第11講 用空間向量研究距離、夾角問題11種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第11講用空間向量研究距離、夾角問題11種常見考法歸類會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值；會用向量法求點點、點線、點面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.知識點1空間距離及向量求法分類點到直線的距離點到平面的距離圖形語言文字語言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：實質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度．注意點：(1)兩條平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點，則該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離．(2)如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解．(3)如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內(nèi)任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解．知識點2空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關(guān)系．直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)兩個平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角．思考：（1）兩個平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．二面角的平面角范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角．1、用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．2、求點到平面的距離的四步驟注：線面距、面面距實質(zhì)上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．3、基向量法求異面直線的夾角的一般步驟(1)找基底．(2)用同一組基底表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值．(4)結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角．4、用空間向量法求異面直線夾角的步驟(1)確定兩條異面直線的方向向量．(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．(3)得出兩條異面直線所成的角．5、求直線與平面所成角的思路與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟：①建立空間直角坐標系；②求直線的方向向量eq\o(AB,\s\up7(→))；③求平面的法向量n；④計算：設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|n|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|).6、向量法求兩平面的夾角(或其某個三角函數(shù)值)的三個步驟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：①建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出相?yīng)點的坐標；②求出兩個半平面的法向量n1，n2；③設(shè)兩平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時.))[注意]若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解．7、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度．這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性．考點一：求點到直線的距離例1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點，則點到直線的距離為_____________．變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．變式2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．變式3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．變式4．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.變式5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．(1)求證：；(2)若點到直線的距離為，求的值．考點二：求點到平面的距離例2．（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點，為的中點，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．變式3．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．變式4．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，.

(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.變式5．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．(1)求；(2)求點B到平面PAM的距離．變式6．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．考點三：求兩平行平面的距離例3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．變式1．（2023春·高二課時練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．變式3．（2023春·高二課時練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．變式4．【多選】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為1，點分別是的中點，滿足，則下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離是B．點到平面的距離為C．平面與平面間的距離為D．點到直線的距離為考點四：求兩條異面直線的距離例4．【多選】（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為變式1．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形中，，，，．(1)求證：；(2)求異面直線與的距離；(3)求二面角的大?。兪?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是______．變式4．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．考點五：求異面直線所成的角例5．（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校校考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，BD，的中點，則與FG所成的角的余弦值為______.

變式1．（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，，M為棱PC的中點，則異面直線AC，BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式3．（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.變式4．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點到平面AEF的距離．變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點，為直線上的異于點的動點，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．變式6．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，則線段的長為____________考點六：已知線線角求其他量例6．（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.(1)求證：平面.(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.變式1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點.

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.變式2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點是線段上的動點.(1)證明：平面平面；(2)若點在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.變式3．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線段的中點，是線段上一點（不與兩點重合），且．若直線與所成角的余弦值是，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內(nèi)運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為___________.考點七：求直線與平面所成的角例7．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．變式1．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，E在線段上，且.

(1)求證：平面DBE；(2)求直線與平面DBE所成角的正弦值.變式2．（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱錐P－ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，過點P作PD⊥平面ABC，垂足為，過點作平面，垂足為，連接并延長交于點．

(1)證明：起的中點．(2)求直線與平面夾角的正弦值．變式4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點，求直線與平面所成角的正弦值．變式5．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖①，在中，B為直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF將折起，使，得到如圖②的幾何體，點D在線段AC上．

(1)求證：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．變式6．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點M在直線上，求直線AB與平面所成角的正弦值的最大值.考點八：已知線面角求其他量例8．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟w，點為中點，直線交平面于點.

(1)證明：點為的中點；(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.變式1．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、分別是正方體的棱、的中點，求：

(1)與所成角的大小；(2)二面角的大小；(3)點在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請判斷點的位置，并說明理由.變式2．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點E在線段上滿足，求二面角的余弦值.變式3．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，D為AB的中點，，．

(1)若，證明：平面；(2)若直線與平面所成角為，求的值；變式4．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，的中點為.

(1)證明：直線平面；(2)若，當直線與平面所成的角最大時，求三棱錐的體積.變式5．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E為BC的中點，F(xiàn)為邊PC上的一個點.

(1)求證:平面AEF⊥平面PAD；(2)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成角的正切值的最大值為，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.變式6．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，且，，且，且.平面，.

(1)求平面與平面的夾角的正弦值；(2)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長.考點九：求兩平面的夾角（二面角）例9．（2023·吉林四平·四平市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．變式1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點為的中點，點為的中點.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.變式2．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.變式3．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.變式4．（2023春·四川瀘州·高二瀘縣五中?？计谀┤鐖D，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；(2)若，求銳二面角的大小.變式5．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．考點十：已知面面角求其他量例10．（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱中，，為棱的中點，點在線段上，且．

(1)證明：．(2)若二面角的余弦值為，求的值．變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．變式3．（2023春·湖南郴州·高二?？计谀┱庵?，為的中點，點在上.

(1)證明：平面；(2)若二面角大小為，求以為頂點的四面體體積.變式4．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點A到達點P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當二面角的平面角的正切值為時，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．考點十一：立體幾何中的探索性問題例11．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱上的點．(1)證明：；(2)在棱A1B1上是否存在一點M，使得異面直線MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說明理由．變式1．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點.

(1)求證：平面(2)確定在線段上是否存在一點P，使得AP與平面所成角為，若存在，求出的值;若不存，說明理由.變式2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點，且.

(1)求證：；(2)若點是線段上一動點，求直線與平面所成角的取值范圍.變式3．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；(3)線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．變式4．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知是直角梯形，，，，C、D分別為BF、AE的中點，，，將直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小為60°，如圖2所示，設(shè)N為BC的中點.

(1)證明：；(2)若M為AE上一點，且，則當為何值時，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為.變式5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面ABCD為梯形的多面體中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形BDEN為矩形．

(1)求證：BD⊥AE；(2)線段EN上是否存在點Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點Q的位置并加以證明．變式6．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．變式7．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．一、單選題1．（2022春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點，與分別為線和上的動點（不包括端點），若、則線段長度的取值范圍為（

）A．[) B．[] C．[) D．[]3．（2022秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在正方體中，棱長為2，是底面正方形的中心，點在上，是上靠近的三等分點，當直線與垂直的時候，的長為（

）A．1 B． C． D．4．（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）在正方體中，是中點，點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山東濟南·高二?？计谥校┮阎蛄糠謩e是直線l與平面α的方向向量、法向量，若，則l與α所成的角為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，兩兩垂直，為棱上一動點，，.當與平面所成角最大時，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．（2022秋·河北保定·高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面的一個法向量為，向量，，則平面與平面ABC夾角的正切值為（

）A． B．2 C． D．9．（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知向量，分別為平面和平面的法向量，則平面與平面的夾角為（

）A． B． C． D．二、多選題10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┰诶忾L為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則下列說法中正確的是（

）A．點到直線的距離是 B．直線到直線的距離是C．點到平面的距離是 D．直線到平面的距離是11．（2022秋·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為正方形，，平面，，點在棱上，且，則（

）A．當時，平面B．當時，平面C．當時，點到平面的距離為D．當時，平面與平面的夾角為12．（2022秋·河北保定·高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，則（

）A．平面PACB．平面EFCC．點F到直線CD的距離為D．點A到平面EFC的距離為13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（包含線段的端點），點，分別為線段，的中點，則下列說法正確的是（

）A．當時，點，，，四點共面B．異面直線與的距離為C．三棱錐的體積為定值D．不存在點，使得三、填空題14．（2022秋·福建泉州·高