第4章 直線與角（易錯(cuò)必刷30題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

第4章直線與角（易錯(cuò)必刷30題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．點(diǎn)、線、面、體（共2小題）1．（2022秋?靈璧縣校級(jí)期中）如圖，下面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【分析】通過(guò)空間想象判斷旋轉(zhuǎn)后的幾何體形狀．【解答】解：平面圖形上部旋轉(zhuǎn)后形成圓錐，下部旋轉(zhuǎn)后得到圓柱體．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查認(rèn)識(shí)幾何體，發(fā)揮空間想象能力是求解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?碭山縣校級(jí)月考）如圖①，把一張長(zhǎng)10厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形紙板分成甲、乙兩個(gè)相同的直角三角形．（1）將甲三角形繞軸（如圖②）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？它的體積是多少立方厘米（π取3.14，下同）？（2）將乙三角形繞軸（如圖③）旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體，求該幾何體的體積．【分析】（1）根據(jù)題意可得，分成的直角三角形的兩條直角邊分別是10厘米、6厘米，以較長(zhǎng)邊10厘米為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的是一個(gè)圓錐，底面半徑是6厘米，高是10厘米，據(jù)此利用圓錐的體積公式計(jì)算即可解答．（2）根據(jù)題意可得，所形成的幾何體的體積＝底面半徑是6厘米高是10厘米的圓柱體積﹣底面半徑是6厘米高是10厘米的圓錐體積，據(jù)此利用圓柱和圓錐的體積公式計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）根據(jù)題干分析可得：以其中一個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊所在直線為軸，將紙板快速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以形成一個(gè)圓錐，它的體積是×3.14×62×10，＝3.14×12×10，＝376.8（立方厘米）；（2）根據(jù)題干分析可得：乙三角形（如圖③）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)空心的圓柱．體積為：3.14×62×10﹣×3.14×62×10＝3.14×360﹣3.14×120＝3.14×240＝753.6（立方厘米）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓柱和圓錐的體積公式的計(jì)算應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)后的圓柱和圓錐體的底面半徑和高．二．幾何體的展開(kāi)圖（共1小題）3．（2022秋?宣城期末）某立體圖形的表面展開(kāi)圖如圖所示，這個(gè)立體圖形是（）A． B． C． D．【分析】利用立體圖形及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題．【解答】解：四個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，是四棱錐的組成，所以該立體圖形的名稱為四棱錐．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，熟練掌握常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖的特征，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．三．展開(kāi)圖折疊成幾何體（共1小題）4．（2022秋?淮南期末）下面四個(gè)圖形中，經(jīng)過(guò)折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖中三角形，圓，正方形所處的位置關(guān)系即可直接選出答案．【解答】解：根據(jù)立體圖形可得，展開(kāi)圖中三角形圖案的頂點(diǎn)應(yīng)與圓形的圖案相對(duì)，而選項(xiàng)A，D與此不符，所以錯(cuò)誤；三角形圖案所在的面應(yīng)與圓形的圖案所在的面相鄰，而選項(xiàng)C與此也不符，正確的是B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了展開(kāi)圖折疊成幾何體，同學(xué)們可以動(dòng)手折疊一下，有助于空間想象力的培養(yǎng)．四．截一個(gè)幾何體（共5小題）5．（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期末）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面形狀為三角形，則這個(gè)幾何體可能為（）①正方體；②圓柱；③圓錐；④三棱柱．A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①②【分析】用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，根據(jù)截面的形狀即可得出結(jié)論．【解答】解：①正方體截去一個(gè)角，截面為三角形，符合題意；②圓柱的截面不能是三角形，不符合題意；③圓錐沿著中軸線截開(kāi)，截面就是三角形，符合題意；④三棱柱從平行于底面的方向截取，截面即為三角形，符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了截一個(gè)幾何體，根據(jù)已知得出圓柱三視圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．6．（2022秋?碭山縣校級(jí)期中）下列幾何體中，截面形狀不可能是圓的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)每一個(gè)幾何體的截面形狀，即可判斷．【解答】解：因?yàn)閳A錐、圓柱、球的截面都可能是圓，三棱柱的截面只可能是多邊形，不可能是圓，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握每一個(gè)幾何體的截面形狀是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?泗縣期中）用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱柱，不能得到的截面形狀是（）A．等邊三角形 B．長(zhǎng)方形 C．梯形 D．六邊形【分析】根據(jù)平面截三棱柱的不同角度與位置判斷相應(yīng)截面形狀即可．【解答】解：用平面去截一個(gè)三棱柱，其截面的形狀共有四種，分別為：矩形、三角形、梯形、五邊形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了截一個(gè)幾何體的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解截面經(jīng)過(guò)三棱柱的幾個(gè)面，得到的截面形狀就是幾邊形；經(jīng)過(guò)截面相同，經(jīng)過(guò)位置不同，得到的形狀也不相同．8．（2022秋?靈璧縣期中）如圖，該幾何體的截面形狀是（）A．三角形 B．長(zhǎng)方形 C．圓形 D．五邊形【分析】根據(jù)題意，用一個(gè)面截一個(gè)長(zhǎng)方體，截面與底面平行，得到截面形狀是長(zhǎng)方形．【解答】解：觀察圖形，截面與底面平行，得到截面形狀是長(zhǎng)方形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了截一個(gè)幾何體，要知道截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．要利用本題中截面的特殊性求解．對(duì)空間思維能力有較高的要求．9．（2022秋?碭山縣校級(jí)月考）如圖所示，用一個(gè)平面截六棱柱，剩下的幾何體（陰影部分）是六棱柱，共有8個(gè)面．【分析】根據(jù)圖形即可解答．【解答】解：如上圖所示，用一個(gè)平面截六棱柱，剩下的幾何體（陰影部分）是六棱柱，共有8個(gè)面，故答案為：六棱柱；8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握六棱柱的特征是解題的關(guān)鍵．五．直線、射線、線段（共1小題）10．（2022秋?蚌山區(qū)校級(jí)月考）下列四幅圖中，射線PA與射線PB是同一條射線的為（）A． B． C． D．【分析】表示射線可以用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，端點(diǎn)在前．【解答】解：A．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．射線PA和射線PB是同一條射線，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D．射線PA和射線PB不是同一條射線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了射線的表示方法，關(guān)鍵是要注意射線用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．六．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短（共1小題）11．（2021秋?烈山區(qū)期末）修路時(shí)，通常把彎曲的公路改直，這樣可以縮短路程，其根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間線段最短．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，解答即可．【解答】解：由線段的性質(zhì)可知：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線段最短．七．兩點(diǎn)間的距離（共2小題）12．（2021秋?明光市校級(jí)月考）已知A、B、C在同一條直線上，且AB＝12cm，BC＝4cm，其中點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．【分析】分類討論點(diǎn)C在AB上，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，根據(jù)線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BM、BN的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：（1）點(diǎn)C在線段AB上，如：點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，MB＝AB＝6，BN＝CB＝2，MN＝BM﹣BN＝6﹣2＝4cm；（2）點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，如：點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，MB＝AB＝6，BN＝CB＝2，MN＝MB+BN＝6+2＝8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題關(guān)鍵，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，可得出答案．13．（2021秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）點(diǎn)A、B、C所表示的數(shù)如圖所示，回答下列問(wèn)題：（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是多少？（2）若將線段BC向右移動(dòng)，使B點(diǎn)和A點(diǎn)重合，此時(shí)C點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【分析】（1）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可得到A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）依據(jù)BC的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)表示的數(shù)．【解答】解：（1）由圖可得，A、B兩點(diǎn)間的距離是|2﹣（﹣）|＝；（2）由題可得，BC＝|﹣﹣（﹣3）|＝，當(dāng)B點(diǎn)和A點(diǎn)重合時(shí)，C點(diǎn)表示的數(shù)是2﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點(diǎn)能求出兩點(diǎn)間的距離．八．比較線段的長(zhǎng)短（共1小題）14．（2022秋?蚌山區(qū)校級(jí)月考）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC＝4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【分析】本題應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，即當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，則MN＝AC+BC＝AB＝5cm；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm．綜合上述情況，線段MN的長(zhǎng)度是5cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】首先要根據(jù)題意，考慮所有可能情況，畫(huà)出正確圖形．再根據(jù)中點(diǎn)的概念，進(jìn)行線段的計(jì)算．九．鐘面角（共1小題）15．（2021秋?埇橋區(qū)期末）時(shí)鐘在14點(diǎn)30分時(shí)，這時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為105°．【分析】由360除以12求出一格的度數(shù)，根據(jù)時(shí)鐘14點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針夾角占3.5格，即可求出夾角度數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意得：360÷12×3.5＝105°，則時(shí)鐘14點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)是105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了鐘面角，計(jì)算鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時(shí)刻分針與時(shí)針?biāo)幍奈恢?，確定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù)．一十．方向角（共2小題）16．（2022秋?安徽期末）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B表示兩個(gè)碼頭，點(diǎn)C表示海面上一只船，下列方位描述正確的是（）A．碼頭B在碼頭A西偏南50°方向 B．碼頭B在碼頭A北偏東50°方向 C．船C在碼頭A東偏南60°方向 D．船C在碼頭A西偏南80°方向【分析】根據(jù)方向角的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、碼頭B在碼頭A南偏西50°方向，故A不符合題意；B、碼頭B在碼頭A南偏西50°方向，故B不符合題意；C、船C在碼頭A東偏南60°方向，故C符合題意；D、船C在碼頭A南偏東30°方向，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2022?杜集區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖可看出書(shū)店在學(xué)校的（）方向上．A．東偏北25° B．北偏東25° C．西偏南65° D．南偏西65°【分析】根據(jù)方向角的定義，即可解答．【解答】解：如上圖可看出書(shū)店在學(xué)校的東偏北25°方向上，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．一十一．角平分線的定義（共3小題）18．（2021秋?桐城市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，過(guò)O作射線OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（）A．5 B．4 C．5或23 D．4或22【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)直線ON恰好平分銳角∠AOC，得到三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，進(jìn)而得到t的值．【解答】解：∵∠BOC＝100°，∴∠AOC＝80°，當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC時(shí)，如圖：∠BON＝∠AOC＝40°，此時(shí)，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90°﹣40°＝50°，∴t＝50°÷10°＝5；當(dāng)ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，如圖：三角板旋轉(zhuǎn)的角度為360°﹣90°﹣40°＝230°，∴t＝230°÷10°＝23；∴t的值為：5或23．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．19．（2021秋?安慶期末）已知：點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)∠AOD是直角時(shí)，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度數(shù)；（2）若∠COD保持在（1）中的大小不變，它繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（OD與OB重合即停止），如圖2，OE、OF分別平分∠AOC、∠BOD，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠EOF的大小是否變化？若不變，求出∠EOF的大??；若改變，說(shuō)明理由．【分析】（1）先求出角∠BOD，再根據(jù)3∠AOC＝∠BOD，即可求出∠COD；（2）根據(jù)角平分線的定義和平角的定義可以求出∠COE+∠DOF，再代入∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD即可．【解答】解：（1）∵∠AOD是直角，∴∠AOD＝90°＝∠BOD，且3∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝30°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°；（2）不會(huì)變化，理由如下：∵OE、OF分別平分∠AOC、∠BOD，∴∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，∵∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD，∴∠COE+∠DOF＝（180°﹣∠COD）＝90°﹣∠COD，∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝90°﹣∠COD+∠COD＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，角的和差倍分的關(guān)系，根據(jù)圖形得出角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．（2021秋?巢湖市期末）如圖1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射線OB在∠COD內(nèi)部，OE，OF分別是∠BOD，∠AOC的平分線．（1）如圖1，若OB是∠COD的平分線，求∠AOF的度數(shù)；（2）如圖1，求∠EOF的度數(shù)；（3）若改變∠COD的位置變化，如圖2，當(dāng)∠COD在直線AB的上方時(shí)，如圖3，當(dāng)射線OA在∠COD內(nèi)部時(shí)，如圖4，當(dāng)∠COD在直線AB的下方時(shí)，∠EOF的度數(shù)發(fā)生變化嗎？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EOF的度數(shù)；若不確定，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由OB是∠COD的平分線，則∠BOC＝∠BOD＝45°，由此得出∠AOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得出∠AOF的度數(shù)．（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝180°﹣x°，由角平分線的性質(zhì)表示出∠COF和∠BOE，根據(jù)∠EOF＝∠FOC+∠BOC+∠BOE即可求出結(jié)果．（3）如圖2，設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝180°﹣x°，由角平分線的性質(zhì)表示出∠COF和∠BOE，根據(jù)∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF即可求出結(jié)果．如圖3，設(shè)∠AOC＝x°，則∠AOD＝90°﹣x°，∠BOD＝90°+x°，由角平分線的性質(zhì)表示出∠COF和∠BOE，根據(jù)∠EOF＝∠FOC+∠AOD+∠EOD即可求出結(jié)果．如圖4，設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝180°﹣x°，由角平分線的性質(zhì)表示出∠COF和∠BOE，根據(jù)∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠AOC＝67.5°；（2）設(shè)∠AOC為x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC＝∠AOC＝x°．∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣x°．∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝x°﹣90°．∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝（x°﹣90°）＝x°﹣45°．∴∠EOF＝∠FOC+∠BOC+∠BOE＝x°+（180°﹣x°）+（x°﹣45°）＝135°．（3）如圖2，設(shè)∠AOC為x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC＝∠AOC＝x°．∵∠COD＝90°，∴BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝90°﹣x°．∵OE平分∠BOD，∴∠EOD＝∠BOD＝（90°﹣x°）＝45°﹣x°．∴∠EOF＝∠FOC+∠COD+∠EOD＝x°+90°+（45°﹣x°）＝135°；如圖3，設(shè)∠AOC為x°．∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣x°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝90°+x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC＝∠AOC＝x°．∵OE平分∠BOD，∴∠EOD＝∠BOD＝（90°+x°）＝45°+x°．∴∠EOF＝∠FOC+∠AOD+∠EOD＝x°+90°﹣x°+（45°+x°）＝135°；如圖4，∠EOF＝45°，理由如下：設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝180﹣x°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝270°﹣x°，∵OE，OF分別是∠BOD，∠AOC的平分線，∴∠AOF＝∠AOC＝x°，∠BOE＝∠BOD＝（270°﹣x°）＝135°﹣x°，∴∠EOF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOE＝180°﹣x°﹣（135°﹣x°）＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，角度互補(bǔ)和互余的性質(zhì)．一十二．角的計(jì)算（共5小題）21．（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖所示，∠DCE＝90°，CF、CH、CG分別平分∠ACD，∠BCD，∠BCE，下列結(jié)論：①∠DCF+∠BCH＝90°，②∠FCG＝135°，③∠ECF+∠GCH＝180°，④∠DCF﹣∠ECG＝45°．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的意義，互為余角、互為補(bǔ)角的意義逐個(gè)進(jìn)行判斷，最后得出答案做出選擇．【解答】解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD＝∠ACD，∠DCH＝∠HCB＝DCB，∠BCG＝∠ECG＝∠BCE，∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°，故②正確；∴∠DCF+∠BCH＝90°，故①正確；∴∠FCG+∠HCG＝180°，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠BCG＝α，則∠ECG＝α，∴∠BCH＝45°﹣α，∴∠ACF＝∠DCF＝45°+α，∴∠DCF﹣∠ECG＝45°，故④正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余角和補(bǔ)角，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．22．（2022秋?潁州區(qū)期末）已知∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC＝20°，再作∠AOC的平分線OD，則∠AOD的度數(shù)為20°或40°．【分析】考慮線段OC在角的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，每一種情況都用角的定義和角平分的定義求解，經(jīng)計(jì)算結(jié)果為20°或40°．【解答】解：（1）當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：∵∠BOC＝20°，∠AOB＝60°，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝60°﹣20°＝40°，又∵OD是∠AOC的平分線，∴∠AOD＝∠COD＝＝20°；（2）當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖2所示：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，∴AOC＝80°，又∵OD是∠AOC的平分線，∴∠AOD＝∠COD＝＝40°；綜合所述∠AOD的度數(shù)有兩個(gè)，故答案為20°或40°．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合了角平分線定義和角的和差知識(shí)，重點(diǎn)掌握角的計(jì)算，難點(diǎn)是用分類計(jì)算角的大小，易掉角的外部這一種情況．23．（2021秋?南譙區(qū)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC、OD是從點(diǎn)O引出的兩條射線，OE平分∠AOC，∠BOC：∠AOE：∠AOD＝2：4：7，求∠BOD的度數(shù)．【分析】先利用角平分線的定義可得∠AOE＝∠COE，從而結(jié)合已知可得∠BOC：∠AOE：∠COE＝1：2：2，然后利用平角定義可得∠BOC＝36°從而求出∠AOD＝126°，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠BOC：∠AOE＝2：4＝1：2，∴∠BOC：∠AOE：∠COE＝1：2：2，∵∠BOC+∠AOE+∠COE＝180°，∴，∵∠BOC：∠AOD＝2：7，∴∠AOD＝×7＝126°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣126°＝54°，∴∠BOD的度數(shù)為54°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．24．（2021秋?定遠(yuǎn)縣期末）已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON如圖所示放置，且直角頂點(diǎn)在O處，在∠MON內(nèi)部作射線OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，則∠AOM＝20度；（2）若∠BON＝2∠CON，則∠AOM＝45度．【分析】（1）根據(jù)已知易得∠MOC＝80°，再利用角平分線的定義可得∠BOM＝2∠MOC＝160°，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)已知可得∠BOC＝3∠CON，從而利用角平分線的定義可得∠MOC＝∠BOC＝3∠CON，進(jìn)而根據(jù)∠MON＝90°，可得∠BON＝2∠CON＝45°，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠CON＝80°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°，故答案為：20；（2）∵∠BON＝2∠CON，∴∠BOC＝3∠CON，∵OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠CON，∵∠MON＝90°，∴∠MOC+∠CON＝90°，∴4∠CON＝90°，∴2∠CON＝45°，∴∠BON＝2∠CON＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?安慶期末）如圖，已知A，O，E三點(diǎn)在同一條直線上．（1）若OB平分∠AOC，OD平分∠COE，試求∠BOD的度數(shù)；（2）若OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE＝90°，試判斷∠COD與∠DOE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義推角的關(guān)系，再根據(jù)A，O，E三點(diǎn)在同一條直線上，推∠AOC+∠COE＝180°，進(jìn)一步推出∠BOD＝90°；（2）根據(jù)OB平分∠AOC推∠BOC＝∠BOC＝∠AOC，再根據(jù)∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，推出∠COD＝∠DOE．【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴∠BOC＝∠AOC，∠COD＝∠COE，∵A，O，E三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠AOC+∠COE＝180°，∴∠BOC+∠COD＝∠BOD＝90°；（2）∠COD＝∠DOE．∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝∠BOC＝∠AOC，∵∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，∴∠COD＝∠DOE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算、角平分線的定義，熟練掌握角平分線定義的應(yīng)用，準(zhǔn)確找出角的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．一十三．余角和補(bǔ)角（共5小題）26．（2021秋?郎溪縣期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．若AC＝BC，則點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn) B．若，則射線OC為∠AOB平分線 C．若∠1+∠2+∠3＝180°，則這三個(gè)角互補(bǔ) D．若∠α與∠β互余，則∠α的補(bǔ)角比∠β大90°【分析】A、點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，前提條件是點(diǎn)A、B、C在同一條直線上；B、射線OC為∠AOB平分線，前提條件是射線OC在∠AOB的內(nèi)部；C、根據(jù)兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角判斷；D、根據(jù)余角補(bǔ)角定義，表示∠β，∠α的補(bǔ)角，根據(jù)題意列算式．【解答】解：A、前提條件是點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，∴不符合題意；B、前提條件是射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∴不符合題意；C、兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，而不是三個(gè)角，∴不符合題意；D、∵∠α+∠β＝90°，∴∠β＝90°﹣∠α，∵∠α的補(bǔ)角：180°﹣∠α，∴∠α的補(bǔ)角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，∴符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角、角平分線的定義、兩點(diǎn)間的距離，掌握余角和補(bǔ)角、角平分線的定義的應(yīng)用，對(duì)定義的理解是解題關(guān)鍵．27．（2021秋?安慶期末）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若∠AOD＝135°，則∠BOC＝45°．【分析】從圖可以看出，∠BOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去∠AOD的度數(shù)，從而問(wèn)題可解．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝135°，∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣135°＝45°．故∠BOC是45度．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)角的計(jì)算的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是讓學(xué)生通過(guò)觀察圖示，發(fā)現(xiàn)幾個(gè)角之間的關(guān)系．28．（2021秋?八公山區(qū)期末）若∠α＝48°36′，∠α的補(bǔ)角是∠β的2倍，則∠β＝65°42′．【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠α的補(bǔ)角，再除以2即可．【解答】解：由補(bǔ)角的定義可知，∠α的補(bǔ)角為：180°﹣∠α＝180°﹣48°36′＝131°24′，∵∠α的補(bǔ)角是∠β的2倍，∴∠β＝∠α＝65°42′，故答案為：65°42′．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．29．（2021秋?無(wú)為市期末）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC＝60°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部．且恰好平分∠BOC，求∠CON與∠AOM的度數(shù)．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部．請(qǐng)?zhí)骄浚骸螩ON與∠AOM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)．直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為12或30秒（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【分析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）因?yàn)椤螹ON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可；（3）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，則∠AON＝30°或∠NOR＝30°，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°或120°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解．【解答】解：（1）已知∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又OM平分∠BOC，∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°，∠AOM＝∠AOC+∠COM＝