人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章 空間向量與立體幾何（含解析）

人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章空間向量與

立體幾何

一、單選題

1.有以下命題：①若p=xa+y很，則p與a、6共面；②若p與共面，貝!J

p=xa+yb；③若=則尸、M、A、8四點(diǎn)共面；④若P、M、A、8四

點(diǎn)共面，則=+⑤若存在2、"R,使4a+〃b=O,則2=〃=0；⑥

若0、6不共線，則空間任一向量p=Xa+〃6（2、〃eR）.其中真命題是（）

A.①②B.①③C.②③④D.③④⑥

2.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量為。=。,-2,1）,平面a的法向量為

“=（2,3,4）,則（）

A.IllaB.ILaC.Iua或IllaD./與a斜交

3.如圖，在四面體OABC中，04=。，OB=b，OC=c，點(diǎn)”在。4上，且

OM=2M4，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則MN=（).

-2J+L

322

2rlr

C.—a+-b——cD.—a+—b——c

223332

4.如圖所示，在空間四邊形Q4BC中，QA=a,O5="OC=c,點(diǎn)〃在Q4上，且

OM=2MA，N為BC中點(diǎn)，則MN（）

o

A.B.二一+L

232322

221

C.D.——a+—bZ——c

222332

5.已知空間向量4,b，c滿足a+〃+c=0，忖=1,W=2,卜|=,則〃與Z?的夾

角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.a-(2,-1,3),b=(-L4,-2）,c=（3,2,A）,若〃,"c三向量共面，則

實(shí)數(shù)％等于（）

A.2B.3C.4D.5

7.如圖，在平行六面體A3C￡）—A4GA中，=a,AB=b9AD=c，點(diǎn)P在4。

上，且AP:PC=2:3,則AP等于（）

A.2b3322

+—cB.—a+—b7+—c

555555

—+3,322

D.—a——bZ——c

555555

8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為1的正方形，側(cè)棱Q4的長為

2,且Q4與A5,AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則|俞|=（）

p

rV6D,如

45

9.如圖，在直三棱柱A5C—A5]G中，AC=39BC=4,CCl=3,ZACB=90,則

5G與AC所成的角的余弦值為（）

A3A/2y/3r5/2A/5

A.--------D.------C.------D.----

10345

10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在正方體ABC。-ABCQ的對角線82（不含端點(diǎn)）上.設(shè)笑=2,若

L）XD

Z4PC為鈍角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

ABd

-HJ-HJc加-

11.已知點(diǎn)4（3,-1,0）,若向量如=（2,5,-3）,則點(diǎn)2的坐標(biāo)是（）.

A.(1,-6,3)B.(5,4,-3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)

12.如圖，ABC。一EFGH是棱長為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足

312

AP=±AB+-AO+—AE,貝IJP到AB的距離為（）

423

二、填空題

13.如圖所示，在平行六面體ABCO-ABCQ中，AGBR=F,若

AF^xAB+yAD+zAA,,貝ijx+y+z=,

14.在棱長為1的正四面體ABC￡>中，點(diǎn)M滿足AA/=xAB+yAC+(l-x-y)AD,點(diǎn)

N^^DN=ADA當(dāng)AM、￡>N最短時(shí)，AM-MN=.

15.已知4=(0,1,1),b=(1,1,0),C=(1,0,1)分別是平面a,P，y的法向量，則a,p,yM

個(gè)平面中互相垂直的有對.

16.在平行六面體ABCr>-AB[C]￡)]中，設(shè)A8=a,AD=b,AAl=c,用a、b、C作

為基底向量表示.

三、解答題

27r

17.如圖在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為菱形，ZBAD=—,PA=PD,

線段AD的中點(diǎn)且尸E_LCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為直線a.

p

(1)證明：直線。//平面ABC。；

(2)若AB=2PE=2,求二面角A—PD—C的余弦值.

18.四棱錐尸-ABCD,底面為正方形A3CD,邊長為4,E為48中點(diǎn)，尸平面

ABCD.

(1)若4P鉆為等邊三角形，求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)若CO的中點(diǎn)為尸，尸尸與平面ABCD所成角為45。，求PD與AC所成角的大小.

19.如圖，在正方體ABC。-中，E為8月的中點(diǎn).

(I)求證：BC"/平面A，E；

(II)求直線AA與平面ARE所成角的正弦值.

20.如圖，四邊形ABC。中，滿足AB〃C￡>,ZABC=90°,AB=1,BC=^,

CD=2,將.&4c沿AC翻折至ZkRAC,使得PD=2.

(I)求證：平面上4C，平面AC。；

(II)求直線8與平面上M)所成角的正弦值.

21.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)著作，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部，它對幾何學(xué)

的研究比西方要早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直

于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖，在塹堵中，ABA.AC,

AAi=AB=AC=1,M,N分別是CG,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段4蜴上.

(1)若尸為4瓦的中點(diǎn)，求證：/w〃平面AAQC.

(2)是否存在點(diǎn)尸，使得平面PMV與平面ABC所成的二面角為45。？若存在，試確

定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.

參考答案:

1.B

根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可；

【詳解】

解:①正確，由平面向量基本定理可得，若方=+則p與*〃共面；

②不正確，若a均為零向量，p為非零向量，則后式不成立，

③正確，由平面向量基本定理得，

④不正確，若均為零向量，MP為非零向量，則后式不成立，

⑤不正確，若a、b為相反向量時(shí)，a+b=O＞彳=〃=1,

⑥不正確，若a、b不共線，當(dāng)p與a、b所在的平面垂直時(shí)，則后式不成立,

故選：B.

2.C

由心"=0可得a_L〃，所以/ua或〃/a,即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

直線/的方向向量為。=（1,-2,1）,平面a的法向量為“=（2,3,4）,

因?yàn)閍”=（2,3,4）Q-2,l）=2-6+4=0,

所以a_Lw，

所以/ue或Illa,

故選：C.

3.B

由向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

連接0N,則

答案第1頁，共20頁

o

由題可得MN=ON-OM

=1(OB+OC)-1OA

21,1

=——a+—b+—c

322

故選：B.

4.B

由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

17211

MN=ON—OM=—(OB+OC)—OA=—aH—bH—c

23322

故選：B

5.C

將〃+b=_c，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)〃與匕的夾角為e.由〃+b+c=o，得4+。=-°,兩邊平方，得J+2Q2+『=J,

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cos6=；,又。E[0,TT],所以6=60，

故選：C.

6.C

答案第2頁，共20頁

3=2x-y

由〃，瓦c三向量共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(%,y),使得c=M+即<2=-x+4y,從而

2=3x-2y

可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)閍,b,c三向量共面,

所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(工?),使得c=xa+yb,

即（3,2,彳）=x（2,—1,3）+y（-l,4,-2）,

3=2x-yx=2

2=-x+4y,解得<y=i,

A=3x-2y2=4

所以2=4.

故選：C.

7.B

--2

根據(jù)題意得到4尸=二4。，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

2

因?yàn)锳P:PC=2:3,所以=

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法貝I,可得AP=A4+AP=A4,+1(40-44,)=144,+|AC

=|A4I+|(AJB+BC)=|A41+|(AB+A￡>)=|A41+|AB+|A￡),

UUU]JL322

又因?yàn)锳A]=a,AB=b，AD=c，所以4尸二不。+16+不。.

故選：B.

8.A

答案第3頁，共20頁

設(shè)低工，AD=b'=根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出局=；(一。+6+。)，平方后利

用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】

mAB=a，AD=b?AP=c，

因?yàn)锳B=AD=1,PA=2,

所以|/=|百=1，口|=2?

又因?yàn)锳B_LAD,ZPAB=ZPAD=60°,

所以。-6=0，a-c=b-c=2xlxcos600=1.

易得=512+b+c),

1Ip..—1

所以|BMF=—(-q+b+c)2=一a2+b2+c2+2x(-a-b-a-c+b-c)

44L」

=^-X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|,

所以|盛|=乎.

故選：A

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

9.A

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出小，2G的坐標(biāo)，由夾角公式可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

答案第4頁，共20頁

則C（0,0,0）,A（3,0,3）,3（0,4,0）,G（0,0,3）,

所以M=（3,0,3）,3G=（0，T，3），

CA-BC[93忘

所以cos（C4,,BC）=

\CA^BC^~3y/2x5~10

所以直線BG與A。所成角的余弦值為殛.

10

故選：A.

10.C

建立空間直角坐標(biāo)系，

【詳解】

由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-盯z,用坐標(biāo)法計(jì)算，利用NAPC不是平角,

可得NAPC為鈍角等價(jià)于cosNAPC<0,即PAJCvO，即可求出實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

答案第5頁，共20頁

設(shè)正方體ABCD-A耳co的棱長為1,

則有4(1,0,0),30,1,0),C(0,L0),。(0,0,1)

二￡),5=(1,1,-1),.?.設(shè)￡>1戶=(九九-；1),

/.PA=PDl+D1A=(-/l,-/i,2)+(l,0,-l)=(l-A,-2,/l-l),

PC=PD1+￡>1C=(-/l,-A,A)+(O,l,-l)=(-A,l-2,2-l),

由圖知NAPC不是平角，NAPC為鈍角等價(jià)于cosNAPC<0,

PAPC<0>

：.(l-2)(-A)+(-2)(l-2)+(/l-l)2=(2-l)(3A-l)<0,

解得g<2<l

??.X的取值范圍是1,1J

故選：C.

11.B

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得B的坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)。為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，

（9B=CM+AB=（3,-l,0）+（2,5,-3）=（5,4,-3）.

答案第6頁，共20頁

故選：B

12.C

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題

意,計(jì)算出A8和AP的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式

即可求解.

【詳解】

解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則AB=（1,O,O）,A。=（0,1,0）,AE=（0,0,1）,

312

因?yàn)?—AB+—AO+—AE,

423

所以*s\AP-AB\__3

網(wǎng)4

/、2

.APAB

所以點(diǎn)P到AB的距離d=,AP1『2——i~二5

1

Vl網(wǎng)J6

故選：C.

答案第7頁，共20頁

13.2

題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

AF=AB+BBl+BtF=AB+BB,，再將Q轉(zhuǎn)化為AD，以及將Ag轉(zhuǎn)化為AB,

8耳=A4,,總之等式右邊為AB，AD>A4,從而得出x=>=g，z=l.

【詳解】

解：因?yàn)?2+3耳+4歹=48+8耳+342

=A3+即+g(AQ_A耳)

=AB+BB.+-AD--AB

122

=—AB+—AD+A/lj,

又AF=xAB+AD+zAAi，

所以x=y=5，Z=1J

貝UX+y+z=2.

故答案為：2.

要充分利用幾何體的幾何特征，以及將A/=xAB+AD+zAA作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.

根據(jù)題意得到加￡面5c。，NeAB,從而求得AM,DV最短時(shí)，得到M為△BCD的中

心，N為AB的中點(diǎn)，求得AM的長，結(jié)合+由向量的運(yùn)算公式，即可

求得AM-MN的值.

【詳解】

解：因?yàn)锳M=xA3+yAC-(x+y-l)AD,DNXDA-^-\)DB,

可得Me平面BCD,NeAB,

答案第8頁，共20頁

當(dāng)最短時(shí)，入〃，面BC。，且ONLAB,

所以M為△BCD的中心，N為A3的中點(diǎn)，如圖所示,

又因?yàn)檎拿骟w的棱長為1,MB=—x1xcos30=—

33

所以AM=^AC2-MC2=

因?yàn)锳M_1_平面3CD,所以AM-Affi=0,

因?yàn)镸N=A7V-AM=；A3一AM=：(MB-M4)-AM=g(MB+M4

所以4W.MN=gAAT(Affi+M4

=-AM-MA--AM-MB

22

15.0

計(jì)算每兩個(gè)向量的數(shù)量積，判斷該兩個(gè)向量是否垂直，可得答案.

【詳解】

因?yàn)閍?b=(0,1,1)-(1,1,0)=1*0,

a-c=(0,1,1)-(1,0,1)=1^0,

力c=(1,1,0)?(101)=1*0.

所以a,b,c中任意兩個(gè)向量都不垂直，即a,p,y中任意兩個(gè)平面都不垂直.

故答案為：0.

16.a-b-c

答案第9頁，共20頁

根據(jù)空間圖形，根據(jù)向量加，減法的規(guī)則計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

有圖形可知QB=AB—AR=+=AB—AD—朋

=d-b-c?

故答案為：a—b-c

17.(1)證明見解析；(2)立.

(1)由于四邊形A5CD為菱形，所以AZJ//8C,再由線面平行的判定定理可得BC//平面

PAD,再由線面平行的性質(zhì)定理可得。/ABC,再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)由已知條件可證得尸平面45cD,所以以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC,匹,EP所在直線

分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【詳解】

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛3CD為菱形，所以AD//5C,

因?yàn)锳Du平面PAD,3CU平面PAD,

所以8C〃平面PAD.

因?yàn)橹本€。為平面PAD與平面P3C的交線，BCu平面P3C,

所以a/ABC.

因?yàn)?Cu平面ABCD,平面ABCD,

所以。//平面A3CZ).

答案第10頁，共20頁

(2)解：因?yàn)樯?=尸。，點(diǎn)E為線段A。的中點(diǎn)，所以PE_LAD.

因?yàn)槭珽LCD,ADr>CD=D,AD,8u平面ABC。，

所以PE_L平面ABCD.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC,ED,EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=2PE=2,所以尸(0,0,1),D(0,l,0),C(6,0,0),

所以尸￡)=(0』,一1),PC=(6,0,-1).

設(shè)平面尸DC的一個(gè)法向量相=(羽y,z),

?=°即y-z=0,

則有〈

m-PC=0,A/3X-z=0,

取了=若，得加=(1,6,石).

取平面PAD的一個(gè)法向量為〃=(1,。,0).

設(shè)二面角A-PD-C的大小為0,

m-n_V7

所以cos。=

\m\-\n\一7

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查二面角的求法，解題

的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于

中檔題

18.(1)/ABCD=326(2)arccos^-.

36

答案第11頁，共20頁

(1)由棱錐體積公式計(jì)算；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.

【詳解】

(1):正方形A3CD邊長為4,△上4B為等邊三角形，E為48中點(diǎn)，

(2)如圖以叢歷,火為％,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則玖0,0,4),￡>(-2,4,0),

A(—2,0,0),

UUIU

C(2,4,0),PD=(-2,4,-4),AC=(4,4,0),

LILUlUUUl

.八PDAC-8+16+0V2

..COSt)=-HHfi-------HEBfi-=---------------f=—=-----,

\PD\-\AC\6X4V26

即尸￡>與AC所成角的大小為arccos正

6

7

19.(I)證明見解析；(II)

(I)證明出四邊形ABC。為平行四邊形，可得出8G//A。，然后利用線面平行的判定定

理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；

(II)可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建

立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.

【詳解】

(I)［方法一］:幾何法

如下圖所示：

答案第12頁，共20頁

在正方體ABCD-4月GA中，ABH&B\且AB=A瓦，A.BJ/C^且片耳=CR,

.?.4引（2且42=0口，所以，四邊形ABCR為平行四邊形，則BCJ/A。，

8GO平面ARE,AD】u平面ARE,，8G〃平面ARE；

［方法二］:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.AB.AA所在直線分別為x、,、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系A(chǔ)-士,

設(shè)正方體A8C￡>-a4G。的棱長為2,則4（0,0,0）、4（0,0,2）,4（2,0,2）、￡（0,2,1）,

ADt=(2,0,2),AE=(O,2,l),

?-AD.=02x+2z=0

設(shè)平面4￡>IE的法向量為〃=（x,y,z）,由<,得

n?AE=02y+z=0

答案第13頁，共20頁

令z=—2,貝i]x=2,y=l,貝i]〃=（2,1,-2）.

又?.?向量3C]=（2,0,2）,BCfn=2x2+0xl+2x（-2）=0,

又?.860平面4。由，，86//平面42小

（ID[方法一]：幾何法

延長CG到尸，使得C7=BE,連接灰，交3?于G,

又?.?C///BE,.?.四邊形BE/G為平行四邊形，，BG//所，

又?/BCj/ZAD,AD,IIEF，所以平面ADtE即平面AD.FE,

連接2G,作垂足為H,連接出，

FCX±平面44G2,DXGU平面FC]±D,G,

又-/FC,cC,H=G直線D,G1平面C,FH,

又直線D,Gu平面DfiF,：.平面DfiF1平面C}FH,

G在平面1GF中的射影在直線FH上,直線FH為直線FG在平面JGF中的射影，Z

CtFH為直線尸G與平面DfiF所成的角,

根據(jù)直線FCJ!直線AA,,可知/C/"為直線AA與平面ADfi所成的角.

2x12

設(shè)正方體的棱長為則GG=C/=I,〃G=^,，GH=

2,君一君,

_3

FH==石

QH2

sinNC尸”=

FH~3

7

即直線昭與平面A*所成角的正弦值為;.

答案第14頁，共20頁

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面4。也的法向量〃=（2,1,-2）,

..n-AA42

又???懼=（0,0,2）,cos<〃,M>=布=-萬一§，

...直線A4與平面A*所成角的正弦值為;.

[方法三]:幾何法+體積法

如圖，設(shè)耳G的中點(diǎn)為R延長易證三線交于一點(diǎn)P.

因?yàn)樗ˋR,

所以直線AA與平面ADtE所成的角，即直線B「E與平面時(shí)所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,在一尸￡尸中，易得PE=PF=右,EF=應(yīng),

3

可得S.四=]?

1311

由咚棱購一尸M=乙棱黜一旦石尸，-x~=-X—xlxlx2,

整理得與H=§.

所以sin/B]EH=*=；.

所以直線A4與平面ARE所成角的正弦值為:.

答案第15頁，共20頁

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長為2,點(diǎn)4到平面AE2的距離為肌

在△AER中，AE=45,ADt=242,DtE=3,

RE。+AE?一a。；9+5-8_6

cosZAED]=

2RE-AE2x3x0-5

所以sinZAED1=~~，易得$AED,=3.

114

由/…功=匕廠曲，得］S?4耳=］S皿/，解得用二§,

,ch2

設(shè)直線441與平面A石2所成的角為e,所以

/i/LJ

【整體點(diǎn)評】

(I)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明;

(II)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)

學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用

計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為

簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和

幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.

20.(I)證明見解析；(II)姮.

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(I)過8作3OLAC,垂足為0,連尸0,DO,作OELAC,垂足為E,易得

PO1AC,通過勾股定理可得尸0,0。，即可得尸0,平面ACD,進(jìn)而可得結(jié)果;

答案第16頁，共20頁

(II)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面上M)的法向量，利用向量法即可得結(jié)果.

【詳解】

(I)過8作3OLAC,垂足為0,連P0,D0,則POLAC,

作DE1,AC,垂足為E,則。后=班，O￡=|,。。=半

所以"+綸=由,即尸O_LOD

又ACcDO=O,所以尸0_L平面ACD,

又尸Ou平面PAC,

所以平面PAC_L平面ACD；

P

(II)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc,BO所在的直線為％,y軸建立空間直角坐標(biāo)系

則cf|,o,o\P0,0,3，

AD=(1,AO),AP=g,o,與

AP-n=—a+c=0

設(shè)平面PAD的法向量為〃=(〃,b,c),則22