2020-2021學年新教材人教A版必修第二冊 直線與平面平行作業(yè)2

2020-2021學年新教材人教A版必修第二冊直線與平面平行

作業(yè)

一、選擇題

1、在正方體ABCO-ABCIO中，E為棱CD上一點,且CE=2DE,/為棱人4

的中點，且平面8防與°鼻交于點G,則與G與平面A6CO所成角的正切值為

（）

72V2572572

A.12B.6c.12D.6

2、如圖，各棱長均為。的正三棱柱AB。-4旦￡,加、N分別為線段48、B、C

上的動點，且MN〃平面ACG4,M,N中點S軌跡長度為6,則正三棱柱

ABC-A4cl的體積為（）

A.6B.C.3D.26

3、已知“，b,c分別表示三條直線，a表示平面，給出下列四個命題

①若a〃a,blla,貝；］〃//%②若bua,a!Ih9貝

③若aJ_c,b±cf貝fja//》；④若a_La,b±at則a//。.

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

4、已知m,n是兩條不重合的直線，a,P是不重合的平面，下面四個命題中正確

的是（）

A.若mua,n//a,則m//n

B.若m_Ln,mJ-P,則

C.若ac0=n,m//n,則m//a且m//0

D.若m，a,mlP,則

5、如圖，記長方體被平行于棱BIG的平面EFG”截去右上部分

后剩下的幾何體為Q,則下列結論中不正確的是（）

A.EH//FG

B.四邊形瓦GH是平行四邊形

c.Q是棱柱

D.Q是棱臺

6、下列說法正確的有（）

A.正三棱錐的三個側面重心所確定的平面與底面平行

B.設m為圓錐的一條母線，則在該圓錐底面圓中，有且只有一條直徑與m垂直

C.對于任意一個正棱柱，都存在一個球，使得該正棱柱的所有頂點都在此球面上

D.設AB,CD分別為圓柱上？下底面的弦，則直線AB,CD間距離等于該圓柱母線

長

7、正方體4BO。一點石，尸分別是'4，4G的中點，則所與所成

角的余弦值為（）

_LJ.

A.0B.5c.4D.3

8、在長方體AgCQ中，A8=8C=1,A4,=色E>F,p,Q分別為棱

AB,AO,DR,網(wǎng)的中點，則下列結論正確的是（）

A.ACIBPB.平面EFPQ

也

C.8C"/平面EFPQD.直線4°和AC所成角的余弦值為4

9、已知四棱錐S-舫。所有的棱都相等，過8□與SC平行的平面與SA交于點E,

則座與8所成角的大小是（）

A.30。B.45。&60。D.90。

10、如圖，在正方體AB。。—中，M,N,尸分別是的中點，

有下列四個結論：

①AP與CM是異面直線；

②AP,CN,皿相交于一點；

③MNIIBD、.

④MN//平面BBRD.

其中所有正確結論的編號是（）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

11、如果直線皿直線n,且m〃平面a,那么n與a的位置關系是（）

A.相交B.n//aC.nuaD.n//a或nca

12、如圖直三棱柱ABC-4gG中，點M,N分別為48和的中點，則三棱

錐A-MNC體積與三棱柱ABC-A4G體積之比為（）

A.1：4B.1：5c.i：6D.1：7

二、填空題

13、正四棱柱ABCO-AgGD中，AB^AD^l,E為四中點，若點P滿足

—>—>

AP^APD,且BP〃平面AER,則4=.

14、在長方體ABC°-A4G3中，E,尸分別為棱CG,42的中點，平面跳萬

AG

與側棱A4的交點為G,則4G.

15、如圖，在矩形ABCO中，BC=2AB=2,N為BC的中點，將AABN沿AN

翻折成（片紀平面AB8）,M為線段的中點，則在AABN翻折過

程中給出以下四個結論：

①與平面片AN垂直的直線必與直線CM垂直；

為

②線段CM的長為2.

好

③異面直線CM與'與所成角的正切值為3.

④當三棱錐。一AN片的體積最大時，三棱錐D-ANB,外接球的表面積是4萬.

其中正確結論的序號是.（請寫出所有正確結論的序號）

16、已知棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E,F,M分別是線段AB、AD、AA的

中點，又P、Q分別在線段AB、AD上，且AP=AQ=x（0<x<l）.設平面MEFCI平面

MPQ

=1,現(xiàn)有下列結論：

①1〃平面ABCD；

②1_LAC；

③直線1與平面BCCB不垂直；

④當x變化時，1不是定直線.

其中不成立的結論是.（寫出所有不成立結論的序號）

三、解答題

17、（本小題滿分10分）如圖，PA，矩形ABCD所在平面，M,N分別是AB,PC的中

點.

（1）求證:MN〃平面PAD.

（2）若PD與平面ABCD所成的角為45",求證：MN1平面PCD.

18、（本小題滿分12分）如圖直三棱柱ABC-A4c中AC=2A4,,ACLBC,D、

￡分別為AC、AB的中點.

求證：（1）AD_L平面BCD；

（2）4"〃平面8CO.

19、（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP'PCACJ.BC,M為

AB的中點，D為PB的中點，且△外仍為正三角形.

（1）求證：平面APC；

（2）若BC=4,AB=10,求三棱錐D-BCM的體積.

參考答案

1、答案C

解析根據(jù)平面.CD//平面4耳G。，可知所求角為假設正方體棱長為6,

求解出D'G和g2,從而得到結果.

詳解

因為平面ABCD〃平面4片GQ

所以gG與平面ABCO所成角即為用G與平面A5GA所成角

可知BG與平面所成角為NO4G.

設AB=6,則AF=3,DE-2

平面BEFC面=GE且8產〃面CDD￡,可知BF//GE

AFDG3DG

則ABDE，即62nDG=1,2G=5

一D。_5_572

teallnLZ/-DJL/IURIGV/-

在放BR6>/2

MAG中，12

5」

故用G與平面ABC。所成角的正切值為12

本題正確選項：c

點睛

本題考查立體幾何中的直線與平面所成角問題，關鍵是能夠通過位置關系確定所成角，

再利用直角三角形求得結果.

2、答案D

解析設AA，86],CG的中點分別為。,E,",判斷出MN中點S的軌跡是等邊三角形

。所的高，由此計算出正三棱柱的邊長，進而計算出正三棱柱的體積.

詳解

設AA，54，CC|的中點分別為O,E,F,連接。由于MN//平面

ACGA,所以A“=CN.當A"=CN=°時，MN中點S為平面ACG4的中心，

即的中點（設為G點）處.當4"=CN=缶時，此時MN的中點S為84的中

點.所以S點的軌跡是三角形。所的高EG.由于三角形。即是等邊三角形，而

EG=Ji,所以”=2.故正三棱柱的體積為4~.

故選：D

點睛

本小題主要考查線面平行的有關性質，考查棱柱的體積計算，考查空間想象能力，考查

分析與解決問題的能力，屬于中檔題.

3、答案B

解析根據(jù)線線平行、線面平行有關知識對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).

詳解

①，平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，所以①錯誤.

②，直線a可能在平面a內，故②錯誤.

③，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，故③錯誤.

④，垂直于同一平面的兩條直線平行，故④正確.

所以正確的命題個數(shù)有1個.

故選：B

點睛

本小題主要考查線線平行，線面平行有關命題的真假性判斷，屬于基礎題.

4、答案D

解析根據(jù)空間中線線、線面以及面面位置關系，逐項判斷即可.

詳解

由m,n是兩條不重合的直線，a,P是不重合的平面，知：

在A中，若mua,n//a,則m與n平行或異面，故A錯誤；

在B中，若m，n,m_L￡則n//p或nup,故B錯誤；

在C中，若acB=n,m//n,則m//a且m/犀或m//a且mup或mua且m/不，

故C錯誤；

在D中，若111_101,mJ-P,則由面面平行的判定定理得a/單，故D正確.

故選：D.

點睛

本題主要考查空間中點線面位置關系，熟記相關的定理和概念即可，屬于?？碱}型.

5、答案D

解析詳解：：，Bq//AR,EH//B]J.又...BC//平面EFGH,

4Gu平面始BCC],平面EFGHPl平面B￡//FG,...EHIIFG，

故A對；又???,???四邊形是平行四邊形，EH=同理

BC=FG,故EH=FG.故四邊形EFG”是平行四邊形.故B對；把平面角母法4，

平面DCGHA看做底面，其余各面是平行四邊形，故Q是棱柱，故C對，D錯.

考點：1.直線與平面平行的性質定理；2.空間中直線與直線的位置關系.

6、答案ABC

詳解：解：對于A選項，正三棱錐的底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形（三

線合一），根據(jù)重心的性質可得三個側面的重心將此正三棱錐三個側面等腰三角形的中

AGAHAI2

線分為2：1的比例，如圖1,即：GE~HF~IJ~,所以GH//EF,又EFu平

面BCD,平面BC￡>,故G"http://平面3CO,同理得印〃平面BCD,由于

GHp\HI=Ht所以平面G4///平面BCD；故選項A正確；

對于B選項，如圖2,PC為母線"J2°為圓錐的高，連接CO,即CO是PC在底面

的射影，過。作℃,至，根據(jù)平面的性質得，過。作℃的垂線有且只有一條，故

B選項正確；

對于C選項，由于正棱柱的中心到正棱柱的各個頂點的距離相等，故滿足球心到球面上

的任意點的距離相等且等于半徑，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故C選項正確;

對于D選項，如圖3,A?；?c均不是圓柱的母線，故D選項錯誤.

故選：ABC

點睛

本題考查空間幾何體的結構特征與點線面的位置關系，解題的關鍵在于熟練掌握各簡單

幾何的結構特征，并在解題的過程中，注意數(shù)形結合，做出相應的圖象或者反例的圖象,

即可得答案.

7、答案A

BC

解析連接叫i,證明EFHBG,//CB1,再根據(jù)因1CBt，可得所-J-

即可得到EF與所成角的余弦值.

詳解

解：連接BG

A8C￡）-A4G。1是正方體，

???DA,//CB1nBC、±CB,

因為點后，尸分別是8片，用G的中點

即E尸與成直角，

則Eb與％所成角的余弦值為°

故選：A

點睛

本題考查異面直線所成的角的計算，屬于基礎題.

8、答案ACD

解析A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設結論成立，然后通過條件驗證假設；C.通過面面

平行來證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內，然后根據(jù)長度計算異面直線所成角

的余弦值.

詳解

A.如圖所示，

因為AB=BC=1,所以四邊形A5CD是正方形，所以ACJ.BD,

又因為幾何體為長方體，所以。平面ABCD,所以

又因為所以AC_L平面8叩，

又因為BPu平面所以AC_L3P,故結論正確；

B.如圖所示，

假設8”平面由。，因為「Qu平面由Q,所以片DIP。，

顯然BQ,P°不成立，故假設錯誤，所以結論錯誤；

c.如圖所示，

連接見嗎由條件可知即〃即，尸尸〃明明〃陰,所以FPig,

又因為gn即=89NP=5，所以平面明。//平面EFPQ,

又因為8C|U平面8CQ,所以BC"/平面EFPQ,故結論正確；

D.如圖所示，

連接C4，叫，因為DA,//%所以4。和AC所成角即為N4C4或其補角，

_4+2_4_V2

A

由條件可知：40=2,蝴=2,40=下，所以c°sN4c2-2.A/24,故結論正

確.

故選：ABD.

點睛

本題考查空間中的平行垂直關系的證明以及異面直線所成角的余弦值的計算，屬于立體

幾何的綜合小題，難度一般.其解異面直線所成角的三角函數(shù)值時，可先通過將直線平

移至同一平面內，此時兩條直線所形成的夾角即為異面直線所成角或其補角.

9、答案A

解析要求異面直線BE與8所成角，又AB//CD,根據(jù)異面直線所成的角的定義可知

N4BE就是BE與CD所成角，而SC//平面8DE,由線面平行的性質定理可得

SCHOE,再結合°是的中點，可得E是SA的中點，在正△&山中即可求出N4BE

的大小.

詳解：設ACClBO=O,連接0E,

由SC//平面8￡）石，SCu平面SAC,平面SACD平面8DE=OE,

所以SC//OE,由。是BD的中點，得E是斜的中點，

因為AB//C0,所以乙鉆石就是仍與8所成角，

因為ASAB為正三角形，所以NABE=30°.

故選：A.

點睛

本題主要考查求異面直線所成的角，同時考查線面平行的性質定理，屬于中檔題.

10、答案B

解析利用異面直線的概念，以及線面平行的判定定理，逐項判定，即可求解.

詳解：-----------?

-.MP//AC,MP^AC二ARCM是相交直線，設APcCW=G,

則Ge平面A。％且Ge平面GCDD1,又平面AO'Ac平面C{CDD]=DDX,

所以AP,CM,DR相交于一點，故①不正確，②正確；

設ACC|BD=O,連ON,OD\,則有°N//D]M,ON=D]M,所以四邊形為

平行四邊形，則加“//°A,所以③不正確；

又W平面陰°Ru平面期OQ,所以MN//平面BBQQ,則④正確.

故選：B

點睛

本題主要考查了空間中的點，線，面的位置關系的判定，考查了學生的空間想象能力與

邏輯推理能力.

11、答案D

解析利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質進行判斷即可.

詳解：?,直線m〃直線n,且m//平面/

?'1當n不在平面a內時，平面a內存在直線m〃m=n//m，，

符合線面平行的判定定理可得n〃平面a,

當n在平面a內時，也符合條件，

n與a的位置關系是n//a或nu%故選D.

點睛

本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質，意在考查對基本定理掌握的熟

練程度，屬于基礎題.

12、答案C

解析根據(jù)中點以及直三棱柱的特點將三棱錐A一MN。的體積等價轉換為容易計算的

三棱錐的體積，從而可得兩幾何體的體積之比.

詳解

11

-=-以

一—匕「MN。=V—AMN~2A咖2-

因為“是的中點，所以A

又因為你”平面8℃片，所以9-CBN=%-CBN,

一一，RC//一一A~,匕一CBN=%-A8C=%-A8C=彳匕冏G-A8C

又因為平面A3C,所以3111,

1

7匕

r=

V/-

,VA,-MNC6

所以所以體積比為1：6.

故選：C.

點睛

本題考查空間幾何體體積的計算與幾何體體積之間的關系，難度一般求解幾何體體積

之比時，注意轉換幾何體的頂點簡化計算.

13、答案:

解析先猜想點P為A。的中點，取A2的中點尸，連接即、PF,再證明BP//平面

AED'.結合正四棱柱和中位線的性質可推出四邊形6。戶￡為平行四邊形，從而

BP//EF,然后由線面平行的判定定理可證得3尸//平面AE%

詳解：如圖所示，分別取A2、A。的中點尸、P,連接防、PF,此點P即為所求.

證明如下：

??F、P分別為A2、A。的中點，

FP=DD

:.FP//D]D2'

?.?E為B耳中點，

BE=-BB.

2,

▽D、D//BB、

:.FP//BE,FP=BE,

，四邊形BFFE為平行四邊形，

:.BPHEF9

???BP①平面AEDI,所u平面BPFE,

.?.族//平面4E。.

由于P為A￡＞的中點，

2=-

所以2.

故答案為：2.

點睛

本題考主要查空間中線與面的平行關系，對于找點問題，一般可采用先猜后證的思想，

熟練掌握線面平行的判定定理是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力，

屬于中檔題.

14、答案3

解析如圖，分別取棱。鼻，AA的中點N,M,連接AN,根據(jù)線面平行的性

質可得

BEHFG,可判斷G是"A的三等分點.

詳解：如圖，分別取棱。。，A4的中點N,M,連接AN.2用，

則D,M//AN//BE,所以RM//BE

-.-BE//平面A。。A,則BE//FG.

AG

---=3o

因為尸為棱AA的中點，所以6為4加的中點，所以4G.

故答案為：3.

點睛

本題考查線面平行的性質，屬于基礎題.

15、答案①②④

解析①CM〃平面片AN,則可判斷；②通過線段相等CM=NE,可求出線段NK的

長；②異面直線CM與N與所成角為NENA,求出其正切值即可；④找出球心，求出

半徑即可判斷其真假.從而得到正確結論的序號.

詳解：如圖，取A4的中點為E,A。的中點為產，連接EN,EM,FN,男產，

則四邊形CNEM為平行四邊形，直線CM〃平面所以①正確；

CM=NE=1+—=—

'SI2,所以②正確；

因為CMHEN,異面直線CM與'片的所成角為NEN",

tan/EA"=-

2,所以③錯誤；

當三棱錐口-4Vq的體積最大時，平面B]AN與底面ABCO垂直，

可計算出4°=但A8|=i,Ak+qo'A,所以乙3。=90。，

同理NAND=90°,

所以三棱錐。一4V耳外接球的球心為廠，半徑為1,外接球的表面積是4萬，④正確.

故答案為：①②④.

點睛

本題考查翻折過程中點線面的位置關系，注意翻折過程中不變的量，考查了相關角度,

長度，體積的計算，考查直觀想象，運算能力，屬于較難題目.

16、答案④

解析詳解：連接BD,BD,：AF=A,Q=x,；.PQ〃BD〃BD〃EF,則PQ〃平面MEF,

又平面MEFC1平面MPQ=1,，PQ〃1,I//EF,

...1〃平面ABCD,故①成立；

又EFJ_AC,AllAC,故②成立；

?.T〃EF〃BD,故直線1與平面BCCB不垂直，故③成立；

當X變化時，1是過點M且與直線EF平行的定直線，故④不成立.

即不成立的結論是④.

17、答案（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

（2）首先利用線面垂直的判定定理證明平面PCD,再根據(jù)MN//AE即可證出.

詳解：（1）取PD的中點E，連接EN,

vM,N分別是AB,PC的中點，

.?.AM//C。且AM=-CD,

2

EN//CD^EN=、CD,

2

:.AM//EN且AM=EN,

四邊形AMNE為平行四邊形，

AEJ/MN,

又：A￡u平面PAD,肱Vz平面PAD,

.?.MN//平面PAD.

（2）若PD與平面ABCD所成的角為45°,

PA1矩形ABCD所在平面，可得PA1AD

則以=4）,所以AE_L尸D,

又ABCD為矩形，則CD_LA。，

由PA1平面ABCD,則Q4_LCD,

ADC\PA=A,

\CD八平面尸4）,

???AEu平面？AD,

:.CDA.AE,

PDC\AD^D,

.?.AE，平面PCD,

???AE//MN，,MN1平面PCD.

點睛

本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質定理，考查

了邏輯推理能力，屬于基礎題.

解析

18、答案（1）見解析；（2）見解析.

（D由判斷定理,BC1AD,CD1AD,則ADJ_平面BCD.

（2）AiE//0D,而ODCBCDAAiE//5??BCD

試題解析：

（1）?.?直三棱柱ABC-ABG中CC」平面ABC,又BCU平面ABC

ACCilBC,XVAC1BC,ACACC1=C,AC,CCC平面AACC

...BC_L平面AACC,而ADU平面AACC.,BCLAD①

1TC

又該直三棱柱中AA」AC,CC-AC由已知AA產式AC=AD,則NAiDA="y

24

兀7t

同理NGDC=—,則NADC=—,即CD_LAD