廣東省廣州市蓮花山中學2023-2024學年中考二模數學試題含解析

廣東省廣州市蓮花山中學2023-2024學年中考二模數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示．若沿OM將圓錐側面剪開并展開，所得側面展開圖是（）A． B．C． D．2．已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為5cm，則圓錐的側面積是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm23．如圖，直線m∥n，直角三角板ABC的頂點A在直線m上，則∠α的余角等于（）A．19° B．38° C．42° D．52°4．不等式組的解集是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x≤25．某射擊運動員練習射擊，5次成績分別是：8、9、7、8、x（單位：環(huán)）．下列說法中正確的是（）A．若這5次成績的中位數為8，則x＝8B．若這5次成績的眾數是8，則x＝8C．若這5次成績的方差為8，則x＝8D．若這5次成績的平均成績是8，則x＝86．二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．7．已知是二元一次方程組的解，則m+3n的值是（）A．4 B．6 C．7 D．88．如圖，函數y=﹣2x+2的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C在第一象限，AC⊥AB，且AC=AB，則點C的坐標為（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（3，1）9．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半徑為6，則的長等于（）A．π B．2π C．3π D．4π10．民族圖案是數學文化中的一塊瑰寶．下列圖案中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．我們定義：關于x的函數y=ax2+bx與y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互為交換函數．如y=3x2+4x與y=4x2+3x是互為交換函數．如果函數y=2x2+bx與它的交換函數圖象頂點關于x軸對稱，那么b=_____．12．化簡：________．13．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（﹣6，0），C（0，2）．將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉，使點A恰好落在OB上的點A1處，則點B的對應點B1的坐標為_____．14．一組“數值轉換機”按下面的程序計算，如果輸入的數是36，則輸出的結果為106，要使輸出的結果為127，則輸入的最小正整數是__________．15．已知關于x的方程x2﹣2x+n=1沒有實數根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化簡結果是_____．16．若一次函數y=﹣x+b（b為常數）的圖象經過點（1，2），則b的值為_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）已知：正方形繞點順時針旋轉至正方形，連接.如圖，求證：；如圖，延長交于，延長交于，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出如圖中的四個角，使寫出的每一個角的大小都等于旋轉角.18．（8分）如圖，半圓D的直徑AB＝4，線段OA＝7，O為原點，點B在數軸的正半軸上運動，點B在數軸上所表示的數為m．當半圓D與數軸相切時，m＝．半圓D與數軸有兩個公共點，設另一個公共點是C．①直接寫出m的取值范圍是．②當BC＝2時，求△AOB與半圓D的公共部分的面積．當△AOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時，求tan∠AOB的值．19．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E位于AB兩側的半圓上，射線DC切⊙O于點D，已知點E是半圓弧AB上的動點，點F是射線DC上的動點，連接DE、AE，DE與AB交于點P，再連接FP、FB，且∠AED＝45°．求證：CD∥AB；填空：①當∠DAE＝時，四邊形ADFP是菱形；②當∠DAE＝時，四邊形BFDP是正方形．20．（8分）先化簡，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．21．（8分）某種商品每天的銷售利潤元，銷售單價元，間滿足函數關系式：，其圖象如圖所示．（1）銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？（2）銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于21元？22．（10分）為了解某校九年級男生1000米跑的水平，從中隨機抽取部分男生進行測試，并把測試成績分為D、C、B、A四個等次繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖，請你依圖解答下列問題：（1）a=，b=，c=；（2）扇形統(tǒng)計圖中表示C等次的扇形所對的圓心角的度數為度；（3）學校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，隨機選取兩名男生參加全市中學生1000米跑比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求甲、乙兩名男生同時被選中的概率．23．（12分）某銷售商準備在南充采購一批絲綢，經調查，用10000元采購A型絲綢的件數與用8000元采購B型絲綢的件數相等，一件A型絲綢進價比一件B型絲綢進價多100元．（1）求一件A型、B型絲綢的進價分別為多少元？（2）若銷售商購進A型、B型絲綢共50件，其中A型的件數不大于B型的件數，且不少于16件，設購進A型絲綢m件．①求m的取值范圍．②已知A型的售價是800元/件，銷售成本為2n元/件；B型的售價為600元/件，銷售成本為n元/件．如果50≤n≤150，求銷售這批絲綢的最大利潤w（元）與n（元）的函數關系式.24．先化簡，再求值：÷（a﹣），其中a=3tan30°+1，b=cos45°．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、D【解析】

此題運用圓錐的性質，同時此題為數學知識的應用，由題意蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短，就用到兩點間線段最短定理．【詳解】解：蝸牛繞圓錐側面爬行的最短路線應該是一條線段，因此選項A和B錯誤，又因為蝸牛從p點出發(fā)，繞圓錐側面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項C、D的圓錐側面展開圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點P應該能夠與母線OM′上的點（P′）重合，而選項C還原后兩個點不能夠重合．故選D．點評：本題考核立意相對較新，考核了學生的空間想象能力．2、C【解析】圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2，把相應數值代入,圓錐的側面積=2π×2×5÷2=10π．故答案為C3、D【解析】試題分析：過C作CD∥直線m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，則∠a的余角是52°．故選D．考點：平行線的性質；余角和補角．4、D【解析】由﹣x＜1得，∴x＞﹣1，由3x﹣5≤1得，3x≤6，∴x≤2，∴不等式組的解集為﹣1＜x≤2，故選D5、D【解析】

根據中位數的定義判斷A；根據眾數的定義判斷B；根據方差的定義判斷C；根據平均數的定義判斷D．【詳解】A、若這5次成績的中位數為8，則x為任意實數，故本選項錯誤；B、若這5次成績的眾數是8，則x為不是7與9的任意實數，故本選項錯誤；C、如果x=8，則平均數為（8+9+7+8+8）=8，方差為[3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本選項錯誤；D、若這5次成績的平均成績是8，則（8+9+7+8+x）=8，解得x=8，故本選項正確；

故選D．【點睛】本題考查中位數、眾數、平均數和方差：一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．6、C【解析】

利用加減消元法解這個二元一次方程組.【詳解】解：①-②2，得：y=-2，將y=-2代入②，得：2x-2=4，解得，x=3，所以原方程組的解是.故選C.【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點，解此題的關鍵是把二元一次方程組轉化成一元一次方程，題目比較典型，難度適中.7、D【解析】分析：根據二元一次方程組的解，直接代入構成含有m、n的新方程組，解方程組求出m、n的值，代入即可求解.詳解：根據題意，將代入，得：，①+②，得：m+3n=8，故選D．點睛：此題主要考查了二元一次方程組的解，利用代入法求出未知參數是解題關鍵，比較簡單，是?？碱}型.8、D【解析】

過點C作CD⊥x軸與D，如圖，先利用一次函數圖像上點的坐標特征確定B（0,2），A（1,0），再證明△ABO≌△CAD，得到AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，則C點坐標可求.【詳解】如圖，過點C作CD⊥x軸與D.∵函數y=﹣2x+2的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點，∴當x＝0時，y＝2，則B（0,2）；當y＝0時，x＝1，則A（1,0）.∵AC⊥AB，AC＝AB，∴∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.在△ABO和△CAD中，∠AOB＝【點睛】本題主要考查一次函數的基本概念。角角邊定理、全等三角形的性質以及一次函數的應用，熟練掌握相關知識點是解答的關鍵.9、B【解析】

根據圓周角得出∠AOB＝60°，進而利用弧長公式解答即可．【詳解】解：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴的長＝＝2π，故選B．【點睛】此題考查弧長的計算，關鍵是根據圓周角得出∠AOB＝60°．10、C【解析】分析：根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合．因此，A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項正確；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、﹣1【解析】

根據題意可以得到交換函數，由頂點關于x軸對稱，從而得到關于b的方程，可以解答本題．【詳解】由題意函數y=1x1+bx的交換函數為y=bx1+1x．∵y=1x1+bx=，y=bx1+1x=，函數y=1x1+bx與它的交換函數圖象頂點關于x軸對稱，∴﹣=﹣且，解得：b=﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了二次函數的性質．理解交換函數的意義是解題的關鍵．12、【解析】

根據平面向量的加法法則計算即可【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查平面向量的加減法則，解題的關鍵是熟練掌握平面向量的加減法則，注意平面向量的加減適合加法交換律以及結合律，適合去括號法則．13、（-2，6）【解析】分析：連接OB1，作B1H⊥OA于H，證明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．詳解：連接OB1，作B1H⊥OA于H，由題意得，OA=6，AB=OC-2，則tan∠BOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋轉的性質可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2，∴點B1的坐標為（-2，6），故答案為（-2，6）．點睛：本題考查的是矩形的性質、旋轉變換的性質，掌握矩形的性質、全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．14、15【解析】

分析：設輸出結果為y，觀察圖形我們可以得出x和y的關系式為：，將y的值代入即可求得x的值．詳解：∵當y=127時，解得：x=43；當y=43時，解得：x=15；當y=15時,解得不符合條件．則輸入的最小正整數是15.故答案為15.點睛：考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵.15、﹣1【解析】

根據根與系數的關系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去絕對值符號，即可得出答案．【詳解】解：∵關于x的方程x2?2x+n=1沒有實數根，∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，∴n＞2，∴|2?n|-│1-n│=n-2-n+1=-1.故答案為-1.【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是根據根與系數的關系求出n的取值范圍再去絕對值求解即可.16、3【解析】

把點（1，2）代入解析式解答即可．【詳解】解：把點（1，2）代入解析式y(tǒng)=-x+b，可得：2=-1+b，解得：b=3，故答案為3【點睛】本題考查的是一次函數的圖象點的關系，關鍵是把點（1，2）代入解析式解答．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接AF、AC，易證∠EAC=∠DAF，再證明ΔEAC?ΔDAF，根據全等三角形的性質即可得CE=DF；（2）由旋轉的性質可得∠DAG、∠BAE都是旋轉角，在四邊形AEMB中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE，同理可得∠DAG=∠CNF，由此即可解答.【詳解】(1)證明：連接，∵正方形旋轉至正方形∴，∴∴在和中,,∴∴(2).∠DAG、∠BAE、∠FMC、∠CNF；由旋轉的性質可得∠DAG、∠BAE都是旋轉角，在四邊形AEMB中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE，同理可得∠DAG=∠CNF，【點睛】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質及全等三角形的判定與性質，證明ΔEAC?ΔDAF是解決問題的關鍵.18、（1）；（2）①；②△AOB與半圓D的公共部分的面積為；（3）tan∠AOB的值為或．【解析】

（1）根據題意由勾股定理即可解答（2）①根據題意可知半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，和當O、A、B三點在數軸上時，求出兩種情況m的值即可②如圖，連接DC，得出△BCD為等邊三角形，可求出扇形ADC的面積，即可解答（3）根據題意如圖1，當OB＝AB時，內心、外心與頂點B在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，列出方程求解即可解答如圖2，當OB＝OA時，內心、外心與頂點O在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，列出方程求解即可解答【詳解】（1）當半圓與數軸相切時，AB⊥OB，由勾股定理得m＝，故答案為．（2）①∵半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，此時m＝，當O、A、B三點在數軸上時，m＝7+4＝11，∴半圓D與數軸有兩個公共點時，m的取值范圍為．故答案為．②如圖，連接DC，當BC＝2時，∵BC＝CD＝BD＝2，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDC＝60°，∴∠ADC＝120°，∴扇形ADC的面積為，，∴△AOB與半圓D的公共部分的面積為；（3）如圖1，當OB＝AB時，內心、外心與頂點B在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，則72﹣（4+x）2＝42﹣x2，解得x＝，OH＝，AH＝，∴tan∠AOB＝，如圖2，當OB＝OA時，內心、外心與頂點O在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，則72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，解得x＝，OH＝，AH＝，∴tan∠AOB＝．綜合以上，可得tan∠AOB的值為或．【點睛】此題此題考勾股定理，切線的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形的內心和外心，解題關鍵在于作輔助線19、（1）詳見解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】

（1）要證明CD∥AB，只要證明∠ODF＝∠AOD即可，根據題目中的條件可以證明∠ODF＝∠AOD，從而可以解答本題；（2）①根據四邊形ADFP是菱形和菱形的性質，可以求得∠DAE的度數；②根據四邊形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度數．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示，∵射線DC切⊙O于點D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①連接AF與DP交于點G，如圖所示，∵四邊形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案為：67.5°；②∵四邊形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此時點P與點O重合，∴此時DE是直徑，∴∠EAD＝90°，故答案為：90°．【點睛】本題考查菱形的判定與性質、切線的性質、正方形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用菱形的性質和正方形的性質解答．20、原式=，當m=l時，原式=【解析】先通分計算括號里的，再計算括號外的，化為最簡，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整體代入化簡后的式子，計算即可．解：原式=∵x2+2x-3=0，∴x1=-3,x2=1∵‘m是方程x2+2x-3=0的根，∴m=-3或m=1∵m+3≠0,∴.m≠-3,∴m=1當m=l時，原式：“點睛”本題考查了分式的化簡求值、一元二次方程的解，解題的關鍵是通分、約分，以及分子分母的因式分解、整體代入．21、（1）10，1；（2）．【解析】

（1）將點代入中，求出函數解析式，再根據二次函數的性質求出最大值即可；（2）求出對稱軸為直線，可知點關于對稱軸的對稱點是，再根據圖象判斷出x的取值范圍即可．【詳解】解：（1）圖象過點，，解得．．的頂點坐標為．，∴當時，最大=1．答：該商品的銷售單價為10元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為1元．（2）∵函數圖象的對稱軸為直線，可知點關于對稱軸的對稱點是，又∵函數圖象開口向下，∴當時，．答：銷售單價不少于8元且不超過12元時，該種商品每天的銷售利潤不低于21元．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的性質，解題的關鍵是熟悉待定系數法以及二次函數的性質．22、（1）2、45、20；（2）72；（3）【解析】分析：（1）根據A等次人數及其百分比求得總人數，總人數乘以D等次百分比可得a的值，