEA,若22+/z=-,則FPFQ的最小值為

工1廠2+|fE4-b目（/eR）的最小值為

tFA-

4

【答案】①.3②.@

2

【解析】對(duì)于第一個(gè)空：

因?yàn)樗倪呅蜛DEE為菱形，所以=AD//E/，又由拋物線的定義知，AD=AF,

所以4￡0=60。,乙g=60。，F(xiàn)1,0,

.31

，得寸y

DA=（2,0）,。尸=（1,—百），F(xiàn)E=（2,0）,￡4=（-1,73）,

FP=DP-DF=ADA-DF=3-1,由），F(xiàn)Q=FE+EQ=FE+從EA=（2—〃，百〃卜

又2/l+〃=3,22=3—〃e[0,2],所以〃e1,

22_2_

叮.尸0=（2彳一1）（2—〃）+3〃=[[—〃一1]（2—〃）+3〃=〃2_；〃+3,

當(dāng)〃=；時(shí)，/尸了。取最小值3.

對(duì)于第二個(gè)空：

7V4=（1,A/3）,FE=（2,0）,tFA-^FE=\^-^,^>t^,tFA-FE=（t-2,^,

tFA-^FE+\tFA-F^=—+（而『+小―2]+（網(wǎng)2

表示的是點(diǎn)尸”,6）到點(diǎn)和N（2,0）的距離之和，

尸卜,、歷）在直線y=J我上，設(shè)N（2,0）關(guān)于直線〉=瓜對(duì)稱的點(diǎn)N'（x0,%）,

由<“一；3得卜一；，所以1,?,

一_1（%+2）1%=6、）

.2一2_

|PF|+|p^|=|PF|+\PN'\>,當(dāng)且僅當(dāng)N',F,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

故〃％—+\tFA-FE\的最小值為YU.

4112

故答案為：①3,②叵.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

13

15.設(shè)/(?=alnjc+----x+1,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/■⑴)處取得極值.

2x2

⑴求a；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)2(2)單調(diào)遞減區(qū)間(0,；)和(1,+刃)，單調(diào)遞增區(qū)間(；』)，極大值為了⑴=。，極

小值為/(g)=2—21n3.

【解析】(1)/(x)=alnx+---x+1,則廣(>)=呸—一

2x2x2x2

又?r(D=o,

故可得〃一2=0,

解得a=2；

⑵由⑴可知，/(x)=21nx+-,---x+l,/Xx)=-(3X~1)^~1),

2x22x2

令尸(x)=0,解得玉=g,x2=l,

又■函數(shù)定義域?yàn)?0,田)，

故可得/(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+8)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,1)單調(diào)遞增.

故了⑴的極大值為了⑴=0,的極小值為/(-)=2-21n3.

16.如圖，四棱錐V-A3CD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=60，平面VBD_L底面

ABCD.

(1)求證：AC±VD；

(2)若V?=2,且四棱錐V-ABCD的體積為2,求直線VC與平面憶46所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)叵

5

【解析】(1)平面底面ABCD,平面VBD)底面ABCD=3。，

底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC±BD,ACu底面ABCD,

則有AC,平面VB。，又VDu平面所以

(2)底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABAD=60，

府為等邊三角形，BD=2,SA_=|x2x2xsin60=^，

平面VBD,底面ABC。，平面V8O底面筋8=%),

過(guò)M點(diǎn)作5。的垂線，垂足為。，則VO_L底面ABCQ,

四棱錐V—ABCD的體積為2,則3*25.。-弘9=；＞＜2*6-/。=2,

解得VO=6，則30=7v?2-VO2=，4-3=1，

所以。為班＞中點(diǎn)，即。為AC和交點(diǎn)，

AO=OC=JAB2_3O2=7^1=行

以。為原點(diǎn)，。4,。氏。丫所在直線分別為尤,％z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,。)，A(AO,O),8(0,1,0),c(-V3,o,o),y(o,o,@,

AB=(-73,1,0),VB=(O,1,-V3),VC=(-A/3,0,-A/3),

設(shè)平面VAB一個(gè)法向量〃=(羽y,z),

AB?n=-yfix+y=0

則有《令X=l,則曠=百，z=l，即〃=(1,G，D，

VBn=y->/3z=0

VC-n-^-V3Vio

cos(VC,n

|vc||?|-屈X亞"V

所以直線vr與平面VAB所成角的正弦值為叵.

5

17.現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,…，〃的小盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都

是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒

子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入〃號(hào)盒子為止.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)當(dāng)"=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)g的分布列；

(3)記港盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X“，求X”的期望E(Xj.

【答案】(1)j(2)分布列見(jiàn)解析(3)E(X?)=2

C1C12

【解析】(1)由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為「==；；；

C；3

(2)由題可知〈可取1,2,3,

020201027

V)c；C；C；Cj36

P偌=3)=WxW+/xW=，

V7c；CjC；Cj36

則第n(n>2)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為1—%—b,i，

211

且J〃一2+2an-2+萬(wàn)(1-4-2-%一2)("N3),

化解得如=：岫+；，

62

i3731

5615)515

31<3>f31311

而打一1二24一M，則數(shù)列也一;為等比數(shù)歹U,首項(xiàng)為4一二二二，公比為二,

56<5JI5J5156

311

所以么=-+--

515l6

又由a〃-i=%b〃_2+54-2求得：4=g

因止匕￡(X〃)=1x%_]+2xd_1+3x(1—a〃_i—2T)=3—2%_]—bn_x=2.

22

18.已知尸為曲線C:土+乙=1(〃>1)上任意一點(diǎn)，直線PM,PN與圓/+,2=1相切，且分別與

4n

。交于M,N兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若OPOM為定值，求〃的值，并說(shuō)明理由;

4

(2)若〃=—,求，PMN面積的取值范圍.

3

4「4百

【答案】(1)〃=4或〃=§;(2)2,亍

【解析】⑴由題意設(shè)P(&M),M(%，%)，

當(dāng)直線PM的斜率不為0時(shí)，直線PM：x=my+t,

因?yàn)橹本€與圓相切，所以言=/[\t\=1,即/+1=*,

，加2+1

x=my+t

聯(lián)立丁產(chǎn)可得：(n^n+4)y2+2mnty+nt2-4n=0,

—+—=1

、4n

nt2-4n

所以A=(2mnty—4(+4)(九/_4〃)>0,%—2mnt

+%=蘇〃+4m2n+4

4-t2-4/〃

XyX+t)(my+/)=m1yy+y)+t2

22x22m2n+4

—4加2〃+(4+〃)產(chǎn)一4〃

所以O(shè)P-OM=xxx2+yxy2----------\-----------

mn+4

因?yàn)閙2+l=t2,所以x/2+=("3嗎+(4-3.),

nm+4

要使0PoM一為定值，則34-13〃=一4—3〃1,所以〃=4或〃=4—,

n43

當(dāng)直線PM的斜率為。時(shí)，

因?yàn)橹本€與圓相切，所以d=W=l,即丁=±1,

不妨取y=1,

y=i

44

聯(lián)立V尤2y2，可得％2~|----4=0,所以為％2=---4

---F—=1〃n

、4n

4

所以石％2+%%=一3+—，也符合上式.

n

4

（2）當(dāng)〃時(shí)，由（1）可知OPQW=0，OP±OM,

同理OP，QV,即N三點(diǎn)共線，

所以SPMN=2S.“°=|PM|"=|PM|,

當(dāng)直線PM的斜率不為。時(shí)，由（1）可知：

—2mtr2-4

=1^1=y/1+m24必%=Vl+m2x2dAm2;3t

所以Sp“N

m+3

因?yàn)?+1=/，

2

----22dm2+9m+3-2）（信+3+6）

所以c+mx------------

Q、PMN療+3m24-3

令/+3=kN3,

25（左一2）（左+6）_2收+412_2M24,

所以S.PMN

k一

所以當(dāng)左=3時(shí)，S^MN有最小值為2；

當(dāng)上=6時(shí)，S&MN有最小值為迪；

3

當(dāng)直線尸河的斜率為0時(shí)，由（1）可知:

=|PM|=2J4-1=2.

。PMN

綜上：PMV面積的取值范圍I2,

19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光

滑曲線C：y=/（x）上的曲線段A3,其弧長(zhǎng)為加，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從/沿曲線段AB運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，4點(diǎn)的切

線乙也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到6點(diǎn)的切線4，記這兩條切線之間的夾角為A6（它等于4的傾斜角與乙的傾斜角

之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲