高一數(shù)學(xué)課堂抄重點(diǎn)講義(人教A版2019必修第二冊(cè))8.6空間直線、平面的垂直(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

8.6空間直線、平面的垂直（講義+例題+小練）一、直線與直線垂直1異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交。3.空間兩條異面直線的畫法。4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個(gè)，兩對(duì)對(duì)頂角，這時(shí)根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng)該是那一個(gè)角）。如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說兩條直線垂直例1如圖所示，正方體中，E，F(xiàn)分別為平面與的中心，則與所成角的度數(shù)是_____________．舉一反三1．判斷正誤．（1）異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)．即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．()（2）異面直線a與b所成角可以是．()（3）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()2．如圖，在四棱柱中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形且，，若異面直線和所成的角為，試求的長.二．直線與平面垂直⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。⑵判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。簡(jiǎn)記為：線線垂直，則線面垂直.符號(hào)：例2如圖所示，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn)，A1A=AB=2.求證:BC⊥平面A1AC．

舉一反三1．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面EAB．2．如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方形ABCD的中心，H為直線與平面的交點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.三.直線與平面垂直性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。符號(hào)：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號(hào)：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．符號(hào)語言：a∥b,a⊥α，?b⊥α例3如圖所示，是邊長為的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).證明.舉一反三1．如圖，在三棱錐P-ABC中，，垂足為D，底面ABC，垂足為O,且O在CD上，求證：.四．平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。⑵判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。簡(jiǎn)記為：線面面垂直，則面面垂直.符號(hào)：推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直。例4如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平舉一反三1．如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；2．如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，其中，，，與相交于點(diǎn)，且平面．(1)證明：平面平面．(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離．五.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。簡(jiǎn)記為：面面垂直，則線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；例59．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.舉一反三1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：AD∥平面PBC；（2）求證：AB⊥平面PAD2．如圖，四邊形為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面.(1)證明：；(2)若，求三棱錐的體積.鞏固提升一、單選題1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β2．若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．3．已知正方體棱長為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．4．如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（

）A． B．C． D．6．已知平面α⊥平面β，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）①α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的任意一條直線；③α內(nèi)的任意一條直線必垂直于β.A．0 B．3 C．2 D．1二、多選題7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD8．如圖，以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，翻折和，使得平面平面.下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是等邊三角形C．三棱錐是正三棱錐 D．平面平面三、填空題9．如圖，在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件___________時(shí)，有.（只需填寫一種正確條件即可）10．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.如圖，若三棱錐為“鱉臑”，平面，，，，則此“鱉臑”的表面積為______.四、解答題11．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，分別是，的中點(diǎn).(1)若，求四棱錐的體積；(2)求證：平面.12．如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：面面．13．如圖，三棱錐中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等邊三角形，AD＝BD＝1，M為BC中點(diǎn).(1)證明：平面ABC⊥平面ADM；(2)求點(diǎn)M到平面ABD的距離.14．在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且平面ABD.(1)求證：平面AEF；(2)若平面BCD，，，記三棱錐F-ACE與三棱錐F-ADE的體積分別為，，且，求三棱錐B-ADF的體積.15．已知空間幾何體ABCDE中，，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.(1)若，求證：；(2)探索A，B，D，E四點(diǎn)是否共面？若共面，請(qǐng)給出證明；若不共面，請(qǐng)說明理由.8.6空間直線、平面的垂直（講義+例題+小練）一、直線與直線垂直1異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交。3.空間兩條異面直線的畫法。4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個(gè)，兩對(duì)對(duì)頂角，這時(shí)根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng)該是那一個(gè)角）。如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說兩條直線垂直例1如圖所示，正方體中，E，F(xiàn)分別為平面與的中心，則與所成角的度數(shù)是_____________．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意可知：在中，//，//，所以在正方體中，所以與所成角的度數(shù)是故答案為：舉一反三1．判斷正誤．（1）異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)．即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．()（2）異面直線a與b所成角可以是．()（3）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()【答案】

×

×

√【解析】【詳解】（1）異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置無關(guān)，故錯(cuò)誤；（2）異面直線a與b所成角不可以是0°，故錯(cuò)誤；（3）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直，正確.2．如圖，在四棱柱中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形且，，若異面直線和所成的角為，試求的長.【答案】【解析】【分析】連接，得到，根據(jù)題意，得到，再求得，，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖，連接，在四棱柱中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）為和所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€和所成的角為，所以，因?yàn)樗睦庵?，?cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形，所以是等腰直角三角形，所以，因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑吻?，，所以，，所?二．直線與平面垂直⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。⑵判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。簡(jiǎn)記為：線線垂直，則線面垂直.符號(hào)：例2如圖所示，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn)，A1A=AB=2.求證:BC⊥平面A1AC．

【答案】詳見解析.【分析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,只需證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,而,滿足定理?xiàng)l件.【詳解】證明:C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn)，AB是圓柱底面圓的直徑，,平面平面,,平面平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查棱柱的性質(zhì),考查學(xué)生空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.舉一反三1．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面EAB．【答案】見解析【解析】【分析】通過證明和，進(jìn)而可得證.【詳解】E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△Rt△，所以△，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)檎襟w中，平面,平面，所以，和平面EAB內(nèi)的兩條相交直線，所以平面EAB.2．如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方形ABCD的中心，H為直線與平面的交點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通過面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得解；（2）根據(jù)三棱錐的體積即可求解.(1)解：連接DB，在正方體中，可得,因?yàn)槠矫?，所以平面，所?同理可得，因?yàn)槠矫?，所以平面?2)解：三棱錐的體積.三.直線與平面垂直性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。符號(hào)：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號(hào)：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．符號(hào)語言：a∥b,a⊥α，?b⊥α例3如圖所示，是邊長為的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).證明.【答案】證明見解析【解析】連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可得證.【詳解】證明：連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，如圖所示：由正六邊形的性質(zhì)可得，∵，，，∴平面，∵平面，∴.舉一反三1．如圖，在三棱錐P-ABC中，，垂足為D，底面ABC，垂足為O,且O在CD上，求證：.【答案】證明見解析【解析】通過線面垂直證得，結(jié)合得平面POC，即可得證.【詳解】證明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又，平面POC.平面POC，.【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，利用線面垂直得線線垂直.四．平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。⑵判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。簡(jiǎn)記為：線面面垂直，則面面垂直.符號(hào)：推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直。例4如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平【答案】證明見解析【解析】【分析】利用面面垂直的判定定理即可得到證明【詳解】連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以三角形為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以因?yàn)?，所以平?又平面，故平面平面舉一反三1．如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)定義，在平面中找一條線讓其垂直平面即可.【詳解】在正三棱柱中，平面，平面，則.是棱的中點(diǎn)，為正三角形，則.，平面，平面，.又，，，，，，則和相似，故，，則有，故.，平面，且平面，平面平面.2．如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，其中，，，與相交于點(diǎn)，且平面．(1)證明：平面平面．(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)證明，即可；(2)由等體積即可求.(1)如圖，過A作，垂足為．∵為等腰梯形，，，∴，．∵，∴，∴．由題意易證，則，從而，故，即．∵平面，且平面，∴．∵，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．(2)由(1)可知，，且．∵平面，∴，．∵，∴，則的面積為．設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為．∵，∴，解得，即點(diǎn)A到平面的距離是五.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。簡(jiǎn)記為：面面垂直，則線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；例59．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由中位線定理，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果．（2）由題意可證，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證平面，由此即可證明結(jié)果．(1)證明:因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；(2)證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.舉一反三．1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：AD∥平面PBC；（2）求證：AB⊥平面PAD【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，進(jìn)而證明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明．【詳解】（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）證明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.2．如圖，四邊形為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面.(1)證明：；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由已知可得，及平面平面，可證得平面，即得，則，進(jìn)而可證得平面，即可證得結(jié)果.（2）過P作，垂足為Q，則平面，利用等體積轉(zhuǎn)化，計(jì)算可得結(jié)果.(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以，又平面平面，且交線為，所以平面，即.又因?yàn)?，所?又，，所以平面，又在平面內(nèi)，故.(2)過P作，垂足為Q，則平面.因?yàn)?，所以，所以，?鞏固提升一、單選題1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β【答案】C【解析】【分析】分別根據(jù)面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理判斷選項(xiàng)即可.【詳解】m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于,若m⊥α，n?β，m⊥n，則與平行或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若m∥α，m∥n，則n∥α或，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正確；對(duì)于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則或與相交或∥，故錯(cuò)誤.故選：.2．若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意求出，利用線面角的定義求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成角，則，所以．故選：C3．已知正方體棱長為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，證明出AC⊥平面，找到點(diǎn)到平面的距離即CE的長，求出答案.【詳解】連接AC交BD于點(diǎn)E，則因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方體，所以AC⊥BD，且E為AC中點(diǎn)，因?yàn)椤偷酌鍭BCD，平面ABCD，所以⊥，因?yàn)?，所以AC⊥平面，所以CE的長即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)檎襟w棱長為2，所以由勾股定理可得：，顯然.故選：B4．如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】【分析】利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C5．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，所?所以，故選：A6．已知平面α⊥平面β，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）①α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的任意一條直線；③α內(nèi)的任意一條直線必垂直于β.A．0 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷①②；α內(nèi)不與交線垂直的直線不垂直于β，由此判斷③.【詳解】①已知平面α⊥平面β，設(shè)α∩β＝l，設(shè)a為內(nèi)任意一直線，在β內(nèi)作b⊥l，則，而，故，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線，即α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線，故①為真命題；②因?yàn)槠矫姒痢推矫姒拢师聝?nèi)垂直于α與β交線的直線必垂直于平面α，則它垂直于α內(nèi)的任意直線，故②為真命題；③平面α⊥平面β時(shí)，α內(nèi)不與交線垂直的直線必不垂直于β，故③為假命題,故選;C.二、多選題7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD【答案】ABD【解析】【分析】由矩形，得，若，則平面，又平面，則過平面外一面有兩條直線與平面垂直，不成立，故不正確．【詳解】解：矩形，矩形，，故正確．若，則平面，又平面，則過平面外一面有兩條直線與平面垂直，故不正確，故不正確；矩形，，，平面，，故正確；矩形，由三垂線定理得，故正確；故選：．8．如圖，以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，翻折和，使得平面平面.下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是等邊三角形C．三棱錐是正三棱錐 D．平面平面【答案】ABC【解析】【分析】利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，利用勾股定理可判斷B選項(xiàng)；利用正棱錐的定義可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，翻折后，對(duì)應(yīng)地有，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，翻折前，因?yàn)闉榈妊苯侨切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，且，，由勾股定理可得，翻折后，因?yàn)槠矫?，平面，則，由勾股定理得，在三棱錐中，，則為等邊三角形，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，在三棱錐中，因?yàn)闉榈冗吶切?，，故三棱錐為正三棱錐，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)平面平面，如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以，平面，設(shè)等邊的中心為點(diǎn)，連接，由正棱錐的性質(zhì)可知，平面，因?yàn)檫^點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，故假設(shè)不成立，即平面與平面不垂直，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題9．如圖，在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件___________時(shí)，有.（只需填寫一種正確條件即可）【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】直四棱柱，是在上底面的投影，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)然底面ABCD滿足的條件也就能寫出來了.【詳解】根據(jù)直四棱柱可得：∥，且，所以四邊形是矩形，所以∥，同理可證：∥，當(dāng)時(shí)，可得：，且底面，而底面，所以，而，從而平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以?dāng)滿足題意.故答案為：.10．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.如圖，若三棱錐為“鱉臑”，平面，，，，則此“鱉臑”的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)“鱉臑”的定義和已知數(shù)據(jù)可求得，，，從而可求出其表面積【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，，，所以“鱉臑”的表面積為.故答案為：四、解答題11．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，分別是，的中點(diǎn).(1)若，求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明面，又由中位線定理，可得，進(jìn)而證明出結(jié)果.(1)解：∵在底面是矩形的四棱錐中，底面，，∴；(2)證明：∵四邊形為矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴平面.12．如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：面面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)連接AC交BD于O，連接OE，由中位線即可得，得證；(2