廣東省揭陽市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)點(diǎn),P為曲線上動點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.3.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.4.設(shè),為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件5.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動點(diǎn)滿足,,則動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心6.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行7.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.68.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.11.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件12.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項(xiàng)和,則()A.0 B.1 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為____.14.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn),過F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則C的離心率為________.15.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.18.(12分)如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.19.(12分)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列中最小的項(xiàng).20.(12分)已知()過點(diǎn),且當(dāng)時,函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.21.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,若同時滿足下列四個條件中的三個:①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)22.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于??碱}.2、C【解析】

設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時,,時,,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.3、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為增函?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運(yùn)算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.5、B【解析】

解出,計(jì)算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.6、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點(diǎn)睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項(xiàng)滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項(xiàng)積等).8、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,則當(dāng)時,,單減,當(dāng)時,,單增;當(dāng)時,,,當(dāng),,當(dāng)時,單減,當(dāng)時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時,得,解得;當(dāng)與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題10、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)椋詧A心到的距離為:,即,因?yàn)?,所以解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.11、B【解析】

解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧?,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.12、D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計(jì)算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項(xiàng)分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

(1)先算出正四面體的體積,六面體的體積是正四面體體積的倍,即可得出該六面體的體積;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切時,求出球的半徑,再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個三角形面積是,由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的,可求出該四面體的高為,故四面體體積為,因此該六面體體積是正四面體的2倍,所以六面體體積是;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切時,由于圖像的對稱性,內(nèi)部的小球要是體積最大,就是球要和六個面相切,連接球心和五個頂點(diǎn),把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為,所以,所以球的體積.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算,考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下,其體積達(dá)到最大,考查運(yùn)算求解能力.14、2【解析】

求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到的等式,從而可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離,從而得出一個關(guān)于的等式.15、【解析】

先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時,切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時,,的圖象有交點(diǎn),此時,與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.16、,,【解析】

化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系,通過平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫?,所以平?因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時,的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設(shè),記中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則令,得.設(shè)平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】

(1)由可得出,兩式作差可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列的單調(diào)性,由此可求得數(shù)列的最小項(xiàng)的值.【詳解】(1)對任意的,由得,兩式相減得,因此,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2)由(1)得,則.當(dāng)時,,即,;當(dāng)時,,即,.所以,數(shù)列的最小項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng),同時也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1);(2).【解析】

試題分析:(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為,則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得:,結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析:(1)由函數(shù)取得最大值1,可得,函數(shù)過得,,∵,∴,.(2),,,值域?yàn)?21、(1)①,③,④或②,③,④;(2).【解析】

(1)由①可求得的值,由②可求出角的值,結(jié)合題意得出,推出矛盾,可得出①②不能同時成為的條件,由此可得出結(jié)論;(2)在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應(yīng)的邊和角,然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】(1)由①

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