力系的簡(jiǎn)化與合成課件

力系的簡(jiǎn)化與合成§2-1力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩1.力對(duì)點(diǎn)的矩力對(duì)點(diǎn)之矩是力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，在空間上，力對(duì)于一點(diǎn)的力矩，取決于三個(gè)要素，既力矩的大小，轉(zhuǎn)向和力與矩心所構(gòu)成平面方位。z

Oyx

×的大小:的方向:

與該力和矩心所構(gòu)成平面的法線方向相同，垂直于所組成的平面；力矩矢量的指向可用右手螺旋法則來(lái)確定。z

yx

ABOh×以矩心O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz設(shè)為方向的單位矢量。設(shè)力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)為力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為,矢徑和力分別表示為:yzxO×

特殊情況，當(dāng)時(shí)，在面上，垂直于面，與軸平行，這正是平面力對(duì)于點(diǎn)力矩的特例。z

O

yx

×2．力對(duì)軸的矩

力對(duì)軸的力矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。

可見，力對(duì)軸的力矩，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于該力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于這個(gè)平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。正負(fù)號(hào)如下規(guī)定：從z

軸正端來(lái)看，該力的投影使得物體繞該軸按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)，則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)?？梢园从沂致菪▌t來(lái)判定。

圖示表明力F

對(duì)固定軸z的矩，可由F

分解為平行于z軸的力Fz

和垂直于z軸的力Fxy

分別對(duì)z軸的力矩和。

Fz

對(duì)軸不產(chǎn)生力矩作用?！痢翆?duì)軸的力矩解：取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)例：如圖求F

對(duì)x,y,z

軸和對(duì)A點(diǎn)的力矩C點(diǎn)坐標(biāo)為(-l,2l,0)C點(diǎn)作用力為:××

對(duì)點(diǎn)A的力矩：ק2-2基本力系----匯交力系和力偶系1．匯交力系

作用于剛體上所有力的作用線都交于一點(diǎn)的力系稱為匯交力系（包括平面匯交力系和空間匯交力系）×1)匯交力系合成幾何法：

設(shè)剛體上作用在同一點(diǎn)的力系F1,F2,…Fn.；它們合成可以根據(jù)平行四邊形法，兩個(gè)力逐個(gè)合成，最后得到一個(gè)通過匯交點(diǎn)A的合力?！?/p>

可以用下面方法求F1,F2,…Fn合力的大小與方向。在空間任取一點(diǎn)a

，先作力三角形求出F1和F2的合力大小和方向?yàn)镕R1，再作力三角形合成FR1和F3得到FR2，依次進(jìn)行，最后合成FR(n-2)和Fn得到FR，這樣形成一個(gè)多邊形abcdef稱為匯交力系力多邊形，矢量af

為力多邊形的封閉邊，它表示匯交力系合力FR的大小和方向，合力的作用線仍通過原匯交點(diǎn)A。各分力的矢量沿著同一方向首尾相接。

構(gòu)成的力多邊形是一個(gè)有缺口不封閉的力多邊形，合力FR矢量則沿著相反方向連接此缺口，當(dāng)改變各分力的矢量的作圖次序，可以得到形狀不同的力多邊形。但合力矢量保持不變?！劣闪Φ姆纸獾酶鞣至κ噶勘磉_(dá)式×

合力方向?yàn)椋汉狭κ福汉狭Φ拇笮。骸亮Χ噙呅巫孕蟹忾]，剛體處于平衡狀態(tài)。此即匯交力系平衡條件。匯交力系的平衡條件匯交力系平衡方程×解：1）幾何法：如圖所示2）解析法將每個(gè)分力寫成矢量形式：例1：一個(gè)物體在O點(diǎn)受力F1，

F2，F(xiàn)3如圖所示，F(xiàn)1=

F2=F3=5N大小為，求合力。選題×例2一個(gè)梁結(jié)構(gòu)如圖，在F力作用下處于平衡狀態(tài)，求A，C支座反力。三力匯交平衡條件：一物體上作用三個(gè)力時(shí)平衡，三力共面和匯交于一點(diǎn)。幾何法×解析法1）取梁為研究對(duì)象2）取坐標(biāo)3）受力分析5）列平衡方程解未知力4）分析力系：平面匯交力系選題×例3直桿AB，AC，AD，用光滑球鉸聯(lián)結(jié)成支架，幾何尺寸如圖，各桿重量不計(jì)，A點(diǎn)作用施加作用力P，確定三桿所受力的大小。1）取整體為研究對(duì)象2）取坐標(biāo)3）受力分析4）分析力系：空間匯交力系×5）列平衡方程解未知力壓力拉力×5）列平衡方程解未知力拉力壓力選題×1）力偶2．力偶系力偶：由大小相等，方向相反，作用線平行而不重合的二力組成的力系。2）力偶三要素力偶矩大小；力偶在作用面的轉(zhuǎn)向；力偶作用面的方位；×3）平面力偶記為：(F,F’)平面力偶為代數(shù)量，兩個(gè)要素決定：力偶矩大小：

符號(hào)由轉(zhuǎn)向決定：逆時(shí)針為正4）平面力偶等效定理同一個(gè)平面的兩個(gè)力偶，如果力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同則兩個(gè)等效?！?/p>

(P

,P′）可以沿著其作用線移動(dòng)到l1,l2上任何一點(diǎn)?！嗔ε伎稍谧饔妹鎯?nèi)任意移動(dòng)，它是自由矢量，與作用點(diǎn)無(wú)關(guān)。平面力偶等效定理證明

在力偶

(F,F′)作用面上，任取兩點(diǎn)A和B，分別過A、B兩點(diǎn)作平行線l1,l2與F,F′二力作用線分別交于C點(diǎn)和D點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD，過C，D兩點(diǎn)，

在CD連線方向上加平衡力Q,Q′,則P=F+Q,P′=F′+Q′,則

(P

,P′）作用結(jié)果等效于(F,F′)的作用結(jié)果?！疗矫嫔蟽蓚€(gè)力偶：力偶矩大小相等；轉(zhuǎn)向相同。兩個(gè)等效×平面上兩個(gè)力偶合成×5）空間力偶

M(F,F′),由(F,F′)二力構(gòu)成為一矢量。方向垂直于(F,F′)作用線所構(gòu)成的平面，其指向由右手法則確定.其大小為:空間力偶等效條件：力偶矩矢相等×如圖所示組成力偶的兩個(gè)力（FA,FB）對(duì)于空間任意點(diǎn)O的矩：大小為

與O點(diǎn)選取無(wú)關(guān)；方向垂直于（FA,FB）組成的平面，指向由確定。表明力偶矩矢量是一個(gè)自由矢量。

×2）力偶系的合成空間力偶系如圖所示，由于力偶矩矢量是自由矢量，所以可以將作用在剛體上的每個(gè)力偶矩矢量平行地移動(dòng)到同一點(diǎn)。力偶系合成與匯交力系的合成方法相似，構(gòu)成匯交矢量系。

×合力偶矢量的大小合力偶矢量的方向

×力偶系的平衡條件力偶多邊形的自行封閉，剛體處于平衡狀態(tài)。此即力偶系平衡條件。匯交力系平衡方程×例4一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的立方體物體上受三個(gè)力偶作用如圖求合力偶。解：1）幾何法：圖示?！?）解析法:將每個(gè)力偶寫成矢量形式：選題×例5梁AB上作用一力偶，力偶矩為M，確定支座反力幾何法×解析法1）取梁為研究對(duì)象2）取坐標(biāo)3）受力分析5）列平衡方程解未知力4）分析力系：平面力偶系選題×例6無(wú)重曲桿ABCD結(jié)構(gòu)如圖，D端為球鉸支座，A端受軸承約束，已知力偶M2,M3

，曲桿處于平衡狀態(tài)，確定

M1和支座反力。解：1）取無(wú)重曲桿ABCD為研究對(duì)象2）建立坐標(biāo)系3）受力分析組成力偶×選題ק2-3力線平移定理力線平移定理：作用在剛體上的力可以平移到剛體的任意一點(diǎn)，但需要附加一個(gè)力偶，此力偶矩等于原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩。證明：設(shè)力F作用在剛體的A點(diǎn),在剛體的任意點(diǎn)B上加平行于F，且構(gòu)成平衡力系的二力F′和F"

，使F=F′=F"

，此時(shí)，

可以看成F′和力偶（F,F"）的作用。而F′和F的大小和方向相同，而作用點(diǎn)不同。（F,F")

的力偶矩滿足：M=M(F,F")=MB(F)×力線平移定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用攻絲時(shí)，必須兩手握住扳手，而且用力應(yīng)該相等。其原因就是F的作用等效于F′和MO的作用效果。這個(gè)力偶的作用是使絲錐轉(zhuǎn)動(dòng)，而力的作用使絲錐變形或折斷。×6個(gè)自由度約束（固定端約束）平面情況ק2-4空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，主矢和主矩1．剛體上作用力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢和主矩已知?jiǎng)傮w上作用的力系為F1,F2,

F3,…Fn，見圖，將各作用力向O點(diǎn)簡(jiǎn)化。

根據(jù)力線平移定理，如將第i個(gè)力向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為一個(gè)力Fi和一個(gè)力偶Mi=Mo(Fi)作用.

這樣形成一個(gè)作用在O點(diǎn)的匯交力系F1

,F2

,

F3

,…Fn

和力偶系M1,M2,M3,…Mn.

×根據(jù)匯交力系合成方法，F(xiàn)1

,F2

,

F3

,…

Fn

的合成結(jié)果是一個(gè)合力FR

,等于原力系的矢量和。稱為主矢根據(jù)力偶系合成方法，M1,M2,M3,…

Mn可以平移到O點(diǎn)，合成結(jié)果是一個(gè)合力偶。即等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和,即等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心之矩的矢量。稱為主矩空間力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為：一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力FR

過簡(jiǎn)化中心，稱為主矢，這個(gè)力偶MO稱為主矩。

×主矩MO與簡(jiǎn)化中心位置有關(guān)主矢FR與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)

×主矢FR解析式：主矢大小主矢方向×主矩MO解析式：×主矩大小主矩方向ק2-5空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果分析簡(jiǎn)化結(jié)果為合力偶。這個(gè)合力偶與原力系等效。因?yàn)榱ε际亲杂墒噶浚ε季厥噶颗c矩心位置無(wú)關(guān)。所以，此時(shí)主矩矢量與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。1.當(dāng)時(shí):2.當(dāng)時(shí):簡(jiǎn)化結(jié)果為合力。這個(gè)合力與原力系等效。這個(gè)合力作用線過簡(jiǎn)化中心。3.當(dāng)時(shí)有下列幾種情況：×

簡(jiǎn)化結(jié)果為不過簡(jiǎn)化中心的合力由加減平衡力系公理，可去掉。將用構(gòu)成力偶的二力代替,二力在垂直于平面內(nèi)，使得：⊥×結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶。這種的力和力偶共同作用效果，稱為力螺旋.過簡(jiǎn)化中心.攻螺紋正是這種結(jié)果。將化為構(gòu)成力偶的二力，可直觀看到這種效果

∥×

將分解為垂直于和平行于的兩個(gè)力偶和

用構(gòu)成力偶的二力代替。且滿足：由加減平衡力系公理，去掉。簡(jiǎn)化結(jié)果為不通過簡(jiǎn)化中心的一個(gè)合力和力偶；即為不通過簡(jiǎn)化中心的力螺旋。

×3.合力矩定理當(dāng)FR⊥MO時(shí)，簡(jiǎn)化結(jié)果為合力。有根據(jù)力對(duì)于點(diǎn)的矩與力對(duì)于軸之矩的關(guān)系，上式向過O點(diǎn)的任意軸投影，可得：有合力矩定理×

合力矩定理：

空間任意力簡(jiǎn)化結(jié)果為合力，合力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和。合力對(duì)于任意軸的矩等于各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。這就是合力矩定理。×主矢主矩主矢與主矩夾角余弦解：

例7圖示一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的立方體物體上受三個(gè)力：F1=5N,F2=5N,F3=5N作用，求合成結(jié)果合成結(jié)果應(yīng)是力螺旋。力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化得：×z

F2

F3

F1