高中數(shù)學必修二《第九章 統(tǒng)計》復習教案

高中數(shù)學必修二《第九章統(tǒng)計》復習教案《9.1隨機抽樣》復習教案9.1.1簡單隨機抽樣學習目標核心素養(yǎng)1.通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程．(重點)2．掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法．(重點、難點)通過對簡單隨機抽樣的概念和應用的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【自主預習】1．全面調查和抽樣調查調查方式普查抽查調查定義對每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查方法，稱為抽樣調查相關概念總體：在一個調查中，我們把調查對象的全體稱為總體．個體：組成總體的每一個調查對象稱為個體樣本：我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本．樣本量：樣本中包含的個體的數(shù)量稱為樣本量2.簡單隨機抽樣的概念放回簡單隨機抽樣不放回簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n(1≤n＜N)個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣：放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣．通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本3.抽簽法先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以使卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌．最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應的個體進入樣本，直到抽足樣本所需要的個體數(shù)．4．隨機數(shù)法(1)定義：先把總體中的個體編號，用隨機數(shù)根據(jù)產(chǎn)生與總體中個體數(shù)量相等的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，并剔除重復的編號，直到抽足樣本所需要的個體數(shù)．(2)產(chǎn)生隨機數(shù)的方法：①用隨機試驗生成隨機數(shù)，②用信息技術生成隨機數(shù)．5．總體均值和樣本均值(1)總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則為總體均值，又稱總體平均數(shù)．(2)總體均值加權平均數(shù)的形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i＝1,2，…，k)，則總體均值還可以寫成加權平均數(shù)的形式eq\x\to(Y)＝.(3)如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱eq\o(y,\s\up6(－))＝.思考1：采用抽簽法抽取樣本時，為什么將編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以使卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌？[提示]為了使每個號簽被抽取的可能性相等，保證抽樣的公平性．思考2：抽簽法有什么優(yōu)點和缺點？[提示](1)優(yōu)點：簡單易行，當總體的個體數(shù)不多時，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，這時，每個個體都有均等的機會被抽中，從而能夠保證樣本的代表性．(2)缺點：僅適用于個體數(shù)較少的總體，當總體容量較大時，費時費力又不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導致抽樣不公平．1．使用簡單隨機抽樣從1000件產(chǎn)品中抽出50件進行某項檢查，合適的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機數(shù)法C．隨機抽樣法 D．以上都不對B[由于總體相對較大，樣本容量較小，故采用隨機數(shù)法較為合適．]2．下面抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本B．可口可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質量檢查C．某連隊從200名戰(zhàn)士中，挑選出50名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士去參加搶險救災活動D．從10個手機中逐個不放回地隨機抽取2個進行質量檢驗(假設10個手機已編好號，對編號隨機抽取)D[A中，平面直角坐標系中有無數(shù)個點，這與要求總體中的個體數(shù)有限不相符，故錯誤；B中，一次性抽取不符合簡單隨機抽樣逐個抽取的特點，故錯誤；C中，50名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡單隨機抽樣的等可能性，故錯誤．]3．用抽簽法抽取的一個容量為5的樣本，它們的變量值分別為2,4,5,7,9，則該樣本的平均數(shù)為()A．4.5B．4.8C．5.4D．6C[eq\x\to(y)＝eq\f(2＋4＋5＋7＋9,5)＝5.4.]【合作探究】簡單隨機抽樣的判斷【例1】下列5個抽樣中，簡單隨機抽樣的個數(shù)是()①一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件；②倉庫中有1萬支奧運火炬，從中一次性抽取100支火炬進行質量檢查；③某班從50名同學中，選出5名數(shù)學成績最優(yōu)秀的同學代表本班參加數(shù)學競賽；④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．A．0B．1C．2D．3B[根據(jù)簡單隨機抽樣的特點逐個判斷．①不是簡單隨機抽樣．因為一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件它不是“逐個”抽?。诓皇呛唵坞S機抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”．③不是簡單隨機抽樣．因為5名同學是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求．④是簡單隨機抽樣．因為總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，等可能的抽樣．綜上，只有④是簡單隨機抽樣．]簡單隨機抽樣必須具備的特點(1)被抽取樣本的總體中的個體數(shù)N是有限的；(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的；(3)簡單隨機抽樣是一種等可能的抽樣．如果三個特征有一個不滿足，就不是簡單隨機抽樣．1．為了進一步嚴厲打擊交通違法，交警隊在某一路口隨機抽查司機是否酒駕，這種抽查是()A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)法 D．以上都不對D[由于不知道總體的情況(包括總體個數(shù))，因此不屬于簡單隨機抽樣．]抽簽法的應用【例2】從20架鋼琴中抽取5架進行質量檢查，請用抽簽法確定這5架鋼琴．[解]第一步，將20架鋼琴編號，號碼是01,02，…，20.第二步，將號碼分別寫在外觀、質地等無差別的小紙片上作為號簽．第三步，將小紙片放入一個不透明的盒里，充分攪勻．第四步，從盒中不放回地逐個抽取5個號簽，使與號簽上編號相同的鋼琴進入樣本．1．一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是制簽是否方便；二是個體之間差異不明顯．2．應用抽簽法時應注意的問題：(1)編號時，如果已有編號可不必重新編號；(2)號簽要求大小、形狀完全相同；(3)號簽要均勻攪拌；(4)根據(jù)實際需要采用有放回或無放回抽?。?．為迎接2022年北京冬奧會，奧委會現(xiàn)從報名的某高校30名志愿者中選取6人組成奧運志愿小組，請用抽簽法設計抽樣方案．[解](1)將30名志愿者編號，號碼分別是01,02，…，30；(2)將號碼分別寫在外觀、質地等無差別的小紙片上作為號簽．(3)將小紙片放入一個不透明的盒里，充分攪勻．(4)從盒中不放回地逐個抽取6個號簽，使與號簽上編號相同的志愿者進入樣本．隨機數(shù)法及其綜合應用[探究問題]1．某工廠有2000名工人，從中選取20人參加職工代表大會，采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣，是用抽簽法還是隨機數(shù)法？為什么？[提示]采用隨機數(shù)法，因為工人人數(shù)較大，制作號簽比較麻煩，所以決定用隨機數(shù)法．2．某工廠的質檢人員采用隨機數(shù)法對生產(chǎn)的100件產(chǎn)品進行檢查，若抽取10件進行檢查，應如何對100件產(chǎn)品編號？[提示]可對這100件產(chǎn)品編號為：001,002,003，…，100.【例3】某市質監(jiān)局要檢查某公司某個時間段生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取10袋進行檢驗，(1)利用隨機數(shù)法抽取樣本時，應如何操作？(2)如果用隨機試驗生成部分隨機數(shù)如下所示，據(jù)此寫出應抽取的袋裝牛奶的編號．(3)質監(jiān)局對該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶檢驗的質量指標有兩個：一是每袋牛奶的質量滿足500±5g，二是10袋質量的平均數(shù)≥500g，同時滿足這兩個指標，才認為公司生產(chǎn)的牛奶為合格，否則為不合格．經(jīng)過檢測得到10袋袋裝牛奶的質量(單位：g)為：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.計算這個樣本的平均數(shù)，并按照以上標準判斷牛奶質量是否合格．[解](1)第一步，將500袋牛奶編號為001,002，…，500.第二步，用隨機數(shù)工具產(chǎn)生1～500范圍內的隨機數(shù)．第三步，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，使編號對應的袋裝牛奶進入樣本．第四步，重復上述過程，直到產(chǎn)生不同的編號等于樣本所需要的數(shù)量．(2)應抽取的袋裝牛奶的編號為：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068.(3)eq\x\to(y)＝eq\f(502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋499,10)＝499.8＜500，所以該公司的牛奶質量不合格．1．該公司對質監(jiān)部門的這種檢驗方法并不認可，公司自己質檢部門抽取了100袋牛奶按照本例(3)檢驗標準，統(tǒng)計得到這100袋袋裝牛奶的質量都滿足500±5g，平均數(shù)為500.4g，你認為質監(jiān)局和公司的檢驗結果哪一個更可靠？為什么？[解]該公司的質檢部門的檢驗結果更可靠．因為質監(jiān)局抽取的樣本較少，不能很好地反映總體，該公司的質檢部門抽取的樣本量較大，一般來說，樣本量大的會好于樣本量小的．尤其是樣本量不大時，增加樣本量可以較好地提高估計的效果．2．為進一步加強公司生產(chǎn)牛奶的質量，規(guī)定袋裝牛奶的質量變量值為Yi＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，質量不低于500g,0，質量低于500g))，公司質監(jiān)部門又抽取了一個容量為50的樣本，其質量變量值如下：11101111001010101010111101011100010101001001010101據(jù)此估計該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質量不低于500g的比例．[解]由樣本觀測數(shù)據(jù)，計算可得樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)＝0.56，據(jù)此估計該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質量不低于500g的比例約為0.56.隨機數(shù)法的注意點(1)當總體容量較大，樣本容量不大時，可用隨機數(shù)法抽取樣本．(2)用隨機數(shù)法抽取樣本，為了方便，在編號時需統(tǒng)一編號的位數(shù)．(3)掌握利用信息技術產(chǎn)生隨機數(shù)的方法和規(guī)則．1．要判斷所給的抽樣方法是不是簡單隨機抽樣，關鍵是看它們是否符合簡單隨機抽樣的定義，即簡單隨機抽樣的四個特點：總體有限、逐個抽取、無放回抽取、等可能抽?。?．一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看總體和樣本的容量是否較少．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)抽簽法和隨機數(shù)法都適用于總體容量和樣本容量較小時的抽樣．()(2)利用隨機數(shù)法抽取樣本時，選定的初始數(shù)是任意的，但讀數(shù)的方向只能是從左向右讀．()(3)利用隨機數(shù)法抽取樣本時，若一共有總體容量為100，則給每個個體分別編號為1,2,3，…，100.()[提示](1)正確．(2)錯誤．讀數(shù)的方向也是任意的．(3)錯誤．應編號為00,01,02，…，99.[答案](1)√(2)×(3)×2．抽簽法確保樣本代表性的關鍵是()A．制簽 B．攪拌均勻C．逐一抽取 D．抽取不放回B[若樣本具有很好的代表性，則每一個個體被抽取的機會相等，故需要對號簽攪拌均勻．]3．在總體為N的一批零件中抽取一個容量為30的樣本，若每個零件被抽取的可能性為25%，則N的值為．120[據(jù)題意eq\f(30,N)＝0.25，故N＝120.]4．某大學要去貧困地區(qū)參加支教活動，需要從每班選10名男生，8名女生參加，某班有男生32名，女生28名，試用抽簽法確定該班參加支教活動的同學．[解]第一步，將32名男生從0到31進行編號．第二步，用相同的小紙片制成32個號簽，在每個號簽上寫上這些編號．第三步，將寫好的號簽放在一個不透明的容器內搖勻，不放回地從中逐個抽出10個號簽．第四步，相應編號的男生參加支教活動．第五步，用相同的辦法從28名女生中選出8名，則此8名女生參加支教活動．9.1.2分層隨機抽樣學習目標核心素養(yǎng)1.通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍．(重點)2．了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．(重點，難點)3.結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值．(重點)1.通過對分層隨機抽樣的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過對分層隨機抽樣的應用，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【自主預習】1．分層隨機抽樣的相關概念(1)分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．2．樣本平均數(shù)的計算公式在分層隨機抽樣中，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則樣本的平均數(shù)eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).思考1：分層隨機抽樣的總體具有什么特性？[提示]分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體．思考2：簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：簡單隨機抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層隨機抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本．聯(lián)系：(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣．1．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調查樹苗的生長情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為()A．30 B．25C．20 D．15C[樣本中松樹苗為4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]2．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查．這種抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣B．抽簽法C．隨機數(shù)表法D．分層隨機抽樣D[從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機抽樣．]3．某學院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學生，為了調查這些學生勤工儉學的情況，擬采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學院的A專業(yè)有380名學生，B專業(yè)有420名學生，則在該學院的C專業(yè)應抽取名學生．40[C專業(yè)的學生有1200－380－420＝400(名)，由分層隨機抽樣原理，應抽取120×eq\f(400,1200)＝40(名)．]【合作探究】對分層隨機抽樣概念的理解【例1】(1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適()A．抽簽法法 B．隨機數(shù)法C．簡單隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個體數(shù)量相同(1)D(2)C[(1)總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣法．(2)保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。甝1．使用分層隨機抽樣的前提分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體，而層內個體間差異較小．2．使用分層隨機抽樣應遵循的原則(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；(2)分層隨機抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．1．下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學中抽取3人參加座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質量B[A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．]分層隨機抽樣的應用【例2】某學校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從教師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個體組合在一起構成所需樣本．分層隨機抽樣的步驟2．某一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關，問應采取什么樣的方法？并寫出具體過程．[解]因為疾病與地理位置和水土均有關系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應抽取的人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個樣本．分層隨機抽樣中的計算問題[探究問題]1．在分層隨機抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個體數(shù)？[提示]每層抽取的個體的個數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．2．在分層隨機抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關系？[提示]設總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本數(shù)為ni，則eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，這四者中，已知其中三個可以求出另外一個．【例3】(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機抽樣調查，假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)N為()A．101B．808C．1212D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取個個體．(3)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為．(1)B(2)20(3)6[(1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總人數(shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)∵A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層隨機抽樣應從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個)個體．(3)eq\x\to(ω)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.]在例3(2)中，A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20，則樣本的平均數(shù)為．20．5[由題意可知樣本的平均數(shù)為eq\x\to(ω)＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.]進行分層隨機抽樣的相關計算時，常用到的2個關系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．(3)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關系為：eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).1．對于分層隨機抽樣問題，常利用以下關系式求解：eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量).2．選擇抽樣方法的規(guī)律：(1)當總體和樣本量都較小時，采用抽簽法；當總體量較大，樣本量較小時，采用隨機數(shù)法；(2)當總體可以分為若干個層時，采用分層隨機抽樣．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法關鍵是看總體容量的大?。?)(2)分層隨機抽樣中，個體數(shù)量較少的層抽取的樣本數(shù)量較少，這是不公平的．()(3)從全班50名同學中抽取5人調查作業(yè)完成情況適合用分層隨機抽樣．()[提示](1)錯誤．在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法除看總體和樣本容量大小外，還要依據(jù)總體的構成情況．(2)錯誤．根據(jù)抽樣的意義，對每個個體都是公平的．(3)錯誤．適合用簡單隨機抽樣．[答案](1)×(2)×(3)×2．某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生的課業(yè)負擔情況，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．簡單隨機抽樣C．分層隨機抽樣 D．隨機數(shù)法C[根據(jù)年級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應為分層隨機抽樣．]3．甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層隨機抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應在這三校分別抽取學生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人B[先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故選B.]4．某大學為了了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層隨機抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取名學生．60[根據(jù)題意，應從一年級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]5．一批產(chǎn)品中有一級品100個，二級品60個，三級品40個，用分層隨機抽樣法從這批產(chǎn)品中抽取一個容量為20的樣本.請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]第一步，確定抽樣比，因為100＋60＋40＝200，所以eq\f(20,200)＝eq\f(1,10)，第二步，確定各層抽取的樣本數(shù)，一級品：100×eq\f(1,10)＝10，二級品：60×eq\f(1,10)＝6，三級品：40×eq\f(1,10)＝4.第三步：采用簡單隨機抽樣的方法，從各層分別抽取樣本．第四步，把抽取的個體組合在一起構成所需樣本．9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑學習目標核心素養(yǎng)1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調查、試驗設計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等．(重點)2．了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機性．(重點)1.通過對獲取數(shù)據(jù)的途徑的學習，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．2．在獲取數(shù)據(jù)的過程中，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).【自主預習】獲取數(shù)據(jù)的基本途徑獲取數(shù)據(jù)的基本途徑適用類型注意問題通過調查獲取數(shù)據(jù)對于有限總體問題，我們一般通過抽樣調查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的人為錯誤通過試驗獲取數(shù)據(jù)沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢嚴格控制實驗環(huán)境，通過精心的設計安排試驗，以提高數(shù)據(jù)質量通過觀察獲取數(shù)據(jù)自然現(xiàn)象要通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)通過查詢獲得數(shù)據(jù)眾多專家研究過，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲必須根據(jù)問題背景知識“清洗數(shù)據(jù)”，去偽存真思考1：利用統(tǒng)計報表和年鑒屬于那中獲取數(shù)據(jù)的途徑？[提示]屬于通過查詢獲取數(shù)據(jù)的途徑．思考2：要了解一種新型燈管的壽命，能通過觀察獲取數(shù)據(jù)嗎？[提示]不能，應該通過試驗獲取數(shù)據(jù)．1．下面問題可以用普查的方式進行調查的是()A．檢驗一批鋼材的抗拉強度B．檢驗海水中微生物的含量C．調查某小組10名成員的業(yè)余愛好D．檢驗一批汽車的使用壽命C[A不能用普查的方式調查，因為這種試驗具有破壞性；B用普查的方式無法完成；C可以用普查的方式進行調查；D該試驗具有破壞性，且需要耗費大量的時間，在實際生產(chǎn)中無法實現(xiàn)．]2．下列要研究的數(shù)據(jù)一般通過試驗獲取的是()A．某品牌電視機的市場占有率B．某電視連續(xù)劇在全國的收視率C．某校七年級一班的男女同學的比例D．某型號炮彈的射程D[選項D中某型號炮彈的射程一般通過試驗獲?。甝3．小明從網(wǎng)上查詢得到某貧困地區(qū)10戶居民家庭年收入(單位：萬元)如下所示：編號12345678910年收入1.21.31.82.04.61.70.92.11.01.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們認為有一個數(shù)據(jù)是不準確的，需要剔除，這個數(shù)據(jù)是．4．6[由于編號為5的數(shù)據(jù)為4.6，明顯高于其他數(shù)據(jù)，所以這個數(shù)據(jù)是不準確的．]【合作探究】獲取數(shù)據(jù)途徑的選擇【例1】(1)下列哪些數(shù)據(jù)一般是通過試驗獲取的()A．1988年濟南市的降雨量B．2019年新生兒人口數(shù)量C．某學校高一年級同學的數(shù)學測試成績D．某種特效中成藥的配方(2)“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡(FivehundredmetersApertureSphericalTelescope，簡稱FAST)，是具有我國自主知識產(chǎn)權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡．建造“中國天眼”的目的是()A．通過調查獲取數(shù)據(jù) B．通過試驗獲取數(shù)據(jù)C．通過觀察獲取數(shù)據(jù) D．通過查詢獲得數(shù)據(jù)(1)D(2)C[(1)某種特效中成藥的配方的數(shù)據(jù)只能通過試驗獲得．(2)“中國天眼”主要是通過觀察獲取數(shù)據(jù)．]選擇獲取數(shù)據(jù)的途徑的依據(jù)選擇獲取數(shù)據(jù)的途徑主要是根據(jù)所要研究問題的類型，以及獲取數(shù)據(jù)的難易程度．有的數(shù)據(jù)可以有多種獲取途徑，有的數(shù)據(jù)只能通過一種途徑獲取，選擇合適的方法和途徑能夠更好地提高數(shù)據(jù)的可靠性．1．要得到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的貧困人口數(shù)據(jù)，應采取的方法是()A．通過調查獲取數(shù)據(jù)B．通過試驗獲取數(shù)據(jù)C．通過觀察獲取數(shù)據(jù) D．通過查詢獲得數(shù)據(jù)A[某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的貧困人口數(shù)據(jù)屬于有限總體問題，所以可以通過調查獲取數(shù)據(jù)．]獲取數(shù)據(jù)途徑的方法的設計【例2】為了緩解城市的交通擁堵情況，某市準備出臺限制私家車的政策，為此要進行民意調查．某個調查小組調查了一些擁有私家車的市民，你認為這樣的調查結果能很好地反映該市市民的意愿嗎？[解](1)一個城市的交通狀況的好壞將直接影響著生活在這個城市中的每個人，關系到每個人的利益．為了調查這個問題，在抽樣時應當關注到各種人群，既要抽到擁有私家車的市民，也要抽到?jīng)]有私家車的市民．(2)調查時，如果只對擁有私家車的市民進行調查，結果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在調查時，要對生活在該城市的所有市民進行隨機地抽樣調查，不要只關注到擁有私家車的市民．在統(tǒng)計活動中，尤其是大型的統(tǒng)計活動，為避免一些外界因素的干擾，通常需要確定調查的對象、調查的方法與策略，需要精心設計前期的準備工作和收集數(shù)據(jù)的方法，然后對數(shù)據(jù)進行分析，得出統(tǒng)計推斷．2．一些期刊雜志社經(jīng)常會請一些曾經(jīng)高考落榜而在某方面的事業(yè)上取得成就的著名專家、學者，談他們對高考落榜的看法，這些名人所講的都是大同小異，不外乎“我也有過落榜的沮喪，但從長遠看，它有益于我的人生”，“我是因禍得福，落榜使我走了另一條成功之路”等等．小明據(jù)此得出一條結論，上大學不如高考落榜，他的結論正確嗎？[解]小明的結論是錯誤的，在眾多的高考落榜生中，走出另外一條成功之路的是少數(shù)，小明通過研究一些期刊雜志社報道過的一些成功人士就得出結論是片面的，因為他的抽樣不具有代表性．1．獲取數(shù)據(jù)的途徑一般有四種：調查，試驗，觀察和查詢．2．在應用以上四種方式獲取數(shù)據(jù)時，要清楚數(shù)據(jù)的類型，選擇適當?shù)墨@取方式．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)要了解一批節(jié)能燈的使用壽命，可以采用普查的方式．()(2)農(nóng)科院獲取小麥新品種的產(chǎn)量可以通過查詢獲取數(shù)據(jù)．()(3)普查獲取的資料更加全面、系統(tǒng)，抽樣調查更方便、快捷．()[提示](1)錯誤．因為試驗具有破壞性，所以不能采取普查方式．(2)錯誤．農(nóng)科院獲取小麥新品種的產(chǎn)量應該通過試驗獲取數(shù)據(jù)．(3)正確．[答案](1)×(2)×(3)√2．下列調查方式中，可用“普查”方式的是()A．調查某品牌電視機的市場占有率B．調查某電視連續(xù)劇在全國的收視率C．調查某校七年級一班的男女同學的比例D．調查某型號炮彈的射程[答案]C3．糧食安全是每一個國家必須高度關注的問題，在現(xiàn)有條件下，降雨量對糧食生產(chǎn)的影響是非常巨大的，某次降雨之后該地氣象臺播報說本次降雨量是該地有氣象記錄以來最大的一次，氣象臺獲取這些數(shù)據(jù)的途徑是()A．通過調查獲取數(shù)據(jù) B．通過試驗獲取數(shù)據(jù)C．通過觀察獲取數(shù)據(jù) D．通過查詢獲得數(shù)據(jù)C[該地的氣象記錄和本次的降雨量數(shù)據(jù)都是通過觀察獲取的．]4．為了了解我國電視機的銷售情況，小張在某網(wǎng)站上下載了下圖：(1)小張獲取數(shù)據(jù)的途徑是什么？(2)由圖可知，電視機的銷售總量在2012年達到最大值，你認為電視機銷售總量出現(xiàn)下滑的主要原因是什么？[解](1)小張獲取數(shù)據(jù)的途徑是通過查詢獲得數(shù)據(jù)．(2)結合我國的經(jīng)濟發(fā)展水平可知，從2012年開始，電視機銷售總量出現(xiàn)下滑的主要原因是市場的飽和．《9.2用樣本估計總體》復習教案9.2.1總體取值規(guī)律的估計學習目標核心素養(yǎng)1.理解并掌握統(tǒng)計圖表的畫法及應用．(重點、易混點)2．結合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律．(重點、難點)1.通過對統(tǒng)計圖表的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過應用統(tǒng)計圖表估計總體的取值規(guī)律，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【自主預習】1．畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)：當樣本容量不超過100時，常分成5～12組，為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”．(3)將數(shù)據(jù)分組．(4)列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率．其中頻數(shù)合計應是樣本容量，頻率合計是1.(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表示eq\f(頻率,組距).小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．各小長方形的面積和等于1.2．其它統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表主要應用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢思考1：為什么要對樣本數(shù)據(jù)進行分組？[提示]不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計算出頻率，從而估計總體的分布特征．思考2：頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同？[提示]頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù)，而頻率分布直方圖則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．1．把過期的藥品隨意丟棄，會造成對土壤和水體的污染，危害人們的健康．如何處理過期藥品，有關機構隨機對若干家庭進行調查，調查結果如圖，其中對過期藥品處理不正確的家庭達到()A．79%B．80%C．18%D．82%D[79%＋1%＋2%＝82%.]2．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內的頻數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50B[樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.]3．某班計劃開展一些課外活動，全班有40名學生報名參加，他們就乒乓球、足球、跳繩、羽毛球4項活動的參加人數(shù)做了統(tǒng)計，繪制了條形統(tǒng)計圖(如圖所示)，那么參加羽毛球活動的人數(shù)的頻率是．0．1[參加羽毛球活動的人數(shù)是4，則頻率是eq\f(4,40)＝0.1.]【合作探究】頻率分布直方圖的畫法【例1】一個農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況，在一塊試驗田里抽取了100株麥穗，量得長度如下(單位：cm)：6．56.46.75.85.95.95.24.05.44.65．85.56.06.55.16.55.35.95.55.86．25.45.05.06.86.05.05.76.05.56．86.06.35.55.06.35.26.07.06.46．45.85.95.76.86.66.06.45.77.46．05.46.56.06.85.86.36.06.35.65．36.45.76.76.25.66.06.76.76.05．66.26.15.36.26.86.64.75.75.75．85.37.06.06.05.95.46.05.26.06．35.76.86.14.55.66.36.05.86.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計在這塊試驗田里長度在5.75～6.35cm之間的麥穗所占的百分比．[解](1)計算極差：7.4－4.0＝3.4.(2)決定組距與組數(shù)：若取組距為0.3，因為eq\f(3.4,0.3)≈11.3，需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0.3，組數(shù)為12.(3)決定分點：使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點稍微減小一點，那么所分的12個小組可以是3.95～4.25，4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.(4)列頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合計1001.00(5)繪制頻率分布直方圖如圖．從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75～6.35之間的頻率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估計，在這塊試驗田里長度在5.75～6.35cm之間的麥穗約占41%.繪制頻率分布直方圖應注意的問題(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法是“以一個恰當?shù)膯挝婚L度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“eq\f(頻率,組距)”所占的比例來定高．如我們預先設定以“”為1個單位長度，代表“0.1”，則若一個組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個單位長度)，如此類推．(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個左右時，應分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.1．如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機抽樣得出的120人的身高(單位：cm)．區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人數(shù)201165(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的百分比．[解](1)樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合計1201.00(2)其頻率分布直方圖如下：(3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的19%.頻率分布直方圖的應用【例2】為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？[解](1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因為第二小組的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由頻率分布直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.頻率分布直方圖的性質(1)因為小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內的頻率大?。?2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.(3)樣本容量＝頻數(shù)/相應的頻率．2．某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A．56B．60C．120D．140D[由頻率分布直方圖可知每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為0.7×200＝140.故選D.]其它統(tǒng)計圖表與頻率分布直方圖的綜合應用[探究問題]1．統(tǒng)計圖表對于數(shù)據(jù)分析能夠起到什么作用？[提示](1)從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息；(2)直觀、準確地理解相關的結果．2．條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖這四種統(tǒng)計圖中，哪些可以從圖中看出原始數(shù)據(jù)？[提示]折線圖．【例3】如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，試根據(jù)折線統(tǒng)計圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統(tǒng)計圖．[解]該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表：日期12345678910最低氣溫(℃)－3－20－1120－122其中最低氣溫為－3℃的有1天，占10%，最低氣溫為－2℃的有1天，占10%，最低氣溫為－1℃的有2天，占20%，最低氣溫為0℃的有2天，占20%，最低氣溫為1℃的有1天，占10%，最低氣溫為2℃的有3天，占30%，扇形統(tǒng)計圖如圖所示．若本例中條件不變，繪制該市3月1日到3月10日最低氣溫(單位：℃)的條形統(tǒng)計圖．[解]該城市3月1日到3月10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表：日期12345678910最低氣溫(℃)－3－20－1120－122其中最低氣溫為－3℃的有1天，最低氣溫為－2℃的有1天，最低氣溫為－1℃的有2天，最低氣溫為0℃的有2天，最低氣溫為1℃的有1天，最低氣溫為2℃的有3天．條形統(tǒng)計圖如圖所示．折線統(tǒng)計圖的讀圖方法(1)讀折線統(tǒng)計圖時，首先要看清楚直角坐標系中橫、縱坐標表示的意義；其次要明確圖中的數(shù)量及其單位．(2)在折線統(tǒng)計圖中，從折線的上升、下降可分析統(tǒng)計數(shù)量的增減變化情況，從陡峭程度上，可分析數(shù)據(jù)間相對增長、下降的幅度．1．樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況．2．條形統(tǒng)計圖及折線統(tǒng)計圖特別適用于數(shù)據(jù)量很大的情況，但卻損失了數(shù)據(jù)的部分信息．扇形統(tǒng)計圖適合表示總體的各個部分所占比例的問題，但不適用于總體分成部分較多的問題．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值．()(2)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個體數(shù)．()(3)扇形統(tǒng)計圖表示的是比例，條形統(tǒng)計圖不表示比例．()[提示](1)正確．(2)錯誤．頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率．(3)錯誤．條形圖也可以表示．[答案](1)√(2)×(3)×2．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出(單位：元)在[50,60]內的學生有30人，則n的值為()A．100 B．1000C．90 D．900A[由題意可知，前三組的頻率之和為(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50,60]內的頻率為1－0.7＝0.3，∴n＝eq\f(30,0.3)＝100.]3．甲、乙兩個城市2018年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計圖如圖所示，則這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的是城市．(填“甲”或“乙”)甲[這9天里，乙城市的最高氣溫約為35℃，最低氣溫約為20℃；甲城市的最高氣溫約為25℃，最低氣溫約為21℃.故甲城市氣溫較穩(wěn)定．]9.2.2總體百分位數(shù)的估計學習目標核心素養(yǎng)1.結合實例，能用樣本估計百分位數(shù)．(重點)2．理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義．(重點、難點)1.通過對百分位數(shù)概念的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過計算樣本的百分位數(shù)，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).【自主預習】1．第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．四分位數(shù)25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．思考：(1)班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？(2)“這次數(shù)學測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？[提示](1)不是．是指能夠考取本科院校的同學占同學總數(shù)的百分比．(2)有70%的同學數(shù)學測試成績在小于或等于85分．1．下列關于一組數(shù)據(jù)的第50分位數(shù)的說法正確的是()A．第50分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于它的可能性一定是50%C．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)據(jù)D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)A[由百分位數(shù)的意義可知選項B，C，D錯誤．]2．數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是．8．4[因為8×30%＝2.4，故30%分位數(shù)是第三項數(shù)據(jù)8.4.]3．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為．eq\f(100,9)[樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08＋0.32＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40＋0.36＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在[10,14]內，估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9).]【合作探究】百分位數(shù)的計算【例1】從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質量(單位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù)．(2)請你找出珍珠質量較小的前15%的珍珠質量．(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標準．[解](1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，則第25百分位數(shù)是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，第75百分位數(shù)是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，第95百分位數(shù)是第12個數(shù)據(jù)為9.9.(2)因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個數(shù)據(jù)為7.9.即產(chǎn)品質量較小的前15%的產(chǎn)品有2個，它們的質量分別為7.8,7.9.(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g，第50百分位數(shù)為8.5g,第95百分位數(shù)是9.9，所以質量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠為優(yōu)等品，質量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)計算i：計算i＝n×p%；(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學競賽決賽的15人的成績：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，則這15人成績的第80百分位是()A．90B．90.5C．91D．91.5B[把成績按從小到大的順序排列為：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因為15×80%＝12，所以這15人成績的第80百分位是eq\f(90＋91,2)＝90.5.]百分位數(shù)的綜合應用[探究問題]1．第p百分位數(shù)有什么特點？[提示]總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.2．某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎？為什么？[提示]不一定．因為按照計算第p百分位數(shù)的步驟，第2步計算所得的i＝n×p%如果是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，若第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)不相等，則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在．【例2】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費．(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關于月用電量x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式．(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占80%，求a，b的值．(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的75%分位數(shù)．[解](1)當0≤x≤200時，y＝0.5x；當200<x≤400時，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；當x>400時，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，當y＝260時，x＝400，即用電量不超過400千瓦時的占80%，結合頻率分布直方圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8,100a＋0.0005×100＝0.2))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)設75%分位數(shù)為m，因為用電量低于300千瓦時的所占比例為(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用電量不超過400千瓦時的占80%，所以75%分位數(shù)為m在[300,400)內，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦時，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時．根據(jù)例2的(2)題中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的15%分位數(shù)．[解]設15%分位數(shù)為x，因為用電量低于100千瓦時的所占比例為0.001×100＝10%，用電量不超過200千瓦時的占30%，所以15%分位數(shù)為x在[100,200)內，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125千瓦時，即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時．根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算，其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應用方程的思想方法，設出百分位數(shù)，解方程可得．求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時，掌握其步驟：①按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；②計算i＝n×p%；③若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其第75%分位數(shù)大于第25%分位數(shù)．()(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.()(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.()[提示](1)正確．(2)錯誤．若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)小于或等于23.(3)正確．[答案](1)√(2)×(3)√2．下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5A[把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù)．]3．已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是()A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)C[因為100×75%＝75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，選C.]9.2.3總體集中趨勢的估計學習目標核心素養(yǎng)1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)．(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．(重點、難點)2.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．(重點、難點)1.通過對函數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計總體的集中趨勢，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng).【自主預習】1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應的數(shù)據(jù)．思考1：中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎？[提示]不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．思考2：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個？中位數(shù)是否也具有相同的結論？[提示]一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，中位數(shù)只有唯一一個．1．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．14,14 B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5A[把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.]2．某校從高一年級參加期末考試的學生中抽出60名，其成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計此次考試成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是()A．73.3,75 B．73.3,80C．70,70 D．70，75A[由題圖可知小于70分的有24人，大于80分的有18人，則在[70,80)之間的有18人，所以中位數(shù)落在[70,80)這組內，且為70＋eq\f(10,3)≈73.3；眾數(shù)就是頻率分布直方圖中最高的矩形底邊中點的橫坐標，即eq\f(70＋80,2)＝75.]3．已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．6[eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.]【合作探究】平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.](1)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時，把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，按照其求法進行．(2)求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點在于計算的準確性．1．某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分C[由題意知，該學習小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87.]平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應用【例2】下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表：老板大廚二廚采購員雜工服務生會計3000元450元350元400元320元320元410元(1)計算所有人員的周平均收入；(2)這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？[解](1)周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．這能代表打工人員的周收入水平．利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．2．某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？[解](1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差.根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)[探究問題]1．頻率分布直方圖中每個小矩形的面積代表什么？[提示]頻率分布直方圖中每個小矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這一組的頻率．2．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數(shù)和中位數(shù)？[提示]在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應的數(shù)據(jù)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．【例3】某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)．[思路探究](1)最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；(2)判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，設出中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的左右兩邊的頻率相等列出方程求解．[解](1)由題干圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由題干圖知，設中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.1．若例3的條件不變，求數(shù)學成績的平均分．[解]由題干圖知這次數(shù)學成績的平均數(shù)為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.2．若例3條件不變，求80分以下的學生人數(shù)．[解][40,80)分的頻率為：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的學生人數(shù)為80×0.7＝56.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數(shù)的值．(3)平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計平均數(shù)時，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以每個小矩形底邊中點的橫坐標之和．1．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，中位數(shù)是唯一的，求中位數(shù)時，必須先排序．2．利用直方圖求數(shù)字特征：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點．(2)中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應相等．(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的．()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應的數(shù)據(jù)．()(3)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變．()[提示](1)錯誤．一個樣本的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的．若數(shù)據(jù)中有兩個或兩個以上出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)次數(shù)一樣多，則這些數(shù)據(jù)都是眾數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)，可見一個樣本的眾數(shù)可能多個，也可能沒有．(2)錯誤．樣本的平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和．(3)錯誤．若改變一組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會改變，而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變．[答案](1)×(2)×(3)×2．一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值為()A．4.55B．4.5C．12.5D．1.64A[由條件得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,11)(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.]3．下列數(shù)字特征一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的是()A．眾數(shù) B．中位數(shù)C．平均數(shù) D．都不會A[眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．]4．某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一參賽學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學生的平均成績．[解](1)用頻率分布直方圖中最高矩形所在的區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為65，又∵第一個小矩形的面積為0.3，設第二個小矩形底邊的一部分長為x，則x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成績約為67分．9.2.4總體離散程度的估計學習目標核心素養(yǎng)1.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)