2025屆福建省三明市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆福建省三明市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)（與A、B均不重合），則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知是銳角，那么2是()A．第一象限 B．第二象限C．小于的正角 D．第一象限或第二象限3．將函數(shù)y=sinx-πA．y=sin1C．y=sin14．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄?，從中任意取出一個(gè)，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．45．已知，的線性回歸直線方程為，且，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的為A．變量，之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測，當(dāng)時(shí)，C． D．由表格數(shù)據(jù)可知，該回歸直線必過點(diǎn)6．設(shè)且，的最小值為()A．10 B．9 C．8 D．7．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，為方程的兩根，則（）A．9 B．27 C．64 D．818．的內(nèi)角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A．54 B． C．90 D．81二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列的公比為2,前n項(xiàng)和為,則=______.12．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)在是增函數(shù)，將的圖象向右平移可得到的圖象．其中正確的結(jié)論序號為______．13．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為__________.14．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長成一個(gè)數(shù)形圖，則第13行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________16．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知曲線上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和為，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點(diǎn)，求面積的最大值，以及取最大值時(shí)直線的方程．18．已知，.（1）計(jì)算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時(shí)和滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.19．一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下：溫度20253035產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)520100325（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.7820．已知圓與直線相切（1）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求（2）已知，設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，證明：為定值21．已知數(shù)列滿足.（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用直徑所對的圓周角為直角和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷出答案．【詳解】AB是圓O的直徑，則AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，則有BC⊥PC，則△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，則△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，則△ACB是直角三角形.綜上可知：此三棱錐P?ABC的四個(gè)面都是直角三角形.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查垂直關(guān)系的推理與證明，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】是銳角,∴，∴是小于的正角3、C【解析】

將函數(shù)y=sin(x－π3)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sin(12x－π3)，再向左平移π3個(gè)單位得到的解析式為y=sin(12（x+π3）－4、C【解析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個(gè)小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個(gè)小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個(gè)兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個(gè)，由此能求出在27個(gè)小正方體中，任取一個(gè)其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個(gè)小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個(gè)小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個(gè)兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個(gè)，則在27個(gè)小正方體中，任取一個(gè)其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

A中，根據(jù)線性回歸直線方程中回歸系數(shù)0.82＞0，判斷x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系；B中，利用回歸方程計(jì)算x＝5時(shí)的值即可預(yù)測結(jié)果；C中，計(jì)算、，代入回歸直線方程求得m的值；D中，由題意知m＝1.8時(shí)求出、，可得回歸直線方程過點(diǎn)（，）．【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27，0.82＞0，所以變量x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系，A正確；計(jì)算x＝5時(shí)，0.82×5+1.27＝5.37，即預(yù)測當(dāng)x＝5時(shí)y＝5.37，B正確；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C錯誤；由題意知m＝1.8時(shí)，1.5，2.5，所以回歸直線方程過點(diǎn)（1.5，2.5），D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

由配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）的最小值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠靈活利用“”，配湊出符合基本不等式的形式.7、B【解析】

由韋達(dá)定理得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由已知得是正項(xiàng)等比數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的三項(xiàng)之積的求法，關(guān)鍵是對等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

作出圖形，通過和余弦定理可計(jì)算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因?yàn)椋虢獾?過D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，因此E為中點(diǎn)，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度較大.9、B【解析】

分別解和時(shí)條件對應(yīng)的不等式即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，可化為即，解得.綜上，的x的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，進(jìn)而得到答案．【詳解】由三視圖可知，該多面體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是邊長為3的正方形，四棱柱的高為6，則該多面體的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖知識及幾何體體積的計(jì)算，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再由幾何體體積公式求解，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由等比數(shù)列的定義，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.12、【解析】

把化成的型式即可。【詳解】由題意得所以對稱軸為，對，當(dāng)時(shí)，對稱中心為，對。的增區(qū)間為，對向右平移得。錯【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)變換，意在考查學(xué)生對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的掌握情況。13、【解析】

由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，可得，．因?yàn)闉橹苯侨切?，可得，所以，因此，結(jié)合幾何關(guān)系，可求得外接球的半徑，，代入公式即可求球的表面積．【詳解】本題主要考查空間幾何體．由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，，，．因?yàn)闉橹苯侨切?，因此或（舍）．所以只可能是，此時(shí)，因此，所以平面所在小圓的半徑即為，又因?yàn)椋酝饨忧虻陌霃?，所以球的表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題，難點(diǎn)在于確定BC的長，即得到，再結(jié)合幾何性質(zhì)即可求解，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬中檔題．14、.【解析】

把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出表示圓的條件，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，方程可化為，方程表示圓，則滿足，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)．15、【解析】

觀察圖像可知每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)與一個(gè)空心圓點(diǎn),每個(gè)空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關(guān)系即可.【詳解】由圖像可得每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)與一個(gè)空心圓點(diǎn),每個(gè)空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).故從第三行開始,每行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用,需要觀察求得行與行之間的實(shí)心圓點(diǎn)的遞推關(guān)系,屬于中等題型.16、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析；（3）或【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．（2）設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達(dá)定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設(shè)直線方程是與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)面積公式，代入根與系數(shù)的關(guān)系，利用換元和基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意知曲線是以原點(diǎn)為中心，長軸在軸上的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設(shè)直線的方程為，設(shè)則由可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點(diǎn)，由可得，，解得∴設(shè)當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí)，即所以直線方程是【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義及方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用及三角形面積的范圍等問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．18、（1），，；（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算；（2）由可得出，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值．【詳解】（1）由題意及，同理，．（2）∵，∴，∴，即，又，∴時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系．掌握數(shù)量積的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．其中．19、（I）選擇更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型；（II）；（III）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在以下.【解析】

（I）由于散點(diǎn)圖類似指數(shù)函數(shù)的圖像，由此選擇.（II）對；兩邊取以為底底而得對數(shù)，將非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸的問題，利用回歸直線方程的計(jì)算公式計(jì)算出回歸直線方程，進(jìn)而化簡為回歸曲線方程.（III）令，解指數(shù)不等式求得溫度的控制范圍.【詳解】（I）依散點(diǎn)圖可知，選擇更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型。（II）因?yàn)?，令，所以與可看成線性回歸，，所以，所以，即，（III）由即，解得，要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在以下?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查散點(diǎn)圖的判斷，考查非線性回歸的求解方法，考查線性歸回直線方程的計(jì)算公式，考查了利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測.屬于中檔題.解題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，首先是根據(jù)散點(diǎn)圖選擇出恰當(dāng)?shù)幕貧w方程，其次是要將非線性回歸的問題，轉(zhuǎn)化為線性回歸來求解.20、（1）4；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出半徑，從而得到圓的方程；根據(jù)直線被圓截得弦長的求解方法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，則，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，圓心到直線的距離：圓與直線相切圓方程為：圓心到直線的距離：，（2）證明：設(shè)，則即為定值【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓