高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件第四章 數(shù)列章末復(fù)習(xí)提升(人教A版)

章末復(fù)習(xí)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

要點(diǎn)聚焦內(nèi)容索引網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系1要點(diǎn)聚焦

類型突破2要點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的判定1.判定等差數(shù)列的方法 (1)定義法；(2)等差中項(xiàng)法；(3)通項(xiàng)公式法.2.判定等比數(shù)列的方法 (1)定義法；(2)等比中項(xiàng)法；(3)通項(xiàng)公式法.

注：以上的第三種方法只能作為判定方法，而不能作為證明方法.證明

當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【訓(xùn)練1】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)證明：{an－1}是等比數(shù)列；證明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，【訓(xùn)練1】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)證明：{an－1}是等比數(shù)列；證明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.要點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值以及數(shù)列“階段和”，試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點(diǎn)，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小.【例2】

(1)由正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，其前20項(xiàng)的和為1000，則a7＋a14的值是(

) A.25 B.50 C.100 D.不存在解析設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn.C∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝100.(2)設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為(

)A.32 B.64C.128 D.256B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，【訓(xùn)練2】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q＝________，S6＝________.263【訓(xùn)練2】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q＝________，S6＝________.263要點(diǎn)三數(shù)列求和數(shù)列求和一直是考試的熱點(diǎn)，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，而對于非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和，常用的方法有：拆項(xiàng)分組、裂項(xiàng)相消、倒序相加、錯位相減等.題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度較大.【例3】

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，n∈N*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵an＋1－1＝c(an－1)，∴當(dāng)a≠1時，{an－1}是首項(xiàng)為a－1，公比為c的等比數(shù)列.∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1.當(dāng)a＝1時，an＝1，仍滿足上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(a－1)cn－1＋1(n≥N*).【訓(xùn)練3】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè){an}的公差為d.由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數(shù)列，可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2，∴(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)，則an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.則所求最大的正整數(shù)n為11.要點(diǎn)四數(shù)列與其他知識的綜合應(yīng)用數(shù)列經(jīng)常與函數(shù)、不等式知識相結(jié)合.解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理.【例4】

已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解由已知，得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，所以an＋2－an＋1＝1(n≥1).又a2－a1＝1，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以an＝n＋1.又bn＋1＋2＝4(bn＋2)，所以{bn＋2}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以bn＝4n－2.(2)設(shè)cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.解因?yàn)閍n＝n＋1，bn＝4n－2，所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn恒成立，需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，即3×4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立.所以(－1)n－1λ<2n－1恒成立.①當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ<2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時，2n－1有最小值1，所以λ<1；②當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>－2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2.結(jié)合①②可知－2<λ<1.又λ為非零整數(shù)，則λ＝－1.故存在λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.【訓(xùn)練4】在等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，所以an＝－1＋(n－1)×(－3)＝－3n＋2.(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解

由題意，得an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.當(dāng)q＝1時，bn＝3n－1，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[1＋4＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋…＋qn－1)備用工具&資料(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解

由題意，得an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.當(dāng)q＝1時，bn＝3n－1，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[1＋4＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋…＋qn－1)①當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ<2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時，2n－1有最小值1，所以λ<1；②當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>－2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2.結(jié)合①②可知－2<λ<1.又λ為非零整數(shù)，則λ＝－1.故存在λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.【例3】

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，n∈N*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵an＋1－1＝c(an－1)，∴當(dāng)a≠1時，{an－1}是首項(xiàng)為a－1，公比為c的等比數(shù)列.∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1.當(dāng)a＝1時，an＝1，仍滿足上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(a－1)cn－1＋1(n≥N*).【例2】

(1)由正數(shù)組成的等差數(shù)列{an