高中數(shù)學(xué)三維設(shè)計(jì)浙江專版必修1講義1．3　函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值

第一課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

預(yù)習(xí)課

電電謝Eaf雁區(qū)、課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高本P27~

29,思考并完成以下問題

(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念是什么？

(2汝口何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？

(3)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系？

1.定義域?yàn)?的函數(shù)Ax)的增減性

。三/,對(duì)任意力］,，2《。

1增函數(shù)—(gg)—減函數(shù)

&V42時(shí)，都有和VZ2時(shí),都有

/(X|)</(X2)——(@)——

函數(shù)H6在區(qū)間——(@)——函數(shù)/G)在區(qū)間

。上時(shí)增函數(shù)D上時(shí)減函數(shù)

yy

卜

————：/(Xl)；/(X2)

0XIX2XOX\X2x

1點(diǎn)睛1定義中的XI,*2有以下3個(gè)特征

(1)任意性，即“任意取XI,X2"中“任意"二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常規(guī)定X1<X2；

(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間.

2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/lx)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)7=式幻在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單

調(diào)性,區(qū)間。叫做v=/U)的單調(diào)區(qū)間.

1點(diǎn)睛1一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“和”連接.如函

數(shù)y=［在(-8,0)和(0,+co)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)在(一oo,0)U(0,+8)上單調(diào)遞減.

1.判斷(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)在R上是增函數(shù).()

(2)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性.()

(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩個(gè)自變量”改為“存在兩個(gè)自變量”.()

答案：⑴X(2)X(3)X

2.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，其增區(qū)間是（）

A.[-4,4]

B.[-4,-3]U[1,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4]

答案：C

3.下列函數(shù)火X）中，滿足對(duì)任意Xl,X2e（0,+~）,當(dāng)X]<X2時(shí)，都有八X1）*X2）的是（）

A.J（x}=x2B.Ax）=]

C..Ax)=|x|D.f(x)=2x+l

答案：B

4.函數(shù)Ax）=-*2—2x的單調(diào)遞增區(qū)間是

答案：（-8,—1]

字課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

題型一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明

[例1]求證：函數(shù)八X）=E在（0，+8）上是減函數(shù)，在（一8,0）上是增函數(shù).

j11比-X??X2—X1??X2+X1?

[證明]對(duì)于任意的XI,必￡(-8,0),且X1VX2,有/Ui)-AX2)=3_J=或出=而.

'-"Xl<X2<0,

---X2-Xl>0,Xi+x2<0,xi啟>0?

■,?/(XI)—/(X2)<0,即/(?)</(%2)?

二?函數(shù)/(x)=g在(一8,0)上是增函數(shù).

對(duì)于任意的Xl,X2^(0,+°°),且X1<X2,有

?22一工1??必+工1?

/(?)-AM)=xixi'

■."0<xi<X2j.--X2~~xi>0,X2+xi>0,xfxi>0.

即/UD/X2）?

二函數(shù)八x）=1在（0,+8）上是減函數(shù).

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟

02/32

<^>—設(shè)為-2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且為<42

作差/(方)~/(%2)或f(42)-/(*l)，并通過因式分解、

配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的

方向變形，一般化為積的形式

確定差/(?1)-/(?2)或〃牝)于(如)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不

確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論

<^>—根據(jù)定義得出結(jié)論

［活學(xué)活用］

1.證明函數(shù)八x)=x+1在(0,1)上是減函數(shù).

證明：設(shè)Xi,X2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1<X2,則/Ul)一/lX2)=(xi+g—(由+J=(X1一

X2)+d-j

=(X1-X2)-F

XIX2

(,…噂―1旬A=?-X-1—-X-2?-?—-14--X-1X-2?■

,:O<X1<X2<1,

/.XI—X2<O,O<X1X2<1,—l+xiX2<0,

?X1-X2??-1+xi%2?

>0,即｛X|)》X2),

X1X2

.\/(x)=x+:在(0,1)上是減函數(shù).

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

［例2］畫出函數(shù)y=-x2+2\x\+l的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

-x2+2x+l,x20,

I解］y=

—x2—2x+l,x<0,

_-?x-l?2+2,x》0,

一［—?X+1?2+2,X<0.

函數(shù)的大致圖象如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(一8,-1］,［0,1］,單調(diào)減區(qū)間為(一1,0),(1,4-00).

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法

法一：定義法.即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解.

法二：圖象法.即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間.

［活學(xué)活用］

2.如圖所示為函數(shù)xC［—4,7］的圖象，則函數(shù)人*)的單調(diào)遞增區(qū)間是

解析：由圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為[-1.5,3]和[5,6].

答案：[一L5,3]和[5,6]

3.求函數(shù)八》)=圈的單調(diào)減區(qū)間.

解：函數(shù)式x)=^j的定義域?yàn)?一8,1)U(1,+°°),

設(shè)XI,孫￡(—8,1),且X[<X2,則

]]必―X1

/1)-JlX2)=4一1-%2-1=?XL1??X2-1?。

因?yàn)閄1<X2<1,所以孫―Xl>0,X1-1<0,X2—1V0,

所以/Ui)—/U2)>0,即於1)?以2).

所以函數(shù)A")在(一8,1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)人的在(1,+8)上單調(diào)遞減.

綜上，函數(shù)人外的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1),(1,4-00).

題型三

題點(diǎn)一：利用單調(diào)性比較大小

1.若函數(shù)/U)在區(qū)間(-8,+8)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.fia2+a)<f(a)D.f(a2+l)<f(a2)

解析：選D因?yàn)??x)是區(qū)間(-8,+8)上的減函數(shù)，且"2+]>“2,所以八。2+1)5/).故選D.

題點(diǎn)二：利用單調(diào)性解不等式

2.已知函數(shù)y=7U)是(-8,+8)上的增函數(shù)，且八2x—3)?(5x+6),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解：\,函數(shù)y=_/(x)是(-8,+8)上的增函數(shù)，且3)?(5x+6),.*.2x—3>5x+6,解得x<一3.

.?.X的取值范圍為(一8,—3).

題點(diǎn)三：已知單調(diào)性求參數(shù)范圍

3.已知函數(shù)人x)=x—W+3在(L+8)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)l<Xi<X2,，X1X2>1.

??,函數(shù)?/U)在(1,+8)上是增函數(shù)，

=(XLX2)(1+舟<0.

VXl-X2<0,/.1+->0,即。>一占》2.

X1》2

V1<X1<X2,X1X2>1,A—X1X2<—1,工。，—1.

.?.a的取值范圍是［—1,+°°).

04/32

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單

調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.

(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,切上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.如

屋統(tǒng)課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力圖是函數(shù)y

=Ax)的圖象，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是()

C.3D.4

解析：選B由圖象，可知函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè).故選B.

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.j=|x|B.y=3—x

c.D.y=—x2+4

解析：選A因?yàn)橐籌vO,所以一次函數(shù)y=—x+3在R上遞減，反比例函數(shù)在(0,+8)上遞減，

二次函數(shù)y=一爐+4在(0,+8)上遞減.故選A.

3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,+°°)B.(—8,0)

C.(—8,0)和(0,+<?)D.(—8,0)U(0,+8)

解析：選C函數(shù)的定義域是(一8,0)U(0,+8).由函數(shù)的圖象可知在區(qū)間(一8,0)和

(0,+8)上分別是減函數(shù).

4.若函數(shù)/U)=(2a—l)x+〃在R上是單調(diào)減函數(shù)，則有()

A.a*B.

C.a>^D.a<^

解析：選D函數(shù)I/U)=(2aT)x+b在R上是單調(diào)減函數(shù)，則2“一1<0,即舄.故選D.

5.函數(shù)八x)=|x|,g(x)=x(2—x)的遞增區(qū)間依次是()

A.(-8,0],(一8,1]B.(-8,0],(1,+8)

C.[0,+oo),(-00,1]D.[0,+°o),[1,+oo)

解析：選c分別作出/U)與g(x)的圖象得：/U)在[0,+◎上遞增，g(x)在(-8,1]上遞增，選c.

6.若Ax)在R上是減函數(shù)，則人一1)4蘇+沙填“>,，或“V”或，，》”或“w”).

解析：；/{x)在R上是減函數(shù)，，對(duì)任意X1,X2,若X1<X2均有_A?)MX2).又,.,一1<層+1,.?.八一1)/a

+1).

答案:>

7.已知函數(shù)/(x)為定義在區(qū)間上的增函數(shù)，則滿足Ax)<娘的實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

一1士，

解析：由題設(shè)得《1

x<29

解得一1<X<1.

答案：[-1,{)

8.如果二次函數(shù)/(x)=x2—(a—l)x+5在區(qū)間(},1)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析：■.■函數(shù)大幻=*2—(a—l)x+5的對(duì)稱軸為」且在區(qū)間弓，1)上是增函數(shù)，

二號(hào)即心2.

答案：(一8,2]

9.判斷并證明函數(shù)人幻=一1+1在(0,+8)上的單調(diào)性.

解：函數(shù)A*)=—；+1在(0,+8)上是增函數(shù).證明如下：

設(shè)Xl,*2是(0,+8)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1<X2,則兀⑺―兀3)=(-5+1)一(一2+1)=?才，

由Xi,X2G(O,+°°),得*1*2>0,

又由X1<X2,得Xl—X2<0,

于是人為)一人*2)<0,即凡n)勺口：2),

.\Ax)=—q+1在(0,+8)上是增函數(shù).

—x-3,xWL

10.作出函數(shù)式x)=的圖象，并指出函數(shù)大用的單調(diào)區(qū)間.

?x-2?2+3,x>l

X-3,xWl,

解:的七—2?2+3,x>l的圖象如圖所示.

06/32

由圖可知，函數(shù)式x)='二、'的單調(diào)減區(qū)間為(一8,1]和(1,2),單調(diào)增區(qū)間為[2,+8).

l?x—2?2+3,x>l

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.若函數(shù)人用在區(qū)間(a,勿上是增函數(shù)，在區(qū)間(方，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)大x)在區(qū)間(a,"US，

c)±()

A.必是增函數(shù)B.必是減函數(shù)

C.是增函數(shù)或減函數(shù)D.無法確定單調(diào)性

解析：選D函數(shù)在區(qū)間(a,b)\J(b,c)上無法確定單調(diào)性.如y=一1在(0,+8)上是增函數(shù)，在(一

8,0)上也是增函數(shù)，但在(一8,0)U(0,+8)上并不具有單調(diào)性.

2.下列四個(gè)函數(shù)在(一8,0)上為增函數(shù)的是()

①y=|x|+l；②產(chǎn)?③/=一俞;④產(chǎn)x+點(diǎn)

A.①②B.②③

C.③④D.①④

解析：選C①y=|x|+l=—x+l(x<0)在(一8,0)上為減函數(shù)；②尸曰=-1(*<0)在(一8,0)上既

X?Y

不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③y=一而=*(*<0)在(一8,0)上是增函數(shù)；④y=x+而=x—l(x<0)在(-8,

0)上也是增函數(shù).

?a—3?x+5,

3.已知函數(shù)/U)=(2a是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

—,x>l

A.(0,3)B.(0,3]

C.(0,2)D.(0,2]

a—3<0,

解析：選D依題意得實(shí)數(shù)“滿足<2a>0,解得0va<2.

、?〃-3?+522a,

4.定義在R上的函數(shù)｛x),對(duì)任意?,X2GR(X1WX2),.?M?三歿"<0,貝(j()

*2X1

A.#)勺⑵勺⑴

B./U)勺⑵勺⑶

c./(2)<AD<A3)

D.A3)勺U)勺(2)

解析：選A對(duì)任意X|,X2GR(X1KX2),有“*2?_01?<0,則*2—XI與.人X2)一.八?)異號(hào)，則/(x)在R

上是減函數(shù).又3>2>1,則大3）勺⑵勺⑴.故選A.

5,若函數(shù)y=一§在（0,+8）上是減函數(shù)，則力的取值范圍是

解析：設(shè)0<Xl<X2,由題意知

,ob.bb?xi—X2?人

^.)-^2)=--+-=>0.

VO<X1<X2,X2<0,XlX2>0,

：.b<0.

答案：（一8,0）

6.函數(shù)y=-（x—3）|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是.

-r>0

解析：j=—(X—3)|x|=爐一3x,；W。，‘作出其圖象如圖‘觀察圖象知單調(diào)遞

增區(qū)間為[o,I].

答案J。，1]

7.已知y=Ax）在定義域（一1,1）上是減函數(shù)，且大1一°）勺12。-1）,求a的取值范圍.

—1<1—a<l,

解：由題意可知，解得Ovavl.①

-l<2a-l<l,

又/U）在（-1,1）上是減函數(shù),

2-

且—a)</(2a—1),/.1-a>2a—1,即av§,②

由①②可知，a的取值范圍是I

ly瓦諉做題

8.設(shè)函數(shù)大用=由（4乂>0）,求八x）的單調(diào)區(qū)間，并說明7U）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.

解：在定義域內(nèi)任取Xl,X2,且使?<X2,

…xz+axi+a

則/（X2）一軟尸亞一赤

_?4+a??xi+b?-?X2+b??xi+a?

=?xx+b??x2+b?

?Z>~a??X2~xi?

?XI+^??X2+A?*

Va>Z?O,X\<X29Aft-a<0,必―xi>0?

只有當(dāng)Xi<X2<~~b或一》<X1<V2時(shí)，函數(shù)才單調(diào).

當(dāng)Xi<X2<一力或一力<X1<X2時(shí)，f(X2)~~f(X\)<0.

08/32

在（一8,一5）上是單調(diào)減函數(shù)，在（一方，+8）上也是單調(diào)減函數(shù).

，丁=73）的單調(diào)減區(qū)間是（一8,一加和（一九4-oo）,無單調(diào)增區(qū)間.

第二課時(shí)函數(shù)的最大（?。┲?/p>

預(yù)習(xí)課

股電麗”尚政昌課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高本P30?32,

思考并完成以下問題

（1）函數(shù)最大（?。┲档亩x是什么？

（2）從函數(shù)的圖象可以看出函數(shù)最值的幾何意義是什么？

函數(shù)的最大（?。┲?/p>

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=Ax）的定義域?yàn)?,如果雉實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x

G1,都有

條件

1Ax)的

存在xoG/,使得/Uo)=M

結(jié)論稱M是函數(shù)y=_Ax）的最大值稱M是函數(shù)y=/（x）的最小值

幾何

八X）圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)/（X）圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

意義

［點(diǎn)睛］最大（?。┲当仨毷且粋€(gè)函數(shù)值，是值域中的一個(gè)元素，如函數(shù)y=x2（xGR）的最小值是0,有

710）=0.

1.判斷（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）任何函數(shù)都有最大值或最小值.（）

（2）函數(shù)的最小值一定比最大值小.（）

答案：⑴X（2）7

2.函數(shù)》=八幻在［-2,2］上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）

C.-1,2D.eq,2

答案：C

3.設(shè)函數(shù)八x）=2x-l（x<0）,貝IJ/U）（）

A.有最大值

B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既無最大值又無最小值

答案：D

函數(shù)外)=［］則大的最大值為

4.3xG2,4,x)最小值為.

答案：1\

字死除舒I噬謂Q課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

圖象法求函數(shù)的最值

I例1］如圖為函數(shù)y=_/(x),xG［-4,7］的圖象，指出它的最大值、最小值.

［解］觀察函數(shù)圖象可以知道，圖象上位置最高的點(diǎn)是(3,3),最低的點(diǎn)是(-1.5,-2),

所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最大值，即ymax=3;當(dāng)*=一1.5時(shí)，函數(shù)y=/U)取得最小值，即

Jmin=-2.

用圖象法求最值的3個(gè)步驟

作出函數(shù)圖象

⑥一|在圖象上找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

U________________________

確定函數(shù)的最大(小)值

［活學(xué)活用］

ri

一,0<x<L

1.求函數(shù)_/k)="X的最值.

解：函數(shù)人》)的圖象如圖所示.

由圖象可知八x)的最小值為八1)=1,無最大值.

利用單調(diào)性求函數(shù)的最值

［例2］已知函數(shù)/(X)=X+F

(1)證明：犬X)在(1,+8)內(nèi)是增函數(shù)

(2)求兀0在［2,4］上的最值.

［解］(1)證明：設(shè)對(duì)于任意Xl,X2G(1,+°°),且?<X2.則八刈)—八*2)=X1+J一應(yīng)―；=(X1—

?*-1兀2

?X1—X2??X|X2—1?

Ml」思X1X2

10/32

VX2>X1>1,.,.Xi—X2<0,

又/.X1X2-l>0,

?XlX2—1?

故(Xl-X2)「「丫、,<0,即/(XI)勺(X2),

所以/(X)在(1,+8)內(nèi)是增函數(shù).

(2)由⑴可知/U)在⑵4］上是增函數(shù),

當(dāng)xG[2,4]時(shí)，42)W#x)號(hào)A4).

又<2)=2+尹稱A4)=4+(=y,

175

.?JU)在［2,4］上的最大值為不，最小值為Q.

函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系

(1)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,切上是增函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y=f(x),xG(a,c)

在x—b處有最大值46).

(2)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,回上是減函數(shù)，在區(qū)間［仇c)上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x),xe(a,c)

在x=b處有最小值八〃).

(3)如果函數(shù)y=/U)在區(qū)間［a,切上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間［a,切的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)

值、最大(小)值.

［活學(xué)活用丁

2.已知函數(shù)人X)=M(XC［2,6］),求函數(shù)的最大值和最小值.

22

解：設(shè)X1,必是區(qū)間26］上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1<X2,則/(冷)一八必)=工三一高=［=

2［?必一1?一？處一1?］_2?必一xi?

?xi-1??X2-1?=?X1-1??X2-1?*

由2WX1VX2W6,得X2—XI>0,(XI—1)(X2—l)>0,于是於l)一個(gè)2)>0,即/U1)?(X2).

2

所以函數(shù)式“)=口■是區(qū)間［2,6］上的減函數(shù).

2

因此，函數(shù)人X)=J7在區(qū)間［2,6］的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即在x=2時(shí)取得最大值，

最大值是2,在x=6時(shí)取得最小值，最小值是0?4.

實(shí)際應(yīng)用中的最值

［例3］某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知

總收益滿足函數(shù):

1400x—lx2,0Wx<400,

R(x)=J2其中x是儀器的月產(chǎn)量.

18000(),x>400.

(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)凡r);

⑵當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益=總成本+利潤(rùn))

［解］⑴設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000+100*,從而

1

-TX2+300X-20000,0WxW400,

貝x)=j2

.60000-100x,x>400.

(2)當(dāng)0WxW400時(shí)，

/(x)=-1(x-300)2+25000,

...當(dāng)X=300時(shí)，[/U)]max=25000.

當(dāng)x>400時(shí)，

1Ax)=60000-100x是減函數(shù)，

府)<60000-100X400<25000.

二當(dāng)x=300時(shí)，[Ax)]max=25()0().

即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利泗為25000元.

解實(shí)際應(yīng)用問題的5個(gè)步驟

(1)審：審清題意，讀懂題，找出各量之間的關(guān)系.

⑵設(shè)：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，恰當(dāng)設(shè)出未知數(shù).

(3)列：根據(jù)已知條件列出正確的數(shù)量關(guān)系.

(4)解：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或解方程或解不等式.

⑸答：回歸實(shí)際，明確答案，得出結(jié)論.

［活學(xué)活用］

3.將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷

售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)為多少？

解：設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(*-50)元，銷量減少10(丫一50)個(gè)，銷量為500—10(*—50)

=(1000-10X)個(gè)，則j=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000W9000.

故當(dāng)x=70時(shí)，jmas=900().

即售價(jià)為70元時(shí)，利潤(rùn)最大值為9000元.

題型四二次函數(shù)的最大值，最小值最愛*麥

［例4］求二次函數(shù)八x)=*2—2ax+2在［2,4］上的最小值.

12/32

［解］?.,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=a,

二當(dāng)a<2時(shí)，/(X)在［2,4］上是增函數(shù)，

.,.#x)min=f(2)=6—4a.

當(dāng)a>4時(shí)，兀r)在［2,4］上是減函數(shù)，

?\Ax)min=/l4)=18—8a.

2

當(dāng)2WaW4時(shí)，f(x)min=f(a)=2—a.

6—4%a<2,

2~a2,2?4,

(18-8a,a>4.

［一題多變］

1.I變?cè)O(shè)問1在本例條件下，求人x)的最大值.

解：?.?函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=a,

當(dāng)aW3時(shí),人x)m?x=A4)=18—8a,

當(dāng)a>3時(shí)，f(x)max=f(2)=6—4a.

［18—8a,aW3,

1.6—4a,a>3.

2.［變?cè)O(shè)問］在本例條件下，若八x)的最小值為2,求。的值.

6—4a,a<2,

2—a2,2《aW4,

(18—8a,a>4.

當(dāng)〃V2時(shí)，6—4a=2,a=l;

當(dāng)2Wa<4時(shí)，2—“2=2,。=0(舍去);

7

當(dāng)a>4時(shí)，若18-8a=4,a=J舍去).

???a的值為1.

3.|變條件，變?cè)O(shè)問］本例條件變?yōu)?，?(的=好一2"+2,當(dāng)“￡［2,4］時(shí)，人幻《。恒成立，求實(shí)數(shù)〃

的取值范圍.

解：在［2,4］內(nèi),人幻《。恒成立，

即。212—20￥+2在［2,4］內(nèi)恒成立,

即a21/U)m,x,xe［2,4］.

18—8a,aW3,

由本例探究1知大X)max

6—4a,〃>3.

(1)當(dāng)aW3時(shí)，0218—8”，解得022,此時(shí)有2WaW3.

(2)當(dāng)a>3時(shí)，a26-4a,解得a招此時(shí)有a>3.

綜上有實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2,+oo).

求解二次函數(shù)最值問題的順序

(1)確定對(duì)稱軸與拋物線的開口方向、作圖.

(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置.

⑶觀察單調(diào)性寫出最值.

層

^￡0課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

級(jí)一

學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)y=/(x)(—2WxW2)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別

為()

A.f(2),J(-2)

B.周，/(-I)

C局,

D.￡)，10)

解析：選C根據(jù)函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)*=一號(hào)時(shí)，有最小值4一!);當(dāng)x=T時(shí),

有最大值./Q)

2.函數(shù)^=/-2*+2在區(qū)間［-2,3］上的最大值、最小值分別是()

A.10,5B.10,1

C.5,1D.以上都不對(duì)

22=

解析：選B因?yàn)閖=x—2x+2=(x-1)+1,且2,3],所以當(dāng)x=l時(shí)，jminl,當(dāng)x=—2

時(shí)，Jmax=(-2-l)2+l=10.故選B.

3

3.函數(shù)y=7^(xW—2)在區(qū)間［0,5］上的最大值、最小值分別是()

XI/

A.eq,0B.eq,0

31

C.eq,早D.最小值為一I，無最大值

33

解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)丫=苔；在區(qū)間［0,5］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)X=0時(shí)，ymax=X，當(dāng)X=5時(shí)，Jmin

3

=,.故選C.

4.若函數(shù)y=ax+l在［1,2］上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)a的值是()

A.2B.-2

C.2或一2D.0

解析：選C由題意知aWO,當(dāng)a>0時(shí)，有(2a+l)—(a+l)=2,解得a=2;當(dāng)a<0時(shí)，有5+1)一

14/32

(2fl+l)=2,解得a=-2.綜上知Q=±2.

5.當(dāng)0WxW2時(shí)，aV—x2+2x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(一8,1］B.(一8,0］

C.(一8,0)D.(0,+8)

解析：選C令JU)=-X2+2X,

則,小0=-x2+2x=-(X-1)2+1.

又??"￡［0,2］,??J(x)min=1A0)=A2)=0.

Aa<0.

6.函數(shù)產(chǎn)一匕xG［-3,T］的最大值與最小值的差是.

解析：易證函數(shù)尸一：在［-3,—1］上為增函數(shù)，所以ymin=；,Jmax=l,

12

所以Jmax-Jmin=1-

答案::

7.已知函數(shù)4x)=-/+4x+a,xG［0,l］,若兀r)有最小值一2,則/(x)的最大值為.

解析：函數(shù)/{x)=—A^+dx+au—(x—2戶+4+凡［0,1］,且函數(shù)有最小值一2.

故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值，

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值.

V當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=a=—2,."./(x)=—x2+4x—2,

2

...當(dāng)x=l時(shí)，/(x)max=/(l)=-l4-4X1-2=1.

答案：1

8.函數(shù)y=Ax)的定義域?yàn)椋?4,6］,若函數(shù)人x)在區(qū)間［-4,-2］上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,6］上單調(diào)遞

增，且八—4)勺S),則函數(shù)Ax)的最小值是,最大值是.

解析：作出符合條件的函數(shù)的簡(jiǎn)圖(圖略)，可知/U)min=_A-2),Ax)max=/S).

答案：f(-2)-6)

9.求函數(shù)八刈=舌在區(qū)間［2,5］上的最大值與最小值.

解：任取2<XIVX2W5,

小］O、NXiXI___________XLM

則大必)一八處)一X2-1一刈一1一?*2—1??*1一1?.

因?yàn)?WXI<X2W5,

所以Xl—X2〈o,X2~1>0,Xj-l>0.

所以AM)—八xi)〈0.

所以人M)勺3).

所以人工)=旨在區(qū)間［2,5］上是單調(diào)減函數(shù)?

255

所以=[=2,/Wmin=人5)=彳_]=/

XJL311f

10.已知函數(shù)兀冷=一“2+2依+1—。在x￡[0,l]時(shí)有最大值2,求。的值.

22

解：f(x)=—(x—a)+a—a+l9

當(dāng)時(shí)，JU)max=/U)=Q；

2

當(dāng)0<nvl時(shí)，f(x)max=f(a)=a-a+l;

當(dāng)“W0時(shí)，f(x)max=fW=l—a.

根據(jù)已知條件得，[『0<a<l,/aWO,

2或，,或

層一。+1=2[1—a=2,

解得a=2或a=—1.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是()

A.j=~+2B.y=3x—2

C.y=x2D.j=l-x

解析：選AB、C在[1,4]上均為增函數(shù)，A、D在[1,4]上均為減函數(shù)，代入端點(diǎn)值，即可求得最值，

故選A.

2x+6,xG[1>2],

2.函數(shù)_/U)=ur,,,則貝X)的最大值與最小值分別為()

[x+7,xG[—1,1],

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不對(duì)

解析：選A?.,xG[l,2]時(shí)，式X)max=2X2+6=10,

_Ax)min=2X1+6=8；Xe[-l,l]Bf,大X)max=l+7=8,/X)min=-1+7=6,

，

?./(X)max=10,1AX)min=6.

3.已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,刈上有最大值3,最小值2,則機(jī)的取值范圍是()

A.[1,+oo)B.[0,2]

C.(一8,2]D.[1,2]

2

解析：選D/lx)=(x-l)+2,-：f(x)min=2,/(x)max=3,且八1)=2,40)=42)=3,；.1W，"W2,故

選D.

4.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬元)分別為心=一

/+21x和心=2元若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()

A.90萬元B.60萬元

C.120萬元D.120.25萬元

解析：選C設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15—x)輛，公司獲利為L(zhǎng)=—*2+21*+2(15—x)

=—x2+19x+30=—(x—與2+30+號(hào)，

16/32

當(dāng)x=9或10時(shí)，L最大為120萬元.

5.已知一x2+4x+a》0在xG[0,l]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：法一：一爐+4》+“20,即a》》?一44[0,1],也就是a應(yīng)大于或等于火x）=x?-4x在[0,1]

上的最大值，函數(shù)犬x）=x2-4x在xG[0,l]的最大值為0,...a》。.

法二：設(shè)人工）=一產(chǎn)+4*+凡

|/?0?=心0,

由題意知解得

[/?!?=-l+4+a^O,a20.

答案：[0,+~）

6.已知函數(shù)式x）=*2—6x+8,xG[l,a],并且八x）的最小值為｛a）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：如圖可知人x）在[1,0內(nèi)是單調(diào)遞減的，

又..Vlx）的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,3],

...lvaW3.

答案：（1,3]

7.某商場(chǎng)經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價(jià)x（不低于進(jìn)價(jià)，單

位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下關(guān)系：

X4550

y2712

（1）確定x與y的一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/（*）（注明函數(shù)定義域）.

（2）若日銷售利潤(rùn)為尸元，根據(jù)⑴中的關(guān)系式寫出尸關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)銷售單價(jià)為多少

元時(shí)，才能獲得最大的日銷售利潤(rùn)？

45a+b=27,

解：（1）因?yàn)樨）是一次函數(shù)，設(shè)式x）=ax+〃，由表格得方程組,

50a+/>=12,

\a=-i,

解得

[。=162,

所以y=f(x)=~3x+162.

又yNO,所以30WxW54,

故所求函數(shù)關(guān)系式為y=-3x+162,xG[30,54].

⑵由題意得，

P=(x-30)j=(x-30)(162-3x)

=-3X2+252X-4860

=-3(x72)2+432,xG[30,54].

當(dāng)x=42時(shí)，最大的日銷售利泄產(chǎn)=432,即當(dāng)銷售單價(jià)為42元時(shí)，獲得最大的日銷售利潤(rùn).

|?”云題

8.已知大X)=