上海市2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

上海市交大附中2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

2.已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為尸（近,0）,直線(xiàn)y=x-1與其相交于M，N兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2

為-一，則此雙曲線(xiàn)的方程是

3

A.----------=1D.----------=1

3443

2222

C.土-乙=1D.土-乙=1

5225

丫2

3.已知雙曲線(xiàn)C：—-/=1,6，居為其左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)/過(guò)右焦點(diǎn)工，與雙曲線(xiàn)。的右支交于A(yíng)，B兩點(diǎn),

4'

且點(diǎn)A在x軸上方，若|隹|=引36|,則直線(xiàn)/的斜率為（）

A.1B.-2C.-1D.2

4.已知函數(shù)〃x）=-+3x+3,g（x）=-x+m+2,若對(duì)任意玉w[1,3],總存在無(wú)?e[1,3],使得/（xj=g（%）

X+1

成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

17

A.B.—co,——I[9,+oo

2

179179

C.D.—GO,———,+00

42

22

5.已知橢圓1?2+3/=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、心，過(guò)耳的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng),B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)V,

若￡、M是線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()

￡R6C.拽

A.15.------

225

6.函數(shù)/(%)=sin(CDX+0)(O>O,O<0<?)的圖象如圖所示，為了得到g(x)=cosoix的圖象，可將/(%)的圖象

A.向右平移JO個(gè)單位B.向右平移3個(gè)單位

向左平移*個(gè)單位

C.D.向左平移7O個(gè)單位

7.設(shè)無(wú))=?,點(diǎn)0(0,0),A(0,l),\(n,/(n)),neN*，設(shè)乙4。\=4對(duì)一切“eN*都有不等式

sin2。sin?，sin2”+竺其</—2Z-2成立，則正整數(shù)/的最小值為()

-------L+—+—+

I22232n

A.3B.4C.5D.6

8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示

為兩個(gè)素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于20的概率是()

113

A.—B.—C.—D.以上都不對(duì)

141228

9.設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的前項(xiàng)和為S,,,若84019+4016=0,則/的值為()

10.函數(shù)/(%)=皿+三8^在[―2乃,0)。(0,2加上的圖象大致為()

x20

11.已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，尸(-26,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足10Pl=1。打且|?？趞=4,則橢

圓C的方程為()

222222

土+乙=

A.--------1-------二1B+=1c.=1D.1

255-^h30104525

12.定義：州/(助兇8(尤)｝表示不等式/(%)<8(無(wú))的解集中的整數(shù)解之和.若/。)=|1082》|,g(x)=a(x-l)2+2,

N｛f(x)0g(x))=6,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

1Og2

A.(-8,—1]B.(log23-2,0)c.(2-log26,0]D.(^~,0]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=(1/)，|/?|=73,(2m+士)％=2,則。一辦=.

14.如圖，為測(cè)量出高選擇4和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得"點(diǎn)的仰角NMAN=60°，C

點(diǎn)的仰角NC4B=45°以及NAiAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得NVC4=60°.已知山高5。=100/“，則山高

MN=m

為有理數(shù)

15.數(shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)。(x)=<，

0,x為無(wú)理數(shù)

稱(chēng)為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于0(“有以下結(jié)論：

①。(力的值域?yàn)閇0』；

②Vxe7?,D(-x)=D(x)；

③FTER,D(X+T)=D(x)；

@D(1)+D(V2)+D(^)++￡>(0020)=45;

其中正確的結(jié)論是(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論的序號(hào))

16.滿(mǎn)足約束條件1⑷+2|川?2的目標(biāo)函數(shù)2=〉一%的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在A(yíng)ABC中，內(nèi)角A瓦C所對(duì)的邊分別為aS,c,已知a，b,且

cos2A-cos2B=A/3sinACOSA-A/3sinBcosB?

(I)求角C的大??；

(II)若c=6,求AABC面積的取值范圍.

x=l+cos],

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系九0y中，曲線(xiàn)。的參數(shù)方程為｛、.為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

y=1+sin%

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為。=&]0<?<|^,直線(xiàn)/交曲線(xiàn)C于A(yíng),B兩點(diǎn)，p為中

點(diǎn).

(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的軌跡。2的極坐標(biāo)方程；

(2)若|AB||OP|=G,求夕的值.

19.（12分）設(shè)aeR,函數(shù)/（》）=》*一工-a（x-l）.

3

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求/Xx）在（72）內(nèi)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=/（x）+a（x—1-六工），當(dāng)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)為々（看<%）時(shí)，總有々8。1）<4/'（石），求實(shí)數(shù)

X的值.

20.（12分）已知橢圓E：二+}=1（a>Z?>0）的離心率為e=18,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A,C組成

ab2

的三角形面積為6.

（I）求橢圓E的方程；

（II）若點(diǎn)尸為橢圓E上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作橢圓E的切線(xiàn)交圓O：公+,2=/于不同的兩點(diǎn)河，N（其中M在N

的右側(cè)），求四邊形AQWN面積的最大值.

x=tcosa4cos6^

21.（12分）已知直線(xiàn)/的參數(shù)方程為.（OWa〈乃，?為參數(shù)），曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為夕=「片.

y=1l+/sinasin_0

⑴將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)C的形狀；

⑵若直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,求直線(xiàn)/被曲線(xiàn)C截得的線(xiàn)段的長(zhǎng).

22.（10分）已知函數(shù)/（%）=（尤+D（e=1）.

（I）求/Xx）在點(diǎn)（T,/（—l））處的切線(xiàn)方程；

（II）已知在R上恒成立，求a的值.

eh

（in）若方程/。）=人有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉,%，且玉<%2,證明：x2-xi<b+i+——.

e-1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

，=1W8滿(mǎn)足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=O+（—l），F(xiàn)=—1,=1+1=2；

i=2W8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=-1+(-1)2X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，S=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，S=-6+(-1)4X42=10,Z=4+1=5；

i=5W8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，S=10+(-1)5X52=-15,/=5+1=6；

i=6W8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，5=-15+(-l)6x62=21,,=6+1=7；

i=7W8成立，執(zhí)行第七次循環(huán),S=21+(-1)7X72=-28,z=7+l=8；

i=8W8成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，S=—28+(—義8?=36,z=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等

題.

2、D

【解析】

25

根據(jù)點(diǎn)差法得二==，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得“2+〃=7,解方程組得1=2,廿=5,即得結(jié)果.

a"b~

【詳解】

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為二―與=1（?！?］〉0）,由題意可得儲(chǔ)+〃=7,設(shè)N（x,,%），則肱V的中點(diǎn)為

ab

2

_52222(%+%)(%-%)2x(--)2x(--)

2，由冬-*=1且冬-芯=1,得

，--------------,33

33ababa2

b2

2522

即r=7T，聯(lián)立儲(chǔ)+〃=7,解得/=2,白=5,故所求雙曲線(xiàn)的方程為上-匕=1.故選D.

a2b225

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得4&=3巴瓦設(shè)直線(xiàn)1的方程x=my+V?,m>0,設(shè)3（/，%），即門(mén)=-3丫2①,

聯(lián)立直線(xiàn)1與曲線(xiàn)C,得yi+y2=-￥"②，yiy2=:一③，求出m的值即可求出直線(xiàn)的斜率.

m-4m-4

【詳解】

r2

雙曲線(xiàn)C：---/=1,Fl,F2為左、右焦點(diǎn)，貝!|F2（JL0）,設(shè)直線(xiàn)1的方程X=my+JLm>0,,雙曲線(xiàn)的漸

4-

近線(xiàn)方程為x=±2y,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,：.AF2=3F2B,Ayi=-3y2@

由text?！茫≦4

卜2+2\/5my+1=0

：?△=(2^/5m)2-4(m2-4)>0,即m2+4>0恒成立,

1

..y1+y2=——；——②，yiy2=—~~

m-4m-4

聯(lián)立①②得-2%=-革彳〉0,聯(lián)立①③得-3代匕<0,

小m1口口1

-----------------2即:解得：直線(xiàn)/的斜率為2,

y乙——Z7---2,m>U,m=~,

J2m-4A12-3ml2-3m22

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題.

4、C

【解析】

將函數(shù)/（力解析式化簡(jiǎn)，并求得了'（X）,根據(jù)當(dāng)玉e[l,3]時(shí)r（x）>0可得〃不）的值域；由函數(shù)g（x）=—x+m+2

在％e[L3]上單調(diào)遞減可得g（%）的值域，結(jié)合存在性成立問(wèn)題滿(mǎn)足的集合關(guān)系，即可求得心的取值范圍.

【詳解】

依題意f（x）=L+3x+3=d（x+l）+l

'）x+1x+1

=X-\-----F2f

x+1

1

則1(x)=l-

(x+疔

當(dāng)x?l,3］時(shí),r(x)>0,故函數(shù)在［1,3］上單調(diào)遞增,

當(dāng)再e[l,3]時(shí),/(xje

而函數(shù)g(x)=—x+m+2在［1,3］上單調(diào)遞減,

"721"|

則只需+

故乙，解得“<加《2,

42

m+1>—

［4

「1791

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為—.

L42J

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

5、D

【解析】

根據(jù)題意，求得A",B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程，即可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可知，M點(diǎn)為A耳中點(diǎn)，F(xiàn)］為BM中點(diǎn),

故可得啊+xA=2xM=0,故可得4=c；

22b2b1

代入橢圓方程可得c二+v與=1,解得y=土幺，不妨取以=幺，

a'b~aa

(b2}

故可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為c,—,

IaJ

b2、b2\

則M0)—,易知3點(diǎn)坐標(biāo)—2c,-丁

、2a,12alaJ

J?

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得4=5,2,所以離心率為二,

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得A瓦7點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.

6、C

【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到/(x)=sin2x+1,結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.

【詳解】

T77r7i71

由圖象知：一—=：?a)=2?

212122

71

又X=時(shí)函數(shù)值最大，

12

所以2乂；|+0=1+2k冗=>°=g+2k兀.又0￡(0,?),

.c乃7乃1

??0=y,從而/(x)=sin[2x+5J,g(%)=cos2x=sin12%+'—sin2xH----H—

32123

只需將/(X)的圖象向左平移個(gè)單位即可得到g(X)的圖象，

故選C.

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)y=Asin(ox+0)+5(A>O,o>O)的圖象求解析式

(1)|A|=—%un加=+Knm.⑵由函數(shù)的周期丁求0,T=&L

1122m

(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求(P,一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.

7、A

【解析】

先求得?%=^^=工-——,再求得左邊的范圍，只需y―2f-221,利用單調(diào)性解得t的范圍.

nn+nnn+1

【詳解】

由題意知sin?！?/,，/.S^n—=---------，

7n~+nnn+nnn+1

.sin26>.sin26*sin2ftsin26>,1111111,1陪的.嘀上

-----+—1+——+……+—產(chǎn)=1一一+-----+-----+...+--------=1---------,隨n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

：.t2-2t-2>l,即產(chǎn)—2/ilNO,又處）=產(chǎn)一251在上單增,f（2）=-KO,f（3）=2>0,

二正整數(shù)/的最小值為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

8、A

【解析】

首先確定不超過(guò)20的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

不超過(guò)20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)，

從這8個(gè)素?cái)?shù)中任選2個(gè)，有砥=28種可能；

其中選取的兩個(gè)數(shù)，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2種情況，

21

故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率P===二.

2814

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

求得等比數(shù)列｛an｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得”的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,：8a2oi9+a2oi6=O，,/=詠=一!，，4=-1，

“2016"2

因此f=W=1+^=F

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

解：依題意，/（—立但22=吟+立吧=/（x）,故函數(shù)/（九）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸

-%20x20

對(duì)稱(chēng)，排除C；

jrTT

而/（乃）=—太＜0,排除B；/（2萬(wàn)）=（〉0,排除D.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

由題意可得c=2&,設(shè)右焦點(diǎn)為F，，由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFFr=ZFPO,ZOFrP=ZOPFr,

所以NPFF，+NOPP=NFPO+NOPF，，

由NPFF'+NOFT+NFPO+NOPFEO^,

NFPO+NOPF，=90。，即PF±PFf.

在RtAPFF，中，由勾股定理，M|PFq=VFF,2-PF2=J（4^/5）2-42=8，

由橢圓定義，得|PF|+|PF[=2a=4+8=12,從而a=6,得a?=36,

于是b2=a?-?2=36-（2A/^）'=16,

22

所以橢圓的方程為L(zhǎng)+2-=1.

3616

故選B.

點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定

點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是線(xiàn)段（兩定點(diǎn)間的連線(xiàn)段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡不存在.

12、D

【解析】

由題意得，N{"x)?g(x)}=6表示不等式|log2尤|＜a(x-1-+2的解集中整數(shù)解之和為6.

當(dāng)。＞0時(shí)，數(shù)形結(jié)合(如圖)得llogzxK。(尤-iy+2的解集中的整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，|1。82＞|＜。0-1)2+2解集中的

整數(shù)解之和一定大于6.

當(dāng)嗎。時(shí)，g(x)=2,數(shù)形結(jié)合(如圖)，由小)＜2解得%x＜4.在。4)內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解'為L(zhǎng)2,3,滿(mǎn)足

N{7(元)(8)g(x)}=6,所以。=0符合題意.

當(dāng)。＜0時(shí)，作出函數(shù)/(x)=|log2x|和g(x)=a(x-l)2+2的圖象，如圖所示.

若N{/(x)③g(x)}=6,即llog?尤|<〃(尤-1)2+2的整數(shù)解只有1,2,3.

〃3)<g⑶log3<4〃+2

只需滿(mǎn)足＜即《2'解得葉2＜心。'所以理產(chǎn)

/(4)>g(4)229a+2

綜上，當(dāng)N{/(x)Oga)}=6時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是/,0].故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

【解析】

由題意得。力=-2，|G1=A/2＞再代入[a_b[=J(a-b)2=Ja-2a-b+b中，計(jì)算即可得答案.

【詳解】

由題意可得Ia1=41,(2a+b)-a=a-b+2a=a-Z?+4，

a?b+4=2，解得a-b=-2，

|-Z?|=\l(a-b)2-ya-2a-b+b-J2+4+3=3?

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量模的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意向量數(shù)量積公式的

運(yùn)用.

14、1

【解析】

試題分析：在A(yíng)BC中，NR4c=45°,NABC=9O0,3C=1OO,:.AC=」^-=1OO0,在A(yíng)MC中，

sin45°

-AMAC=75°,ZMCA=60°,ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=幽2,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°'

得AM=10073，在Rt_AMN中，MN=AM-sinZMAN=10073xsin600

=150(m).

故答案為1.

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.

15、②

【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比亞面小的有理數(shù)個(gè)數(shù)，即可確定④.

【詳解】

對(duì)于①，由定義可知，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)。(尤)=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)。(x)=0,則值域?yàn)閧0,1},所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，所以滿(mǎn)足Vxe氏。(-x)=D(x),所以②

正確;

對(duì)于③，因?yàn)門(mén)GR,當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，x+T可以是有理數(shù)，也可以是無(wú)理數(shù)，所以③\/7€氏,。(％+7)=。(￡)錯(cuò)

誤；

對(duì)于④，由定義可知。⑴+。(&)+。(/)++5(^020)

=D(l)+D(V4)+D(V9)+D(V16)+D(y/25)+。(向5+￡)(&)+。(后)++D(屈"=44’所以④錯(cuò)

誤；

綜上可知，正確的為②.

故答案為：②.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

16、-2

【解析】

可行域|尤|+21y|W2是如圖的菱形ABCD,

知ZA=0-2=-2為最小.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(I)C=-(II)S^BCG

【解析】

(I)根據(jù)cos?A-cos?5=GsinAcosA-gsinBcosB,利用二倍角公式得到

1+cos2A1+cosIBJ3J3±,j”，“八.(c“乃).(cn%、小-

-------------------------=—sin2A------sin2B,再由輔助角公式得到sin|2A--=sin2B--,然后根據(jù)正

2222II

弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

(II)

根據(jù)⑴由余弦定理得到3="+/5,再利用重要不等式得到腐3,然后由SA［擊選求解.

【詳解】

2

(I)因?yàn)閏os2A-cosB=A/3sinAcosA-A/3sinBcosB,

1+cos2A1+cos2B

所以=—sin2A--sin2B,

2222

cos2AA/3.__cos2B

sin2A------二——sin25-----------

T-222

sin2A--Usin2B--n

66

2A-W=2嗯或2y+23—卜，

A=5或=9

因?yàn)閍】b,

27r

所以A+於三

TF

所以c二二；

3

(II)由余弦定理得：c2=6Z2+Z?2-labcQSC9

所以〃2+/=3+次?22ab，

所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃取等號(hào),

又因?yàn)閎,

所以＜3,

所以5AABe=-^absinc邛go,哈

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

n

18、(1)(x-l)2+(y-l)2=1,夕=應(yīng)cosN71⑵a若或a吒

42

【解析】

(1)根據(jù)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程消去參數(shù)f,可得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程,再由|。。|=拒，QH=|OC|COSNPOC,

可得點(diǎn)P的軌跡G的極坐標(biāo)方程;

(2)將曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程求,與直線(xiàn)I極坐標(biāo)方程聯(lián)立,消去6,得到關(guān)于P的二次方程，由P的幾何意義可求出|A到，

而(1)可知|0刊=應(yīng)cosa-J,然后列方程可求出a的值.

【詳解】

(1)曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x—1)2+(y—1)2=1,

圓C的圓心為C,|OC|=夜，設(shè)尸(夕,，)，所以NPOC=，—?，

則由10H=|OClcosZPOC,即夕=0cos(6—7](0<，<彳]為點(diǎn)P軌跡C2的極坐標(biāo)方程.

<q八乙)

(2)曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為22_2逝夕cos[。-+1=0,

將/:，=￡1()<0<叁]與曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，p2-2與cos1?-^+1=0,

設(shè)A(q,tz),3(夕2,￡)[<￡<?，

2

所以=/?[-p2=J8cos2——4=2/2cos1a——1,

\OP\=A/2COS^-^,

由|AB|-|OP|=y/3)即212cos?1a———1x,y/zcos(a——=y/3)

((y/2)解得加=".

令cosa—：=加——<1,上述方程可化為16/—8〃—3=0,

l4-2J2

由“。j>￥「?<〃一:『所以"±土?即”存

，ta=—.

12

【點(diǎn)睛】

此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化利用極坐標(biāo)求點(diǎn)的軌跡方程，考查運(yùn)算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

19、(1)極大值是/⑴=1,無(wú)極小值；(2)彳=工

e+1

【解析】

(1)當(dāng)4=1時(shí)，可求得尸(尤)=已”無(wú)?1\令〃(x)=(2尤利用導(dǎo)數(shù)可判斷飄x)的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，

e

從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；

(2)表示出g(x),并求得g'(x)=(-_?+2x+a)e1,由題意,得方程-爐+2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根占，x2al＜爸),

從而可得△=4+4。＞0及%+%=2,由玉＜尤2，得用＜1.則工途(占),，4/'(無(wú)J可化為無(wú)J2e「*-力/-為+1)],,0對(duì)任意

的％e(-8,1)恒成立，按照芭=0、石e(O,l)、為6(-8,0)三種情況分類(lèi)討論，分離參數(shù)2后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

可解決；

【詳解】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，/⑴

e

3

令/犬)=2%—爐—e'T,貝!|/(%)=2—2%—"T,顯然"(X)在上(一⑵單調(diào)遞減，

4

又因?yàn)榫?(1)=3-)＜0,故xe(3,2)時(shí)，總有〃(x)＜0,所以以幻在(±2)上單調(diào)遞減.

42寸￡44

3

由于她)町所以當(dāng)X%，1)時(shí)，3)"當(dāng)D時(shí)，心)＜。?

當(dāng)I變化時(shí)，/'(X)、/(X)的變化情況如下表:

X(如1(1,2)

f(x)+-

/(x)增極大減

3

所以『⑶在『)上的極大值是")=1,無(wú)極小值.

(2)由于g(于=(爐一貝!)/(%)=(—％2+2%+〃)*",由題意,方程一爐+2%+.=0有兩個(gè)不等實(shí)根玉,%2,則

一爐1+2再+4=0

2

A=4+4Q＞0,解得〃＞—1,且＜-X2+2X2+(2=0,又玉＜々，所以王＜1.

X+%2=2

21x2lXl

由尤2g(再)＜丸/'(九1)，f\x)=(2x-x)e~-a,可得々(月—。)3一司＜A[(2xl-x^e~-a]

2

又々=2-和。=/]一2%i.將其代入上式得：2%(2-xjeif<沈[(2%一/jef+(2xl-xJ].

整理得XjW-4(3』+l)]<0,即再[2/F-X(ef+1)]<0,Vjqe(-oo,l)

當(dāng)芭=0時(shí)，不等式芭[23』—X(eif+l)]<0恒成立，即

當(dāng)(0,1)時(shí)，2/f—雙六為+1)<0恒成立，即22小，令人(％)=聿1L,易證人(x)是火上的減函數(shù).因

產(chǎn)+13一%+1

r\c

此，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，k(x)<k(0)=—,故423.

e+1e+1

當(dāng)為e(——0)時(shí),2eif—"3/+1)>0恒成立，即；IW衛(wèi)L,

e5+1

因此，當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，左(%)〉左(0)=一土所以2V——.

e+1e+1

綜上所述，2=—.

e+1

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí)，考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分

析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高.

2

20、(I)—+y2=1；(II)4.

4

【解析】

(I)結(jié)合已知可得￡=走，6c=百求出a,b的值，即可得橢圓方程；

a2

(II)由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得加2=4父+1,

聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得5AMe。+5%加，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出

9

S^MON得至!ISAC=S\MON+1co+S詡o,整理后利用基本不等式求最值?

【詳解】

解：(I)可得￡=走，bc=布結(jié)合a1=b2+c2,

a2

_2

解得a=2,c=6,b=l,得橢圓方程?+/=1；

(II)易知直線(xiàn)肱V的斜率左存在，設(shè)肱V：y=kx+m,

y=kx+m

由《得（4左2+1封+8初ix+4（加之一1）=o,

2

d+4y=4

由A二6442療一16(442+1乂療-1)=0,得"=4^+1,

?SACMN~S\MON+S^CO+S\ANO，

設(shè)點(diǎn)。到直線(xiàn)MN："-丁+根=0的距離為d,

"=3,仁=2孤四「-八2卜3

2

_1rm\m\|m|J(4左N+4_療)_百,

b"的乂忑主飛“2a+1=H

由<‘履+",得(左2+1)%2+2^^+W2-4=0,

[x2+y=4''

—2kmm2-4

石+々=產(chǎn)7丁…2=下77

:.X+%二村+根+辰2+機(jī)=左(玉+9)+2加

2km)2m

=k+2m=

VTTJF+T

若(EI+?2|)=#(IX+%I)=￡Ti

**S^MCO+S處1Ao=5X

...s=s+(S+S)=演+且刨

QACMN~^\MON丁<UAM40丁0AMCO)~上2+]左之十]

而帆2=4左2+1,左2=1二1,易知左2?0,則同之1,

411

_2百\m\_8G\m\_873<8g_

四邊形ACMV的面積3=m2_],=徵2+3=3一公行=’

m+

---4--+]1\\1n\m\

3

當(dāng)且僅當(dāng)而l=H,即m=±3時(shí)取

二四邊形AOWN面積的最大值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由a,4c求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

21、(1)曲線(xiàn)C表示的是焦點(diǎn)為(L0),準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1的拋物線(xiàn);(2)8.

【解析】

4cosf)

試題分析：(D將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為夕=「三兩邊同時(shí)乘以夕，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其

直角坐標(biāo)方程；(2)由直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),可得tana的值，再將直線(xiàn)/的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線(xiàn)參

數(shù)方程的幾何意義可得直線(xiàn)/被曲線(xiàn)C截得的線(xiàn)段C的長(zhǎng).

4cos0

試題解析：(1)由夕=—「可得p2sin2e=4pcos，，即V=4x,