機械控制理論基礎(chǔ) 課件 第5章 控制系統(tǒng)的頻率特性

FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論

基礎(chǔ)FrequencyCharacteristicsofControlSystems控制系統(tǒng)的頻率特性CHAPTER51對系統(tǒng)性能的評價：穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性時域分析：在穩(wěn)定前提下，解決系統(tǒng)的快速性、準(zhǔn)確性問題頻域分析：解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性問題頻率特性分析是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容工程實際中：振動問題：對以周期性振動的輸入信號的響應(yīng)分析問題材料的疲勞試驗：施加的作用力為周期性交變信號汽車的減振效果橋梁（跨海大橋）的設(shè)計生活中：士兵過橋，挑擔(dān)子2圖（a）振蕩初起之時圖（b）災(zāi)難發(fā)生之時1940年7月1日建成通車的美國塔科馬海灣（TacomaNarrows）大橋，在四個月后的11月7日被大風(fēng)吹塌。大橋坍塌后，美國組建了一個事故調(diào)查委員會。其中成員就包括空氣動力學(xué)家馮·卡門（TheodorevonKármán）?？ㄩT是匈牙利猶太人，1930年移居美國后負(fù)責(zé)指導(dǎo)古根海姆氣動力實驗室和加州理工大學(xué)第一個風(fēng)洞的設(shè)計和建設(shè)。NASA著名的噴氣推進(jìn)實驗室（JPL）亦是由他創(chuàng)建。調(diào)查發(fā)現(xiàn)這場災(zāi)難源于一種卡門渦街現(xiàn)象，卡門渦街類似于將木樁插入水流時在木樁下游形成的兩列非對稱漩渦，進(jìn)而形成側(cè)向力作用，該作用是有規(guī)律的周期性現(xiàn)象（即具有一定頻率），而塔科馬大橋本身也有自己的頻率，當(dāng)兩個頻率接近的時候便會發(fā)生共振。而發(fā)生共振的后果，現(xiàn)在大家都知道了。4本章主要內(nèi)容(MainContents)頻率特性

(frequencyresponse)對數(shù)坐標(biāo)圖(LogMagnitudeandPhaseDiagram,BodeDiagram)極坐標(biāo)圖(PolarcoordinatePlot，NyquistPlot)最小相位系統(tǒng)(dynamicanalysisofhigh-ordersystem)閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標(biāo)(frequencycharacteristicsofclosed-loopsystems&

performancespecificationsinthefrequencydomain)5本章重點內(nèi)容基本概念：頻率特性、幅頻特性、相頻特性Bode圖：注意對數(shù)幅頻圖的漸近線作圖，強調(diào)工程應(yīng)用的簡化計算??！Nyquist圖：頻域性能指標(biāo)特別強調(diào)：大學(xué)思維再加：高中知識（主要是復(fù)數(shù)的模與幅角的知識）65.1頻率特性1.頻率響應(yīng)線性定常系統(tǒng)對正弦(諧波)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。一、頻率響應(yīng)與頻率特性這里強調(diào)：系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，且是穩(wěn)定的，輸入為正弦（諧波）信號（那么，余弦信號輸入是否可以？）7其中：—幅頻特性，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比—相頻特性，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差—頻率特性，是幅頻特性與相頻特性的總稱2.頻率特性8由以上表達(dá)可知，頻率特性本質(zhì)上是個以為自變量的復(fù)變函數(shù)，其模與幅角的表達(dá)就是頻率特性的幅值（幅頻特性）與相位（相頻特性）

系統(tǒng)的頻率特性亦可表示為由于也可以寫成實部和虛部之和，即實頻特性虛頻特性關(guān)于相位的符號：相位逆時針為正，順時針為負(fù)；相位超前為正，相位滯后為負(fù)。對實際的物理系統(tǒng)，相位一般都是滯后的。9例5-1設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

當(dāng)輸入信號為時，求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：系統(tǒng)的頻率特性為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

其中

所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為10頻率響應(yīng)只是時間響應(yīng)的一個特例。當(dāng)諧波頻率不同時，其輸出的幅值與相位也不同。進(jìn)行拉氏反變換，可得響應(yīng)為若要求其輸出，則由指數(shù)衰減項諧波振蕩項

11二、頻率特性的含義與特點1.頻率特性的含義將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)中的s換為jω，即為系統(tǒng)的頻率特性。即系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。12即系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的傅里葉變換之比。頻率特性與輸出和輸入的關(guān)系：13求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性至此，建立起時域分析與頻域分析以及各種數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系：為獲取系統(tǒng)的動態(tài)特性，時域分析采用的方法是分析線性系統(tǒng)的過渡過程（瞬態(tài)響應(yīng)）；而頻域分析采用的方法是分析不同的諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。14采用頻域分析的主要優(yōu)點：（1）在研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響時，許多情況下，在頻域中分析要容易得多。特別是利用頻率特性可方便地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定儲備量，參數(shù)選擇或系統(tǒng)校正，使系統(tǒng)盡可能達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo)。根據(jù)頻率特性，易于確定系統(tǒng)頻率范圍。2.頻率特性分析的優(yōu)點（2）若線性系統(tǒng)的階次較高，采用頻率特性分析比在時域中分析系統(tǒng)的性能要容易。（3）采用頻率特性分析法可設(shè)計出合適的通頻帶，以抑制系統(tǒng)中混入的噪聲干擾的影響。（4）對任意時間函數(shù)的輸入，只要滿足傅氏變換的條件，頻率特性分析方法都是適用的。15實際系統(tǒng)存在的非線性使得頻率特性分析會產(chǎn)生誤差難應(yīng)用于時變系統(tǒng)和MIMO系統(tǒng)難以在線識別頻率特性分析的缺點16對于機械系統(tǒng)而言，頻率特性反映了系統(tǒng)機械阻抗的特性。三、機械系統(tǒng)動剛度的概念如圖所示質(zhì)量—彈簧—阻尼構(gòu)成的機械系統(tǒng)：

其傳遞函數(shù)為：

17與虎克定律相似

所以

動剛度

而

動柔度

當(dāng)時，

即該機械系統(tǒng)的靜剛度。

其頻率特性為：

18當(dāng)時，動剛度幅值為：

令，可得：

稱作系統(tǒng)的諧振頻率。

此時系統(tǒng)的最小動剛度幅值：當(dāng)時，19工程應(yīng)用-動態(tài)吸振器彈簧吸振器簡化模型如圖5-6所示。若質(zhì)量受到干擾力，如何選擇吸振器參數(shù)，使質(zhì)量產(chǎn)生的振幅為最小。解：建立系統(tǒng)微分方程為：求得位移x1與輸入力之間的傳遞函數(shù)為：20動態(tài)吸振器該吸振器按輸入干擾力的頻率確定參數(shù)，若輸入干擾力頻率發(fā)生變化，其減振作用將會減弱。若要使，須動剛度為：而在車內(nèi)螺紋時車刀柄過長，一次性加工會出現(xiàn)抖動情況，如果在刀柄內(nèi)加個重力塊能減輕震動，這靠譜嗎？

21動態(tài)吸振器應(yīng)用實例-減振刀柄這個減振刀柄是一個被動動態(tài)減振系統(tǒng)，內(nèi)置預(yù)調(diào)過的重金屬阻尼單元，由彈性原件支撐在刀柄的腔體內(nèi)。選用密度最高的物質(zhì)做成阻尼體，這樣可以在有限的空間內(nèi)達(dá)到最大的質(zhì)量。22阻尼體的位置在設(shè)計時必須盡可能靠近刀柄前端，這樣可以最大化阻尼效果。而阻尼體也必須經(jīng)過預(yù)調(diào)，以使其自身頻率與整個刀柄的頻率一致。在實際加工過程中，刀柄前端刀具發(fā)生的振動變形在第一時間被阻尼體抵消，不會沿著刀柄向后傳遞，從而減少了整個刀柄的振動變形。

刀柄內(nèi)的結(jié)構(gòu)通過下面這個視頻就能一目了然：23其它例子：磁共振儀（MRI：MagneticResonanceImaging）梯度線圈的被動式動態(tài)吸振24四.頻率特性的作圖表示方法

Bode圖（對數(shù)坐標(biāo)圖，logarithmicplot）Nyquist圖（極坐標(biāo)圖,NyquistPlot）Nichols圖（對數(shù)幅-相圖,NicholsPlot）重點要求學(xué)會Bode圖和Nyquist圖的作圖方法，特別是其工程計算（簡化計算），對Nichols圖不作要求。25

1.對數(shù)坐標(biāo)圖5.2

頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖由對數(shù)幅頻圖和對數(shù)相頻圖組成:

橫坐標(biāo)：表示輸入信號的頻率，取對數(shù)分度縱坐標(biāo)：表示對數(shù)幅值和相位差26橫坐標(biāo)的分度所以，橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度，對低頻段的頻率特性表達(dá)比較充分！倍頻：oct

十倍頻：dec

lg1lg10027用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點幅值采用對數(shù)形式，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除，化為幅值的加、減，因而簡化了計算與作圖過程?？捎脻u近線近似的方法作圖，在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計、校正和辨識時，特別方便。橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度，有效地擴展了低頻段（工程上較為關(guān)心）的范圍。28（1）比例環(huán)節(jié)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖29（2）積分環(huán)節(jié)當(dāng)時，即：積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻圖是過（1,0）點斜率是-20dB/dec的直線，相頻特性為一條-90度線。兩個積分環(huán)節(jié)時？30（3）微分環(huán)節(jié)當(dāng)時，即：微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻圖是過（1,0）點斜率是20dB/dec的直線，相頻特性為一條90度線。兩個微分環(huán)節(jié)時？31（4）慣性環(huán)節(jié)在低頻段誤差

在高頻段誤差3233（5）一階微分環(huán)節(jié)即一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻圖分別與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻圖關(guān)于0dB線和0度線對稱。

34（6）振蕩環(huán)節(jié)35在低頻段誤差在高頻段誤差36振蕩環(huán)節(jié)的bode圖37振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的誤差圖38（7）二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻圖分別與振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻圖關(guān)于0dB線和0度線對稱。

39（8）延時環(huán)節(jié)40（1）將系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為若干個標(biāo)準(zhǔn)形式的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積形式，并求出頻率特性。（2）確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率、固有頻率以及阻尼比等參數(shù)，并將各典型環(huán)節(jié)按照轉(zhuǎn)折頻率從小到大排序。（3）將橫坐標(biāo)按照對數(shù)進(jìn)行分度，將個典型環(huán)節(jié)按序以漸近線的方式繪制和疊加，畫出整個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。（4）將得到的對數(shù)幅頻漸近線，根據(jù)阻尼比對其進(jìn)行修正。（5）按照相頻特性表達(dá)式將整個系統(tǒng)的相頻曲線畫出，注意關(guān)鍵點。（6）當(dāng)有延時環(huán)節(jié)時，對數(shù)幅頻特性不變，對數(shù)相頻特性則應(yīng)加上-τω/π*180

。3.繪制系統(tǒng)Bode圖的步驟與實例對于Bode圖，要學(xué)會漸近線作圖與近似估計計算！41例(1)比例(2)積分(3)振蕩環(huán)節(jié)：固有頻率與阻尼比(4)慣性環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率(5)一階微分：轉(zhuǎn)折頻率過42對數(shù)幅頻特性的漸近畫法43%程序：畫伯德圖clear;closeall;clc;Num1=[10,3];Den1=[1,3,4,4,0];Gs1=tf（Num1,Den1）;figure（1）;bode（Gs1）;%伯德圖gridon;用MATLAB畫Bode圖程序

44用MATLAB所畫的Bode圖如下

45②慣性環(huán)節(jié)③一階微分環(huán)節(jié)④慣性環(huán)節(jié)①比例環(huán)節(jié)46s/rad)(Lww0.1110dB5100.01-20dB/dec-5-109.541000.4240-20dB/dec-4.4其對數(shù)幅頻特性的漸近畫法用MATLAB所畫的Bode圖如下

0.4240484.系統(tǒng)類型與系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性圖之間的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

開環(huán)頻率特性

=K

=K

=K

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

49（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)

對于0型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻曲線在低頻段即時，其對數(shù)幅值為：即0型系統(tǒng)的低頻漸近線是分貝的水平線。

當(dāng)時，

50（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)

對于I型系統(tǒng)即其對數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-20dB/dec的線段當(dāng)時，

51（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

對于II型系統(tǒng)即其對數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-40dB/dec的線段當(dāng)時，

525.3

頻率特性的極坐標(biāo)圖對于系統(tǒng)的頻率特性，以橫坐標(biāo)表示其實部，以縱坐標(biāo)表示其虛部。1.頻率特性的極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖的特點：優(yōu)點：在同一圖上表示了頻率特性的幅值和相位；缺點：若數(shù)個環(huán)節(jié)串聯(lián)，則其幅值相乘除，相角相加減。即當(dāng)時，變化的規(guī)律。極坐標(biāo)圖對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和校正極為重要。53

2.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)54（2）積分環(huán)節(jié)55（3）微分環(huán)節(jié)56（4）慣性環(huán)節(jié)57（5）一階微分環(huán)節(jié)58（6）振蕩環(huán)節(jié)59（6）振蕩環(huán)節(jié)60（7）二階微分環(huán)節(jié)61（8）延時環(huán)節(jié)

62

3.Nyquist圖的一般畫法例163例264例365總結(jié)：對于一般形式的系統(tǒng)頻率特性其乃奎斯特圖具有以下特點：當(dāng)時，乃奎斯特圖的起始點取決于系統(tǒng)的型次：0型系統(tǒng)，起始于正實軸上某一有限點（相位角為0o）；

Ⅰ型系統(tǒng)，起始于相位角為-90o的無窮遠(yuǎn)處，其漸近線為一平行于虛軸的直線；Ⅱ型系統(tǒng)，起始于相位角為-180o的無窮遠(yuǎn)處。66②當(dāng)時，若n>m，乃奎斯特圖以順時針方向收斂于原點，即幅值為零，相位角與分母和分子的階次之差有關(guān)，即③當(dāng)G（s）含有零點時，其頻率特性的相位將不隨增大而單調(diào)減，Nyquist圖會產(chǎn)生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)有關(guān)。67例4

4.傳遞函數(shù)有零點時Nyquist圖的畫法68用Matlab繪制的Nyquist圖：69例5例6705.5最小相位系統(tǒng)1.最小相位系統(tǒng)(mimimum-phasesystem)對于閉環(huán)系統(tǒng)，若其開環(huán)傳遞函數(shù)的所有零點和極點均在s平面的左半平面時,則該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。對于最小相位系統(tǒng)而言，當(dāng)頻率從零變化到無窮大時，相位角的變化范圍最小，即

當(dāng)時，其相位角為712.非最小相位系統(tǒng)延時環(huán)節(jié)不穩(wěn)定的一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有零點或極點在s平面的右半平面時,則該系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。幅頻特性相同的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位變化最小。幅頻特性確定后，其對應(yīng)的最小相位系統(tǒng)是唯一的。（2）產(chǎn)生非最小相位的一些環(huán)節(jié)（1）定義72例5-10有三個不同的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷它們是否為最小相位系統(tǒng)，分別畫出它們的伯德圖，并比較其相頻特性。解：三個系統(tǒng)零、極點的分布圖見圖5-39。73它們中只有對應(yīng)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，和為非最小相位系統(tǒng)。它們的伯德圖中幅頻特性相同，相頻特性不同，分別為74三個系統(tǒng)的幅頻與相頻特性如下圖75例T1＝10T276(1)對應(yīng)最小相位系統(tǒng)，根據(jù)開環(huán)頻率特性L(ω)能唯一確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)—系統(tǒng)辨識問題。例5-11由實驗得到的最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻曲線如圖5-42所示，試估計它們的傳遞函數(shù)。3.最小相位系統(tǒng)的應(yīng)用7778(2)對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng)，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。－20dB/dec————－900－40dB/dec————－1800－60dB/dec————－2700要使系統(tǒng)穩(wěn)定，并有足夠的穩(wěn)定裕量，應(yīng)使L(ω)以－20dB/dec斜率穿越0dB線，并保持ωc前后有一定寬度(10倍頻程)。79以－20dB/dec斜率穿越0dB線，系統(tǒng)穩(wěn)定。以－40dB/dec斜率穿越0dB線，系統(tǒng)可能穩(wěn)定。以－60dB/dec斜率穿越0dB線，系統(tǒng)一般不穩(wěn)定。805.6閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標(biāo)1.開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性的關(guān)系

*在頻域?qū)ο到y(tǒng)性能進(jìn)行分析有兩種思路：（1）對閉環(huán)頻率特性分析（直接）；（2）由開環(huán)頻率特性分析估計閉環(huán)性能（間接）。（1）諧振頻率(resonantfrequency)和諧振峰值

812.閉環(huán)頻域性能指標(biāo)頻域性能指標(biāo)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能要求制定的。根據(jù)閉環(huán)頻率特性定義的性能指標(biāo)有：

將閉環(huán)頻率特性的幅值用表示。

(resonantpeakmagnitude)82通常，一個系統(tǒng)的大小表征了系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。一般來說，值愈大，則該系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的超調(diào)量也大，表明系統(tǒng)的阻尼小，相對穩(wěn)定性差。對于圖5-46所示二階系統(tǒng)，

83當(dāng)時，