2021年中考數(shù)學(xué)分類突破26 四邊形中的線段長(zhǎng)度問題(解析版)

專題26四邊形中的線段長(zhǎng)度問題

1、如圖，平行四邊形A8CZ）的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,ZBAC=90°,AC=6,BD=8,則CD的長(zhǎng)

為（）

解：?.?QABCO的對(duì)角線AC與8c相交于點(diǎn)。，

.?.80=。。，A0=C0,AB=CD,

'：ZBAC=90°,AC=6,80=8,

：.BO=4,0A=3,

AB=VOB2-OA2=V16-9=V7-

1'"CD="'/7.

故選：A.

2、如圖，E、尸分別是正方形ABC。邊A￡＞、3c上的兩定點(diǎn)，M是線段EF上的一點(diǎn)，過M的直線與正方

形ABC。的邊交于點(diǎn)P和點(diǎn)H,且PH=EF,則滿足條件的直線PH最多有（）條.

A.1B.2C.3D.4

證明：如圖1,過8作8G〃EF,過C作CQ〃PH,

?.?四邊形A8CD是正方形，

C.AD//BC,AH//CD,NA=NC8Q=90°,

GE

D

。卜/j」

BFC

圖1

??.四邊形BFEG和四邊形CQPH是平行四邊形,

：.EF=BGfPH=CQ,

,:PH=EF,

:.BG=CQ,

■:AB=BC,

.'.RtABCQ(HL),

J/ABG=/BCQ,

???/ABG+NCBG=NC8G+N8CQ=90。，

???CQ_LBG,

:.PHLEF,

所以圖1中過M與所垂直滿足條件有一條，

圖2

如圖2,還有兩條：PM,P2H2,

故選：C.

3、如圖，在矩形A5CQ中對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)0,CELBD,垂足為點(diǎn)E,CE=5,且E0=2DE,則

AD的長(zhǎng)為.

B

解：?.?四邊形48CD是矩形，

ZADC=90°,BD=AC9OD吾BD,OC=/AC,

，OC=OD,

?；E0=2DE,

設(shè)DE=xf0E=2x,

：.OD=OC=3X9AC=6X,

?:CELBD,

：.ZDEC=ZOEC=90°f

在RsOCE中，

■:OP+C瑤=OC2,

?工(2x)2+52=(3x)2,

Vx>0,

,,DE=yJ"^,

???CD=VDE2-K：E2=V(V5)2+52=V30-

?,MD=VAC2-CD2=7(W5)2-(V30)2=5通,

故答案為：576.

4、如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E〃AC,且。氏AC=1：2,連接CE、

OE,連接AE交OD于點(diǎn)E

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形A8CO的邊長(zhǎng)為2,NABC=60。，求AE的長(zhǎng).

(1)證明：在菱形A8CO中，OC=/AC.

,:DE：AC=\：2,

：.DE=OC,

\'DE//AC,

...四邊形OCED是平行四邊形.

?；ACLBD,

平行四邊形OCEC是矩形.

：.OE=CD.

(2)解：在菱形A8CO中，NA8C=60。，

：.AC=AB^2.

二在矩形OCEC中，

22=22

CE=^=VAD-AO72-I=??

在Rs4CE中，

A￡=VAC24CE2=V22+(V3)2=V7.

5、四邊形A8CO是平行四邊形，NA=/B.

(1)求證：0ABe。是矩形；

(2)若求/ACB的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)E,尸分別在A8,AQ上，且CE=b,/ECF=30。，AC=4,求2AE-FC

；四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AD//BC,

：./A+/B=I8O°,

?/ZA=ZB,

/.ZA=ZB=90°,

二四邊形A8c。是矩形;

圖2_

在RtZkACB中，tan/ACB=^=返

BC3

???ZAC8=30°；

(3)解：如圖3中，作FHLAC于從

?/ZACB=ZECF=30°,

：.ZBCE=ZFCHf

,:CE=CF,NB=NFHC=9U。,

:./XBCE@AHCF,

:.BE=FH,

在RSAFT/中，VZM//=30°,

：.FH=^AF,

：.AE-^AF^AE+FH=AE+BE=AB,

在RtZiACB中，VZACB=30°,

.,.AB--^AC=2,

：.AE-^AF=2,

：.2AE+AF=49

：.AF=4-2AEf

：.DF=AD-AF=2y/3-(4-2AE),

：.2AE-FD=4-

一，5

6、如圖所不，四邊形48co為平行四邊形，AD=\3,AB=25,NDAB=a,且cosa=7jw，點(diǎn)E為直線CD

上一動(dòng)點(diǎn)，將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段EF,連接CF.

(1)求平行四邊形ABC。的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)C、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與AB相交于點(diǎn)G,求線段8G的長(zhǎng)；

(3)求線段CF的長(zhǎng)度的最小值.

圖1

?.?將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段EF,

:./AEF=a,AE=EF,

在RtAD4K中，

cosZDAK—cosa="^=^',且A〃=I3,

：.AK=5,

D^=VAD2-AK2=V132-52=12，

??S平行四邊形48co=48x/)K=25x12=300：

(2)如圖2,延長(zhǎng)CD至兄作NA”O(jiān)=a,

丁

ZAHD=ZADH=af

.\AH=AD=13,

過點(diǎn)A作AM，?！庇邳c(diǎn)M,

由(1)知AM=12,

?■?DM=VAD2-AM2=5'

：.DH=10,

"：NFEH=ZDEA+Za=ZF+a,

：.NDEA=NF,

在△4石〃和4EFC中,

'NAEH=/F

,ZH=ZC,

AE=EF

/./XAEH^^EFC(A4S),

：.EH=CF,CE=AH=\3,

:.DE=CD-CE=12,BF=CF-BC=22-13=9,

\'BG//CE,

：.4FBGs叢FCE,

.BFBG

(3)如圖3,延長(zhǎng)CO至尸，使NP=NA。尸=a,過點(diǎn)尸作根〃BC,交CO于點(diǎn)M,過點(diǎn)FN，C￡>,

交8于點(diǎn)N,

圖3

由(2)可知/AEP=NEFM,

在4叢2和^FE歷中.

，ZP=ZFME

<ZAEP=ZEFM.

AE=EF

:.△EAP9XFEM(AAS),

：.EM=AP=\3,FM=EP,

設(shè)OE=x,則FM=EP=10+x,CM=25-(13+x)=12-x,

：(10+x),R

.FN=FM>sma=-^MN=FM*cosa=-77-(10+x)

xo13

x+?譽(yù)(10+x)=206-8x

：.CN=CM+MN=\2

13

19

在RsCFN中，CF2=C^+NF2=(-y)(208A--416x+56836),

Xo

am川b-416

對(duì)稱軸片-^=/麗I,

.?.當(dāng)x=l時(shí)，C尸的值最小，C尸的最小值為黑亙?.

xo

7、如圖，已知QA8CD,E是C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NEAB=90。，AB=AE,點(diǎn)F是BC下方一點(diǎn),且尸E=

FD,/EF￡>=90°,

(1)求證：NFEA=/FDC；

(2)若AF=3,求AC的長(zhǎng).

BC

(1)證明：設(shè)AC與。尸交于點(diǎn)0,如圖1所示:

'：ZEAB=90°f

AZBAC=90°,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

:?AB=CD,AB//CD,

：.ZACD=ZBAC=90°f

：.ZFDC+ZCOD=90°9

u

：ZEFD=90°f

：.ZFEA+ZFOE=90°,

又丁ZFOE=ZCOD,

：.ZFEA=ZFDC；

(2)解：連接CR如圖2所示：

9

：AB=AEfAB=CD,

:.AE=CD,

'AE=CD

在AAEF和AC。尸中，ZFEA=ZFDC，

FE=FD

:.XAEFQ叢CDF(SAS),

:.AF=CF,/AFE=/CFD,

：.ZAFC=ZEFD=90°t

???△ACF是等腰直角三角形，

?:AC=^^/4尸=

圖2

8、已知在四邊形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2,AB=4,BC=6.

(1)如圖1,P為48邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,過點(diǎn)。作QHJ_8C,交8c的

延長(zhǎng)線于H.求證：&ADP妾△HCQ；

(2)若P為48邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E,DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE.請(qǐng)

問對(duì)角線尸Q的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,若P為。C邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E,使AE=〃PA(〃為常數(shù))，以PE,PB為邊作

平行四邊形P8QE.請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在,

請(qǐng)說明理由.

解：(1)'：AD//BC,

：.NADC=NDCH,

：.4ADP+/PDC=ZDCQ+ZQCH,

,：四邊形PCQD是平行四邊形，

：.PD//CQ,PD=CQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：.NADP=NQCH,

在△和AHCQ中，

，ZA=ZH

<ZADP=ZHCQ.

PD=QC

/△HC。(A45)；

(2)存在最小值，最小值為10,

如圖1,作交BC的延長(zhǎng)線于H,設(shè)尸Q與。C相交于點(diǎn)G,

'：PE//CQ,

JtXDPGsXCQG,

,DG=PD=1

"GC~CQ~~2f

由(1)可知，ZADP=ZQCH,

；.RSAOPsRsQCH,

.AD_PD_1

?"CH~CQ~~2'

：.CH=2AD=4,

：.BH=BC+CH=(>+4=10,

.*.當(dāng)PQ_LAB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為10；

(3)存在最小值，最小值為(n+4),

如圖2,作Q”〃OC,交C8的延長(zhǎng)線于從作CK_LC￡>,交。，的延長(zhǎng)線于K,

"JPE//BQ,AE^nPA,

.AG_PA_1

??西一西—Q，

'JAD//BC,

：.ZADP+ZDCH=90°,

'：CD//QK,

：.ZQHC+ZDCH=\SO0,

：.ZQHC=ZADQ,

'：NPAD+NPAG=NQBH+NQBG=90。,NPAG=NQBG,

：.^PAD=ZQBH,

:.△ADPsABHQ,

.AD_PA_1

??麗一的一啟，

/.BH=2〃+2,

???C”=BC+B”=6+2〃+2=2〃+8,

過點(diǎn)。作。M_L8c于M,又ND48=NA8M=90。，

???四邊形A8例。是矩形，

：.BM=AD=2,DM=AB=4,

；?MC=BC-BM=6-2=4=DM,

：.ZDCM=45°f

???N"CK=45。，

；.CK=CH?cos450=返(2”+8)=近(n+4),

2

...當(dāng)PQLCO時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為&(n+4).

9、如圖①，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PD,△PAB為等邊三

角形.

(1)求點(diǎn)P到邊AO,AB的距離之和；

AF

(2)如圖②，連結(jié)8。交尸4于點(diǎn)E,求△的面積以及黑的值.

①②

解：(1)如圖①，過P作于M,PN1AB于N,

:四邊形A8c。是正方形,

...ND4B=90°,

NPMA=NDAB=NPNB=90。,

四邊形ANPM是矩形，

：.PM=AN,AM=PN,

???△A5P是等邊三角形，

：.AN=^AB^\,PN=M，

:.PM=AN=1,

:.PM+PN=M+1,

即點(diǎn)P到邊A。，AB的距離之和為標(biāo)1：

(2)SAPBD=S四邊形ABPD-SAABD=~AD(PM+PN)-?^AZ)XB=/x2x(1+5/3)-yx2x2=V3-1：

如圖②，過P作PGLBO于G,過A作AHLBO于”，

：.ZPGE^ZAHE=90°,

,:NPEG=NAEH,

：./\PGE^^AHE,

,AE_AH

,*PEPG'

BD，AH

..SAABD_~2_AH_2&

S/kPBD1BD.PGPG愿-l'

???罌=?+L

1c

10、已知：如圖①，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=8,48=10,點(diǎn)P,E,尸分別是A8,AC,BC上

的動(dòng)點(diǎn)，且AP=2CE=2BF,連結(jié)PE,PF,以PE,PF為鄰邊作平行四邊形PFQE.

(1)當(dāng)點(diǎn)P是A8的中點(diǎn)時(shí)，試求線段尸尸的長(zhǎng).

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)CE=〃?，若平行四邊形PF0E的面積恰好被線段8C或射線AC分成1：3的兩

部分，試求成的值.

(3)如圖②，設(shè)直找FQ與直線AC交于點(diǎn)N,在運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)Q,N,E為頂點(diǎn)的三角形能否構(gòu)成

直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出符合要求的CE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

解：(1)如圖①，作于點(diǎn)H,

圖①

VZACB=90°,BC=8,AB=IO,

.".AC=6.

"：AP=2CE=2BF,

:點(diǎn)P是A8的中點(diǎn),

；.PA=P8=5.

5

:.CE=BF=WPH=3,BH=CH=4,

2

PF=VPH2+FH2=^^

(2)如圖②，平行四邊形PF0E的面積恰好被線段BC分成1：3的兩部分時(shí)，則

Q

圖②

:PHLBC,

:.NPHF=90°=NACB，

：.PH//AC,

/.△CEM^AZ/PF,4PBHsAABC,

puPH

；.PH=2CE=2m,要=端.

ACAB

.2m10-2m

610

?15

??加=一7T.

8

如圖③，平行四邊形力邊￡的面積恰好被線段AC分成1：3的兩部分時(shí)，則尸O=QO,QN*PG,

圖③

：.CF=^=-PG.

2

,PG=AP

'*BC-AB'

.16-2m2m

8

...n?=-470—.

9

???，”的值為1令5或卷40.

oy

（3）如圖④，當(dāng)/QNE=90。時(shí)，則點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，設(shè)CE=x,

,:△PBHsMBC,

,PH=PB

^AC-AB

.x_10-2x

?石=10

._30

*五

如圖⑤，當(dāng)NQNE=90。時(shí)，則點(diǎn)P與點(diǎn)8重合,

.\x=5.

如圖⑥，當(dāng)/QNE=90。時(shí),

圖⑥

■:AFPRS^PES,

,PS_FR

*'ES-RP'

2x-1'(6-x)■|-x

=I'

E(6-X)10^T-X-2X

Db

._83±V769

?*X-1-*

34

經(jīng)檢驗(yàn)，x值符合題意.

綜上，CE的長(zhǎng)為因超迤或5或普.

11、已知菱形A8C。中，AB=4,NBAZ）=120。，點(diǎn)P是直線AB上任意一點(diǎn)，連接PC,在NPC。內(nèi)部作

射線C。與對(duì)角線8。交于點(diǎn)Q（與8、。不重合），且NPCQ=30。.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線8A上，且3P="（0<n<8）時(shí)，求QC的長(zhǎng)；（用含〃的式子表示）

（3）連接P。，直線PQ與直線BC相交于點(diǎn)E,如果△QCE與△BCP相似，請(qǐng)直接寫出線段BP的長(zhǎng).

備用圖

解：（1）如圖1中，作8c于H.

D

圖1

??,四邊形ABC。是菱形,

???AB=BC=4,AD//BC,

：.NA+NA8C=180。,

VNA=120。,

：.ZPBH=60°f

?:PB=3,/PHB=90。,

：.BH=PB?cos60°,PH=PB?sin60°=芻區(qū),

22

3R

:.CH=BC-BH=4-

22

PC=7PH2KH2=，2+6)2=V13,

(2)如圖1中，作8c于，，連接P0,設(shè)PC交8。于O.

;四邊形A88是菱形，

NABD=NCBD=3Q0,

"：ZPCQ=30°,

:.NPBO=NQCO,

；NPOB=NQOC,

:.叢POBs叢QOC,

.PQBQ

,質(zhì)F，

.OPQO

"BO=CD)

■:/尸0。=ZBOC,

.?.△POQS2XBOC,

ZOPQ^ZOBC=30°=ZPCQ,

:.PQ=QC,

???PC=?QC，

在RSPHB中，BP=n,

1Vs

：.BH=-=-n,PH="聯(lián),

22

'JPC^^Ptf+CH1,

3QC2=C^-n')2+(4-a”)2,

QC=J3R2-.1ZR+蝮,(0<n<8).

3

(3)①如圖2中，若直線QP交直線8c于B點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)艮

此時(shí)/CQE=120。，

,：ZPBC=60°,

.?.△PBC中，不存在角與NCQE相等,

此時(shí)△QCE與小BCP不可能相似.

②如圖3中，若直線QP交直線BC于點(diǎn)C右側(cè)的點(diǎn)E.

則NCQE=ZB=QBC+ZQCP=60°^ZCBP,

?:NPCB>/E,

/.只可能NBCP=NQCE=75°,

作C尸_LA8于F,則BF=2,CF=2?,ZPCF=45°,

:.PF=CF=2。

此時(shí)BP=2+2?,

③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在A8的延長(zhǎng)線上時(shí)，

圖4

VACBE與4C8P相似，

.../CQE=NCBP=120。，

.'.ZQCE=ZCBP=i5°,

作CFLAB于F.

,/NFCB=30。，

/.ZFCB=45°,

：.BF=^BC=2,CF=PF=2瓜