選修2-1 圓錐曲線公式大全(高中珍藏版)

圓錐曲線公式大全

1、橢圓的定義、橢圓的標準方程、橢圓的性質(zhì)

橢圓的圖象和性質(zhì)

橢圓定義若Af為橢圓上任意一點，則有|MFi|+|MF2|=2a

焦點位置X軸y軸

Jv

h

圖形VpJx

馬+QVJ?

標準方程R落1

/b2

焦點坐標B(-C,0),F2(C,0)Fi(0,-c,),F2(0,c)

焦距|FR|=2c

頂點坐標(土a,0),(0,±6)(0,±a),(±6,0)

a,b,c的關系式a2=b2+c2

長軸長=2a,短軸長二2。，長半軸長二a,短半軸長二。

長、短軸

無論橢圓是x型還是y型，橢圓的焦點總是落在長軸上

對稱軸關于X軸、y軸和原點對稱

離心率e=-(0<e<1),離心率越大，橢圓越扁，反之，越圓

a

范圍-a<x<a,—h<y<b-b<x<b,-a<y<a

2、判斷橢圓是x型還是y型只要看X?對應的分母大還是丁對應的分母大，若/對應的分

母大則x型，若/對應的分母大則y型.

22

3、求橢圓方程一般先判定橢圓是x型還是y型，若為x型則可設為二+二=1,若為y

a2b2

22

型則可設為二+j=l,若不知什么型且橢圓過兩點，則設為稀里糊涂型：mx2+ny2=l

a2h2

4、雙曲線的定義、雙曲線的標準方程、橢圓的性質(zhì)

雙曲線的圖象和性質(zhì)

若M為雙曲線上任意一點，則有|-|M以=2a(2a<2c)

雙曲線定義若||M^|-|ME,|=2?=2c,則點M的軌跡為兩條射線

若惘用―|M以=2a>2c,則點M無軌跡

焦點位置X軸y軸

lw|

圖形lw

A\X

//小N

尤2y2

標準方程kU

焦點坐標Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(O,-c,),F2(0,c)

焦距|FIF2|=2c

頂點坐標(土a,0)(0,±a)

橢圓形狀長的像a,所以a是老大，a2=b2+c2；

a,h,c的關系式

雙曲線形狀長的像c,所以c是老大，=a2+b2

實軸長=2々，虛軸長二26,實半軸長二a,虛半軸長二b

實軸、虛軸

無論雙曲線是x型還是y型，雙曲線的焦點總是落在實軸上

對稱軸關于X軸、y軸和原點對稱

離心率e=—(e>1)

a

范圍a<x或x<-a,y￡Ra<y或y<-a,xeR

,b,a

漸近線y=±-xy=±—x

ab

2、判斷雙曲線是x型還是y型只要看一前的符號是正還是>2前的符號是正，若一前的符

號為正則x型，若丫？前的符號為正則y型，同樣的，哪個分母前的符號為正，則哪個分母

就為"

3、求雙曲線方程一般先判定雙曲線是x型還是y型，若為x型則可設為二―二=1,若

a2h2

為y型則可設為與若不知什么型且雙曲線過兩點，則設為稀里糊涂型:

ab~

rwc-ny2=1(〃?〃<0)

6、若已知雙曲線一點坐標和漸近線方程y=s,則可設雙曲線方程為

22

丁-mx=2(2豐0)，而后把點坐標代入求解

7、橢圓、雙曲線、拋物線與直線l:y=kx+b的弦長公式：

=J(*+D(X—必)2

22

\AB\=7U+I)U,-X2)

8、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問題出現(xiàn)弦的中點往往考慮用點差法

9、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問題的解題步驟：

(1)假化成整(把分式型的橢圓方程化為整式型的橢圓方程)，聯(lián)立消y或x

(2)求出判別式，并設點使用偉大定理

(3)使用弦長公式

1、拋物線的定義：平面內(nèi)有一定點尸及一定直線/(F不在/上)尸點是該平面內(nèi)一動點，當

且僅當點P到F的距離與點P到直線/距離相等時,那么尸的軌跡是以尸為焦點，/為準線

的一條拋物線.-------見距離想定義!!!

2、(1)拋物線標準方程左邊一定是x或y的平方(系數(shù)為I),右邊一定是關于x和y的一

次項，如果拋物線方程不標準，立即化為標準方程！

(2)拋物線的一次項為x即為x型，一次項為y即為y型！

(3)拋物線的焦點坐標為一次項系數(shù)的四分之一，準線與焦點坐標互為相反數(shù)！一次項為

x,則準線為'*=多少”，一次項為y,則準線為“y=多少”！

(4)拋物線的開口看一次項的符號，一次項為正，則開口朝著正半軸，一次項為負，則開

口朝著負半軸！

(5)拋物線的題目強烈建議畫圖，有圖有真相，無圖無真相！

3、求拋物線方程，如果只知x型，則設它為>2=ax(aw0),a>o,開口朝右；a<0,開口朝左；

如果只知y型，則設它為Y=ay(aw0)聲>o,開口朝上；a<0,開口朝下。

4、拋物線簡單的幾何性質(zhì)：

標準方程圖形頂點對稱軸焦點準線離心率

y

I\朋

T=-之

（0.0）X軸e=l

一

仿》。）。\2

丁=2"

(號。

(0.0)X軸g,l

仿＞。)12

勺一

（0.0）y軸y=--e=l

AJ2

上>。）。X

----/

/=-2pyX--------1

0（。聞

（0.0）了=巴e=1

y軸Z2

仿)。)/

（尤其對稱性的性質(zhì)要認真研究應用，經(jīng)常由線對稱挖掘出點對稱，從而推出垂直平分等潛

在條件?。?/p>

1、拋物線的焦點弦，設P（X1,yJ,Q（X2,%）,且P,Q為拋物線V=2px經(jīng)過焦點的一條弦:

（1）P（X[J]）,Q（X2J2）兩點坐標的關系:X%=-〃2，％入2=￡-

（2）焦點弦長公式：|尸。=（西+*,）+〃=3—（其中a為直線PQ的傾斜角大小）

sin-a

（3）垂直于對稱軸的焦點弦稱為是通徑，通徑長為2P

5、（1）直線與橢圓一個交點，則直線與橢圓相切。

（2）直線與雙曲線一個交點，則考慮兩種情況：第一種是直線與雙曲線相切；第二種是

直線與雙曲線的漸近線平行。

（3）直線與拋物線一個交點，則考慮兩種情況：第一種是直線與拋物線相切；第二種是

直線與拋物線的對稱軸平行。

（4）直線與拋物線的位置關系，理論上由直線方程與拋物線方程的聯(lián)立方程組實解的情

況來確定，實踐中往往歸納為對相關一元二次方程的判別式△的考察：直線與拋物線交于不

同兩點OA>0；直線與拋物線交于一點。A=0（相切）或直線平行于拋物線的對稱軸;

直線與拋物線不相交OA<0

6、判斷點與拋物線、橢圓位置關系：先把方程化為標準式，而后把點代入，若大于，線外,

等于線上，小于線內(nèi)。

7、在研究直線與雙曲線，直線與橢圓，直線與拋物線位置關系時，若已知直線過一個點

（%,%）時，往往設為點斜式：y-%=女（%-%）,但是尤其要注意討論斜率不存在的情

況！??！斜率不存在則設為x=

11、用點差法解決雙曲線的弦的中點問題，一定要記得把所求出的直線方程與雙曲線方程聯(lián)

立消去y求出判別式，檢驗判別式如果小于0,則直線不存在?。?！

1、橢圓上的一點到橢圓焦點的最大距離為a+c,最小距離為a-c,橢圓上取得最大

距離和最小距離的點分別為橢圓長軸的兩個頂點。

2、判斷過已知點的直線與拋物線一個交點直線條數(shù)：

(1)若已知點在拋物線外，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有三條：相

切兩條，與對稱軸平行一條。

(2)若已知點在拋物線上，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有兩條：相

切一條，與對稱軸平行一條。

(3)若已知點在拋物線內(nèi)，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有一條：相

切0條，與對稱軸平行一條。

(1)動點的軌跡方程。

3、求點的軌跡的五個步驟：

(1)建立直角坐標系(在不知點坐標的情況下)。

(2)設點：求什么點的軌跡就只能把該點設為(x,y),不能設為其它形式的坐標?。。?/p>

(3)根據(jù)直接法、代入法、定義法列出x和y的關系式。

(4)化簡關系式。

(5)看看題目有沒有什么限制條件，根據(jù)限制條件寫出x或y的范圍?。?！易錯?。?！

7、過橢圓內(nèi)部的一個點的直線必與橢圓相交，過雙曲線或拋物線內(nèi)部的一個點的直線

與雙曲線或拋物線至少有一個交點：與雙曲線的漸近線平行，一個交點；不平行，

兩個交點；與拋物線的對稱軸平行，一個交點；不平行，兩個交點。

探究圓錐曲線中離心率的問題

離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性

質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面給同學們介紹常用

的四種解法。

一、直接求出a、c,求解e

已知標準方程或a、c易求時，可利用離心

率公式e，來求解。

a

例1.過雙曲線C：x2_1=l(b>0)的左頂點A作

b-

斜率為1的直線/,若/與雙曲線M的兩條漸近線

分別相交于點B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M

的離心率是()

A.癡B.指C.巫D.

3

2

分析：這里的a=l,c=^77,故關鍵是求出b2,

即可利用定義求解。

解：易知A(-l,0),則直線/的方程為y=x+l。

直線與兩條漸近線產(chǎn)』和丫山的交點分別為

B(-占匕、CQ,2,又|AB|=|BC|,可解得b2=9,

b+1b+lb-1b-1

則。=而故有e、=可，從而選A。

a

二、變用公式，整體求出e

例2.已知雙曲線=l(a>0,b>0)的一條漸近

線方程為廣刎則雙曲套的離心率為()

A.3B.C.2D.3

3342

分析：本題已知工不能直接求出、

ag3,ac,

可用整體代入套用公式。

解：由（其中

aaVa-Vak

為漸近線的斜率）。這里，3則e，=、記"，從

a3aV33

而選Ao

三、第二定義法

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知

離心率e是動點到焦點的距離與相應準線的距離

比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問

題。

例3.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸

的弦長為正，焦點到相應準線的距離為1,則該

橢圓的離心率為（）

…B.*C.1D.孝

解：由過焦點且垂直于長軸的弦又稱為通

徑，設焦點為F,則MF_Lx軸，知|MF|是通徑的一

半，則有IMFN4。由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得離心

率e=立，從而選B。

d2

四.構造a、c的齊次式，解出e——用焦點

三角形求離心率

根據(jù)題設條件，借助a、b、c之間的關系，

構造出a、c的齊次式，進而得到關于e的方程,

通過解方程得出離心率e的值，這也是常用的一

種方法。，

例4.已知耳、F2是雙曲線"WTVZ

與一營=l（a>0,b>0）的兩焦點，以線段一

F1F2為邊作正AMEB，若邊M耳的中點在雙曲線上，

則雙曲線的離心率是（）

A.4+2gB.V3-1C.sD,6+1

2

解：如圖，設|OFJ=c,M耳的中點為P,則點P的

橫坐標為-f，由|PFJ=g|FEI=c，由焦半徑公式

|PF||=-ex-a，BPc=--x(--)-a9c2—2a2—2ac=0,e?-2e-2=0,

a2

解得e=l+g,e=l一百(舍去)，故選D。

練一練

設橢圓的兩個焦點分別為Fi、F2,過F2作橢

圓長軸的垂線交橢圓于點P,若明PF,為等腰直角

三角形，則橢圓的離心率是（D）

A.孝B.鋁C.2—痣D.

V2-1

解：由沙4=2,

化為齊次式e2+2e-l=0ne=>/2-1

高考試題分析

1.（2009全國卷I）設雙曲線￡.1=1（a>0,b>

ab

0）的漸近線與拋物線尸x?+l相切，則該雙曲線

的離心率等于（C）

(A)百(B)2(C)V5

（D）76

解：漸進線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設

切點a”。），則切線的斜率為yl『=2x°.由題意有

為=2x°又％=k+1

由題雙曲線,戶1（心。，心。）的一條漸近線方程為

產(chǎn)竺，代入拋物線方程整理得3—Z>x+a=0,因漸近

a

線與拋物線相切，所以方2-442=0,即,2=5/?國

2.（2009浙江理）過雙曲線馬一］=1（a>0,Z?>0）的右頂

ab

點A作斜率為一1的直線，該直線與雙曲線的兩條

漸近線的交點分別為及C.若=則雙曲線的

離心率是（）

A.y/2B.g

C.y/sD.Vio

答案：C

【解析】對于A?。），則直線方程為x+y-a=0,直線

與兩漸近線的交點為B,C,從二，04。（二,一4）,

（Q+匕a+b）a-ba-b

BC=（已=

u,-hQ—h1a+ba+bJ

因止匕2A5=3C,.〔4a2=b\:.e=y/5.

3.（2009浙江文）已知橢圓=1（a>/?>0）的左焦

點為F,右頂點為A,點B在橢圓上，且3fx軸，

直線加交y軸于點P.若4P=2如則橢圓的離心率

是（）

【解析】對于橢圓，因為AP=2PB,則

OA=20F,a=2c,.\e=—

2

4.（2009山東卷理）設雙曲線=i的一條漸近

線與拋物線y=x^+l只有一個公共點，則雙曲線

的離心率為（）.

A.2B.5C.正D.V5

42

【解析】：雙曲線馬-4=］的一條漸近線為產(chǎn)砥,由

aba

b

方程組消去y,得d一生+1=0有唯一解，所以△

a

J=X2+1

所以"2,e=￡=亞運=\"）2=6,故選D

aaa\a

5.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為理的是

2

（A）《上=i（B）工上=1（C）JJi（D）

244246

Yy2-1

410

［解析］由小奪得展沁斗弓與斗選B

2a22a2

6.（2009江西卷文）設片和工為雙曲線

￡-1=1（。>0/>0）的兩個焦點，若與B，P（0,2Q是正三

ab

角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為

A.3B.2C.2

22

D.3

【解析】由tan"9由有3c2=4b2=4(c2-a2),則e，=2,故

6263a

選B.

7.(2009江西卷理)過橢圓m+1=i(a>“o)的左焦

a~b

點片作X軸的垂線交橢圓于點P，鳥為右焦點，若

/月尸舄=60，則橢圓的離心率為

A.正B.且C.1

232

D.1

【解析】因為P(-c,±—),再由〃桃=6()有史=2/從而

aa

可得e，=3,故選B

a3

8.(2009全國卷H理)已知雙曲線。W一￥=1(?！?,“0)

ab"

的右焦點為乙過/且斜率為目的直線交C于

43兩點，若而=4而，則C的離心率(A)

A.eB.1C.9D.?

5585

9.(2008福建理11)雙曲線營=1(a>0,b>0)

的兩個焦點為￡、尻若P為其上一點，且

I陽|二2|陽I,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)

A.(1,3)B.(i,3]C.(3,+oo)

D.[3,+oo)

利用第二定義及焦半徑判斷公?

10.(2008湖南理8)若雙曲線。[=1(a>0,b

ab

>0)上橫坐標為的2的點到右焦點的距離大于它

到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是

(B)

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,5)D.

(5,+J

解析：利用第二定義吟--7)>~2+7-，整理得3e-5e-2>0

11.(2008江西理7)已知小鳥是橢圓的兩個焦

點，滿足的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓

離心率的取值范圍是(C)

A.(o,i)B.(o,1]C.(0當D.吟,i)

解析：滿足何跖=。的點M總在橢圓內(nèi)部，所

以c<b.

12.(2008全國二理9)設心1,則雙曲線/品=i

的離心率e的取值范圍是(B)

A.(0,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,石)

13.(2008陜西理8)雙曲線鳥―1=1(a>0,b>0)

ab

的左、右焦點分別是G，F(xiàn)2,過々作傾斜角為30的直

線交雙曲線右支于M點，若g垂直于x軸，則雙

曲線的離心率為(B)

A.瓜B.百C.夜D.正

3

14.(2008浙江理7)若雙曲線的兩個焦

點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離

心率是(D)

(A)3(B)5(C)6

(D)V5

15.(2008全國二文11)設4既是等腰三角形，

4BC=12O,則以AB為焦點且過點C的雙曲線的離

心率為(B)

A.B.泊C.i+V2D.1+6

22

16.(2008湖南文10)雙曲線=1(。>O,b>0)的

右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距

離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是

C

A.（i,V2]B.忘+8）C.（i,V2+i]

D.[V2+1,+OO）

利用焦半徑公式及〃，解不等式即可。

17.（2007全國2理）設不工分別是雙曲線.一營的

左、右焦點，若雙曲線上存在點A,使〃A6=90且

|叫=3席則雙曲線的離心率為（B）

A.近B.巫C.史D.石

222

解產(chǎn)一整=2卷=2%0竿？e叵

t（AK）2+（AK）2=（2C）2M2

18（07全國2文）.已知橢圓的長軸長是短軸長

的2倍，則橢圓的離心率等于（D）

A1@C1@

32

*3-B.*2-D.

19（07江蘇理3）.在平面直角坐標系g中，雙

曲線中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方

程為x-2y=（）,則它的離心率為（A）

A.6B.亞

2

C.V3D.2

（注意焦點在y軸上）

20.設用居分別是橢圓￡+1=1仁＞。＞。）的左、右

焦點，若在其右準線上存在P,使線段"的中垂線

過點工，則橢圓離心率的取值范圍是（D）

A.卜當B."C.g1]D.⑼

I2」I3][2）[3J

O2出

&一=2c?巴3c?e史

2c3

21（07湖南文）.設與居分別是橢圓1+I=i（a>o>o）

ab

的左、右焦點，P是其右準線上縱坐標為Gc（C為

半焦距）的點,且咯H&P，則橢圓的離心率是

（D）

A.巫B.1C.旦D.克

2222

22（07北京文4）.橢圓與1=1（”〃>0）的焦點為

ab~

F2,兩條準線與X軸的交點分別為若

|MN|W2閨用，則該橢圓離心率的取值范圍是

（D）

A.riiB.fo出]c.ri.il

I0,2」I2JL2）

D.臼

L2

23.（2009重慶卷文）已知橢圓!+小=1（?>&>0）的左、

右焦點分別為61,。）,口c,。），若橢圓上存在一點P使

則該橢圓的離心率的取值范圍

為.

【答案】(顯川)

.解法1，因為在中，由正弦定理得

PF2_PF.

sinPFiF2sinPF2F1

則由已知,得會備即…

設點(%，》0)由焦點半徑公式，得

】=a+Uc(?-ex)

PFex(),PF2-a-ex()貝a(a+ex())=0

記得/=I="由橢圓的幾何性質(zhì)知

e(c-a)e(e+l)

%>一〃則3>/,整理得

e(e+1)

e2+2e—l>0,解得e〈一收一1或e<0一1,又ee(O,l),故橢

圓的離心率ee(afl)

24.(2009湖南卷理)已知以雙曲線C的兩個焦點

及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內(nèi)

角為60",則雙曲線C的離心率為半

【解析】連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三

角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是

》,cQ是虛半軸長，c是焦半距)，且一個內(nèi)角是30。，

即得2=tan30。，所以c=6b,所以a=6b,后心率

C

cg展

P-__=,—______

一。一夜一2

25.(2008全國一理15)在中，AB=BC,

COSB-2.若以4B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢

=Io

圓的離心率e=.1

O

26(2010遼寧文數(shù))設雙曲線的一個焦點為八

虛軸的一個端點為5,如果直線即與該雙曲

線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離

心率為

(A)&(B)6(C)小1(D)

2

V5+1

2

解析：選D.不妨設雙曲線的焦點在x軸上，

設其方程為：3=1(。>03>0)，

a"b~

則一個焦點為F(c,O),B(O^)

一條漸近線斜率為：3直線用的斜率為：

ac

/.—?(--)=-1,/.b1=ac

ac

。2一人四=0,解得e=￡=^.

a2

27(2010四川理數(shù))(9)橢圓5+方=l(a>b>0)的右

焦點F,其右準線與x軸的交點為A,在橢圓上存

在點尸滿足線段AP的垂直平分線過點?則橢

圓離心率的取值范圍是

（A）[，用（5）（o,；（C）

（。）刖

解析：由題意，橢圓上存在點P,使得線段AP

的垂直平分線過點?

即F點到P點與A點的距離相等

ffi|M|=—-C=—,\PF\\_a-ca+c\,于

ccy

是貴

cG[a—c,a-\-c]

BP6ZC-c2^Z?2^tzc+c2

c

???[""2W22n卜—一41,又e￡（o,1）故

[a—Yac+c￡<_i或g—

a2

答案：D

OQ（2010廣東文數(shù)）7.若一個橢圓長軸的長度、

Zo

短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心

率是

A.aB.3C.2

555

D.1

5

解：設長軸為2a,短軸為26,焦距為二，則2a+M=2x2i

即a+c=26=（.+c）*=4b*=4（a-c2）

整理得：5c，+2ac-3a，=0,即5e，+2e-3=0ne=g或e=-l（舍），選B

（2010全國卷1文數(shù)）（16）已知F是橢圓c的一

個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延

長線交C于點D,且馀=2器，則C的離心率

為.

f【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾

何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形

結合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點:

“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利1

用幾何性質(zhì)可尋求到簡化

問題的捷徑.[o'C

22

【解析1】如圖y\BF\=y/b+c=a,

作即”軸于點Di,則由

UUUUL4日

BF=2FD,倚

\OF\\BF\

=g,所以31=||"1=3

\DD}\\BD\

即夕與由橢圓的第二定義得3…得

又由IS=2|EDI,a=2。一^^,=e=

a3

【解析2]設橢圓方程為第一標準形式

設°仁,%），F(xiàn)分BD所成的比為2,

0+2x,33b+2y3y-b30-b

—Xy——x——c;y—2—==I,代入

1+2~2°2°1+2222

6

綏+駕=1,e=——

4/4b23

（2010全國卷1理數(shù)）

解法二設/"。=。，則5=7,由靛=2板可知圈=匿*片=2,解得一當

（2010遼寧理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）

設橢圓C：與+]=1（。>1>0）的左焦點為F,過點F

ab

的直線與橢圓C相交于A,B兩點，直線1的傾