人教A版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：1-2空間幾何體的三視圖和直視圖-1-2-1-1-2-2-

1.2.1中心投影與平行投影1.2.2空間幾何體的三視圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解中心投影和平行投影.2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.3.能識(shí)別三視圖所表示的立體模型．知識(shí)點(diǎn)一投影的概念思考由下圖你能說(shuō)出影子是怎樣得到的嗎？答案光照射到不透明物體(比如手)上，在后面的屏幕上留下影子．梳理(1)定義：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影．(2)投影線：光線．(3)投影面：留下物體影子的屏幕．知識(shí)點(diǎn)二投影的分類投影定義特征分類中心投影光由一點(diǎn)向外散射形成的投影投影線交于一點(diǎn)平行投影在一束平行光線照射下形成的投影投影線平行正投影和斜投影知識(shí)點(diǎn)三三視圖思考如夢(mèng)似幻！——這是無(wú)數(shù)來(lái)自全世界的游客對(duì)國(guó)家游泳中心“水立方”的第一印象．假如你站在水立方入口處的正前方或在“水立方”的左側(cè)看水立方，你看到的是什么？若你在“水立方”的正上方觀察水立方看到什么？根據(jù)上述三個(gè)方向觀察到的平面，能否畫出“水立方”的形狀？答案“水立方”的一個(gè)側(cè)面．“水立方”的一個(gè)表面．可以．梳理三視圖的概念(1)定義(2)三視圖的畫法規(guī)則①正、俯視圖都反映物體的長(zhǎng)度——“長(zhǎng)對(duì)正”；②正、側(cè)視圖都反映物體的高度——“高平齊”；③俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等”．(3)三視圖的排列順序：先畫正視圖，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊．類型一中心投影與平行投影例1(1)①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過(guò)中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；③幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案D解析由平行投影和中心投影的定義知，平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)，故①正確；空間圖形經(jīng)過(guò)中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來(lái)越近，最后相交于一點(diǎn)，故②正確；幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，故③正確．故選D.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是A′A，C′C的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是________．(只填序號(hào))①四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形；②四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影是菱形；③四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影與在面ABB′A′內(nèi)的投影是全等的平行四邊形．答案①③解析①四邊形BFD′E的四個(gè)頂點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)的投影分別是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正確；②設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則AE＝1，取D′D的中點(diǎn)G，連接AG，則四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影是四邊形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四邊形AGD′E是平行四邊形，但AE＝1，D′E＝eq\r(5)，所以四邊形AGD′E不是菱形，即②不正確；對(duì)于③，由②可知兩個(gè)投影四邊形是對(duì)邊分別相等的平行四邊形，從而③正確．反思與感悟(1)判斷一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來(lái)判斷．(2)畫出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)、端點(diǎn)等，方法是先畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接各投影點(diǎn)即可得出此圖形在該平面上的投影．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△ABC，選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過(guò)中心投影后所得的△A′B′C′與△ABC的關(guān)系是()A．全等 B．相似C．不相似 D．以上都不對(duì)答案B解析根據(jù)題意畫出圖形如圖．由圖易得eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(AC,A′C′)，則△ABC∽△A′B′C′.(2)如圖，E，F(xiàn)分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是圖中的________．(要求把所有可能的序號(hào)都填上)答案②③解析其中②可以是四邊形BFD1E在正方體的面ABCD或面D1DCC1上的正投影．③可以是四邊形BFD1E在正方體的面BCC1B1上的正投影．四邊形BFD1E在正方體任何一個(gè)面上的正投影都不是①④.類型二三視圖的畫法與識(shí)別eq\x(命題角度1三視圖的識(shí)別)例2一個(gè)長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的三視圖為()答案C解析從該幾何體可以看出，正視圖是一個(gè)矩形內(nèi)有一斜向上的對(duì)角線；俯視圖是一個(gè)矩形內(nèi)有一斜向下的對(duì)角線，沒有斜向上的對(duì)角線，故排除B、D項(xiàng)；側(cè)視圖是一個(gè)矩形內(nèi)有一斜向下的對(duì)角線，且都是實(shí)線，因?yàn)闆]有看不到的輪廓線，所以排除A項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練2將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案B解析由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體如圖所示，故其側(cè)視圖為B中的圖象．eq\x(命題角度2畫幾何體的三視圖)例3畫出如圖所示的幾何體的三視圖．解如圖所示．(1)(2)引申探究例3(2)中的組合體改為如下圖形，畫出其三視圖．解圖中幾何體實(shí)際為組合體，下部是三個(gè)正方體，上部是一個(gè)圓柱，按正方體和圓柱的三視圖畫法畫出該組合體的三視圖，如圖所示．反思與感悟畫三視圖的注意事項(xiàng)：(1)務(wù)必做到長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊．(2)三視圖的安排方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方．(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．跟蹤訓(xùn)練3如圖是同一個(gè)圓柱的不同放置，陰影面為正面，分別畫出它們的三視圖．解三視圖如圖所示．(1)(2)類型三由三視圖還原幾何體例4(1)說(shuō)出下面的三視圖表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解幾何體為三棱臺(tái)，結(jié)構(gòu)特征如下圖：(2)根據(jù)以下三視圖想象物體原形，并畫出物體的實(shí)物草圖．解此幾何體上面可以為圓臺(tái)，下面可以為圓柱，所以實(shí)物草圖可以如圖．反思與感悟(1)通過(guò)正視圖和側(cè)視圖確定是柱體、錐體還是臺(tái)體．若正視圖和側(cè)視圖為矩形，則原幾何體為柱體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰三角形，則原幾何體為錐體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形，則原幾何體為臺(tái)體．(2)通過(guò)俯視圖確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，若俯視圖為多邊形，則原幾何體為多面體；若俯視圖為圓，則原幾何體為旋轉(zhuǎn)體．跟蹤訓(xùn)練4(1)根據(jù)圖①②③所示的幾何體的三視圖，想象其實(shí)物模型，畫出示意圖．解三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體如下圖所示．(2)如圖所示為長(zhǎng)方體木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成．答案4解析由三視圖知，由4塊木塊組成．如圖．1．一條直線在平面上的平行投影是()A．直線 B．點(diǎn)C．線段 D．直線或點(diǎn)答案D解析當(dāng)投影線與該直線平行時(shí)直線的平行投影為一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)投影線與該直線不平行時(shí)，直線的平行投影為一條直線．2．如圖，甲、乙、丙是三個(gè)立體圖形的三視圖，與甲、乙、丙相對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)是()①長(zhǎng)方體；②圓錐；③三棱錐；④圓柱．A．③①② B．①②③C．③②④ D．④②③答案D3．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()答案D解析根據(jù)幾何體的三視圖知識(shí)求解．由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是D.4．將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案B解析還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線．D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線．5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為________．答案4＋eq\r(3)解析依題意得幾何體的側(cè)視圖面積為22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).1．理解平行投影和中心投影的概念時(shí)，可以從一束光線去照射一個(gè)物體所形成的影子，研究?jī)烧叩牟煌帲硗鈶?yīng)注意平行投影的性質(zhì)，尤其注意圖形中的直線或線段不平行于投影線的情況．2．空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)，由空間幾何體可畫出它的三視圖，同樣由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)我們的空間想象能力．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列命題正確的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．兩條相交直線的投影可能平行D．一條線段(不與投射線平行)中點(diǎn)的平行投影仍是這條線段投影的中點(diǎn)答案D解析因?yàn)楫?dāng)平面圖形與投射線平行時(shí)，所得投影是線段，故A，B錯(cuò)．又因?yàn)辄c(diǎn)的平行投影仍是點(diǎn)，所以相交直線的投影不可能平行，故C錯(cuò)．由排除法可知，選項(xiàng)D正確．2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為()答案A解析點(diǎn)D在平面ADD1A1上的投影為點(diǎn)D，點(diǎn)M在平面ADD1A1上的投影為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面ADD1A1上的投影為DA的中點(diǎn)，連接三點(diǎn)可知A正確．3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案D解析在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同．4．某幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()答案B解析幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可以看見的線段，所以C，D不正確；幾何體的上部中間的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確．故選B.5．如果用□表示1個(gè)立方體，用表示2個(gè)立方體疊加，用■表示3個(gè)立方體疊加，那么圖中由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是()答案B解析結(jié)合已知條件易知B正確．6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，C，進(jìn)一步將三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng)D.7．如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則其對(duì)應(yīng)的幾何體是()答案A解析對(duì)于A，該幾何體的三視圖恰好與已知圖形相符，故A符合題意；對(duì)于B，該幾何體的正視圖的矩形中，對(duì)角線應(yīng)該是虛線，故不符合題意；對(duì)于C，該幾何體的正視圖的矩形中，對(duì)角線應(yīng)該是從左上到右下的方向，故不符合題意；對(duì)于D，該幾何體的側(cè)視圖的矩形中，對(duì)角線應(yīng)該是虛線，故不符合題意．故選A.8．已知底面為正方形，側(cè)棱相等的四棱錐S－ABCD的直觀圖和正視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)答案A解析由題意，側(cè)視圖與正視圖是全等的三角形，面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5).二、填空題9．如圖所示，桌面上放著一個(gè)半球，則它的三視圖中，與其他兩個(gè)視圖不同的是________．(填“正視圖”“側(cè)視圖”或“俯視圖”)答案俯視圖解析該半球的正視圖與側(cè)視圖均為半圓，而俯視圖是一個(gè)圓，所以俯視圖與其他兩個(gè)視圖不同．10．若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長(zhǎng)分別是________和________．答案2eq\f(8\r(3),3)解析三棱柱的高同側(cè)視圖的高，側(cè)視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底面邊長(zhǎng)為eq\f(8\r(3),3).11．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是圖中的________．(把你認(rèn)為所有正確圖象的序號(hào)都填上)答案①②③④解析由正視圖和側(cè)視圖可知幾何體為錐體和柱體的組合體．(1)若幾何體為圓柱與圓錐的組合體，則俯視圖為③；(2)若幾何體為棱柱與圓錐的組合體，則俯視圖為④；(3)若幾何體為棱柱與棱錐的組合體，則俯視圖為①；(4)若幾何體為圓柱與棱錐的組合體，則俯視圖為②.12．已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，則這個(gè)正四面體的正視圖的面積為________cm2.答案2eq\r(2)解析構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD－A1B1C1D1(如圖)，在此正方體中作出一個(gè)符合題意的正四面體A－B1CD1，易得該正四面體的正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為2eq\r(2)cm，高為2cm的等腰三角形，從而可得正視圖的面積為2eq\r(2)cm2.三、解答題13．畫出如圖所示幾何體的三視圖．解圖(1)為正六棱柱，可按棱柱的三視圖畫法畫出；圖(2)為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓臺(tái)的組合體，按圓錐、圓臺(tái)的三視圖法畫出它們的組合形狀．三視圖如圖所示．四、探究與拓展14．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2)－1,2) D.eq\f(\r(2)＋1,2)答案C解析由正方體的俯視圖是