(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題05數(shù)列求和之倒序相加法求和專練(原卷版+解析)

專題05數(shù)列求和之倒序相加法求和專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．已知是上的奇函數(shù)，,,則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則的值為（）A．1 B．2 C．2020 D．20213．設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求的值是（）A． B．0 C．59 D．4．已知各項都不相等的數(shù)列，2，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則的所有項的和為（）A．2014 B．2015 C．4028 D．40305．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則（）．A．2020 B． C．2 D．二、填空題6．若()，則數(shù)列的通項公式是___________.7．已知函數(shù)，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，________.8．設(shè)函數(shù)，定義，其中，，則__________.9．已知數(shù)列，2，3，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則數(shù)列的所有項的和為___．10．設(shè)數(shù)列的通項公式為，利用等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法，可得數(shù)列的前2020項和為___________.三、解答題11．在數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列;（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式及的前項和.12．已知數(shù)列的前項和為，且，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足….（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，求.13．已知函數(shù)，，為數(shù)列的前n項和，求的值.14．已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函數(shù)f（x）對?x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，數(shù)列{bn}滿足+f+f（1）.（1）分別求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）已知數(shù)列{cn}滿足cn＝an?bn，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若存在正實數(shù)k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an對于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范圍.16．已知數(shù)列的前n項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足．（1）分別求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請指出的取值范圍，并證明；若不存在請說明理由．17．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.18．{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項數(shù)列{}的前n項和為，且.(1)求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項公式；②求的值.19．設(shè)奇函數(shù)對任意都有求和的值；數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明；20．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）若，，數(shù)列的前項和為，若對一切成立，求的取值范圍．專題05數(shù)列求和之倒序相加法求和專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．已知是上的奇函數(shù)，,,則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．【標準答案】C由在上為奇函數(shù)，知，令，則，得到．由此能夠求出數(shù)列的通項公式．【詳解詳析】由題已知是上的奇函數(shù)，故，代入得：，∴函數(shù)關(guān)于點對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：C．【名師指路】思路點睛：利用函數(shù)的性質(zhì)以及倒序相加法求數(shù)列的通項公式問題.先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對稱中心，再用換元法得到，最后利用倒序相加法求解數(shù)列的通項公式.2．已知函數(shù)，則的值為（）A．1 B．2 C．2020 D．2021【標準答案】C【思路指引】設(shè)，得到，再利用倒序相加求和得解.【詳解詳析】解：函數(shù)，設(shè)，則有，所以，所以當(dāng)時，，令，所以，故．故選：C【名師指路】方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.3．設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求的值是（）A． B．0 C．59 D．【標準答案】A【思路指引】由題得①，②，兩式相加化簡即得解.【詳解詳析】令①則②①+②可得：，，..故選：A4．已知各項都不相等的數(shù)列，2，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則的所有項的和為（）A．2014 B．2015 C．4028 D．4030【標準答案】D【思路指引】根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓的圓心，得到，利用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解詳析】根據(jù)題意知，圓與圓相交，設(shè)交點為，，圓，圓，相減可得直線的方程為：圓平分圓的周長，直線經(jīng)過圓的圓心，，．的所有項的和為．故選：D【名師指路】方法點睛：求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.5．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則（）．A．2020 B． C．2 D．【標準答案】A【思路指引】由函數(shù)解析式可知，，而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)恰好滿足兩兩互為倒數(shù).因此可以利用函數(shù)特征代入，利用倒序求和解決求和問題【詳解詳析】∵，∴．∵數(shù)列為等比數(shù)列，且，∴．∴，∴由倒序求和可得．故選：A．二、填空題6．若()，則數(shù)列的通項公式是___________.【標準答案】【思路指引】根據(jù)自變量的和為1時，函數(shù)值的和為2，運用數(shù)列的求和方法，倒序相加法求和，計算數(shù)列的通項公式.【詳解詳析】，，兩式相加可得，，所以.故答案為：【名師指路】本題考查倒序相加法求和，重點考查推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.7．已知函數(shù)，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，________.【標準答案】由，求得，根據(jù)數(shù)列是正項等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，結(jié)合倒序相加法求和，即可求解.【詳解詳析】由題意，函數(shù)，可得，又由數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，設(shè)，則，所以，可得，即.故答案為：.【名師指路】倒序相加法求和：如果一個數(shù)列的首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)時，求解這個數(shù)列的前項和，即可采用倒序相加法求解.8．設(shè)函數(shù)，定義，其中，，則__________.【標準答案】【思路指引】計算出，再利用倒序相加法可求得.【詳解詳析】對于函數(shù)，有，即，解得，對任意的，，則，因為，所以，因此，.故答案為：.9．已知數(shù)列，2，3，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則數(shù)列的所有項的和為___．【標準答案】4032【思路指引】根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓的圓心，得到，利用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解詳析】根據(jù)題意知，圓與圓相交，設(shè)交點為，，圓，圓，相減可得直線的方程為：圓平分圓的周長，直線經(jīng)過圓的圓心，，即，的所有項的和為．故答案為：4032．【名師指路】方法點睛：求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.10．設(shè)數(shù)列的通項公式為，利用等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法，可得數(shù)列的前2020項和為___________.【標準答案】【思路指引】由題設(shè)函數(shù)式易得，再由，應(yīng)用倒序相加得，即可求數(shù)列的前2020項和.【詳解詳析】∵，又，∴，∴，∴.故答案為：三、解答題11．在數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列;（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式及的前項和.【標準答案】（1）證明見解析；（2）.【思路指引】（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，則后一項為，所以等式左右兩邊同時減去，化簡即可得到，則可證明結(jié)論.（2）由第（1）問的證明結(jié)果，可以求出數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式，代入中求出，即可通過等差數(shù)列前n項和公式求出.【詳解詳析】解：，變形為：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為公差為1.（2）由（1）可知，，即，所以，所以.【名師指路】本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列求和，涉及到了數(shù)列的構(gòu)造，屬于基礎(chǔ)題.12．已知數(shù)列的前項和為，且，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足….（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，求.【標準答案】（1），（2）【思路指引】（1）利用與之間的關(guān)系即可求得；根據(jù)的函數(shù)性質(zhì)，利用倒序相加法即可容易求得；（2）由（1）中所求，即可求得，利用錯位相減法即可求得.【詳解詳析】（1）因為即當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即是等比數(shù)列，首項為，公比為，；因為，.故….….①+②，得，（2）因為，….①…②①－②得…則，故.【名師指路】本題考查利用的關(guān)系求數(shù)列的通項公式，以及利用錯位相減法和倒序相加法求數(shù)列的前項和，涉及等比數(shù)列前項和的計算，屬綜合中檔題.13．已知函數(shù)，，為數(shù)列的前n項和，求的值.【標準答案】【思路指引】先證明，再利用倒序相加法求和得解.【詳解詳析】因為.所以設(shè)=（1）=（2）（1）+（2）得：，所以=.14．已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.【標準答案】【思路指引】由題得，所以….①….②，兩式相加即得解.【詳解詳析】因為，.故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項公式為.15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函數(shù)f（x）對?x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，數(shù)列{bn}滿足+f+f（1）.（1）分別求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）已知數(shù)列{cn}滿足cn＝an?bn，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若存在正實數(shù)k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an對于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范圍.【標準答案】（1），；（2）.【思路指引】（1）利用可求的通項，利用倒序相加法可求的通項.（2）利用錯位相減法求出，再利用參變分離分法可求的取值范圍.【詳解詳析】（1）由可得即.因為，故，因為，故即.（2）.，故，所以，故.又不等式等價于：，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故.16．已知數(shù)列的前n項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足．（1）分別求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請指出的取值范圍，并證明；若不存在請說明理由．【標準答案】（1），；（2）存在，．【思路指引】（1）利用求得，利用倒序相加法求得.（2）利用錯位相減求和法求得，由分離常數(shù)，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解詳析】（1），，，時滿足上式，故（），∵，∴，∵①∴②∴①+②，得，∴.（2）∵，∴，∴①②得，即，要使得不等式恒成立，恒成立，∴對于一切的恒成立，即，令（），則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，所以為所求．17．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.【標準答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）由題意可得：，由即可求解；（2）求出的表達式，由指數(shù)的運算即可求解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.(1)因為點均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，適合上式，所以.(2)因為，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因為，②因為，所以①②，得，所以.18．{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項數(shù)列{}的前n項和為，且.(1)求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項公式；②求的值.【標準答案】(1)，(2)①；②【思路指引】（1）利用等差數(shù)列的通項公式將展開化簡，求得首項，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項的特征，采用錯位相減法求和即可.(1)設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項公式為；由可知：當(dāng)，得，當(dāng)時，，兩式相減得；，即，所以{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故.(2)①，兩式相加，得所以；②，，兩式相減得：，故.19．設(shè)奇函數(shù)對任意都有求和的值；數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明；【標準答案】解：（1），；（2）是等差數(shù)列.【思路指引】（1）根據(jù)，且f（x）是奇函數(shù)，將代入，可求的值，再結(jié)合奇函數(shù)得到．令，即可求得結(jié)論；（2）利用倒序相加法結(jié)合第一問的結(jié)論，求出Sn，進而求出數(shù)列{an}的通項公式，再根據(jù)定義即可證得數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【詳解詳析】解：（1）∵，且f（x）是奇函數(shù)∴∴，故因為，所以．令，得，即．（2）令又兩式相加．所以，故，又．故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【名師指路】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查倒序相加求和，屬于中檔題.20．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）若，，數(shù)列的前項和為，若對一切成立，求的取值范圍．【標準答案】（1）；（2）．【思路指引】（1）計算的值，然