專題06 圓（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題06圓【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？圖1觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線.圖2在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如圖2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據(jù)勾股定理，有.圖3當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3，為圓的切線，可得，，且在中，.圖4如圖4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對(duì)圓的討論，可以得出：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓.我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.【題型歸納目錄】題型一：直線與圓的位置關(guān)系題型二：點(diǎn)的軌跡【典例例題】題型一：直線與圓的位置關(guān)系例1．(2023·安徽宿州·校考一模)如圖，在中，，以為直徑作，在上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．【解析】(1)證明：連接，如圖，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即半徑，∴是⊙O的切線；(2)連接，交于點(diǎn)G，如圖，

∵，，∴，∵O為為中點(diǎn)，∴為中位線，∴，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴在中，．例2．(2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè))如圖，是的直徑，C，D都是上的點(diǎn)，平分，過點(diǎn)D作的垂線交的延長線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．【解析】(1)如圖1，連接，

∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴，∴∵是的半徑，∴是的切線；(2)連接，交于，

∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴．例3．(2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模)如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑長．【解析】(1)連接，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴；(2)連接，如圖所示：

∵為直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即的半徑為．變式1．(2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過上的點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若的半徑為，，，求的長．【解析】(1)證明：連接OB，

∵是的直徑，∴∴∴∵BF與相切∴，即∴∵，∴，∴；(2)由(1)．∴，設(shè)，∴∴，∵⊙O的半徑為，∴，在中，∴，∴∵∴，∴又∵，∴在中，．∴變式2．(2023·河南商丘·統(tǒng)考三模)如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的切于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【解析】(1)(1)證明：連接，

切于，，，，，，，，即；(2)如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，連接，

∵是直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，，則，∴，∴．變式3．(2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ凶锨G中學(xué)校考三模)如圖，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，以為直徑作，分別與交于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．【解析】(1)證明：如圖，連接，

∵中，D為邊中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴EG是的切線．(2)如圖，連接，

∵是的直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴．變式4．(2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模)如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，可通過找到圓心的方法進(jìn)行復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧所在圓的圓心O；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在中，連接交于點(diǎn)E，連接，當(dāng)時(shí)，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于，則直線l與圓________(填“相交”“相切”或“相離”)【解析】(1)如圖所示，點(diǎn)O即為所求；

(2)∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴所求圓的半徑為；(3)∵直線l到圓心的距離等于，且圓的半徑為，∴直線l與圓相切，故答案為：相切．變式5．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考二模)如圖，內(nèi)接于，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接．過點(diǎn)B作的切線，交延長線于點(diǎn)N．過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．

(1)若，求證：；(2)在(1)的條件下，若，，求的半徑．【解析】(1)證明：連接，過O作于H，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(2)連接，∵是直徑，∴，∴，∵切于B，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的半徑為4．變式6．(2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模)如圖1，在中，直徑于點(diǎn)F，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)C作的切線交BA的延長線于點(diǎn)Q，若，，求的長度；(3)在(2)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)，連接，的比值是否發(fā)生改變？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．【解析】(1)∵直徑于點(diǎn)F，∴．∵點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，∴．∴．∴．(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，

由(1)知∵直徑于點(diǎn)F，∴．在中，∵，∴．解得：，∵點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，∴，．∴．∵是的切線，∴．∴．∴，即．∴．(3)的比值不會(huì)發(fā)生改變，，理由如下：由(2)知，，，，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、不重合時(shí)，如圖3，連接，

∵，，∴．又∵，∴．∴．∴的比值不會(huì)發(fā)生改變．題型二：點(diǎn)的軌跡例4．(2023·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既?綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫出圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，請(qǐng)求出的值，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片的邊長為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，且速度相同，連接、，交于點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值為______，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為______．(直接寫出答案不必說明理由)【解析】(1)∵四邊形是正方形，∴，，又，∴∴∴，在和中，∵，，∴，∴；故答案為：；(2)，理由如下：∵四邊形是矩形，∴，，又，∴∴∴，∴∴∵∴(3)如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由題意知，，，∴，∴∴∵是的中點(diǎn)，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為：，故答案為：；．例5．(2023·河北邯鄲·?？既?數(shù)學(xué)興趣小組探究平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)滿足特定關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題：(1)組長提出問題：動(dòng)點(diǎn)隨著t的變化形成的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么?甲同學(xué)的思考：t取3個(gè)特殊值得到3個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線的表達(dá)式；乙同學(xué)的思考：令，，通過消去t得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．______(填甲或乙)同學(xué)的方法更嚴(yán)謹(jǐn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，Q為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)且，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)以每秒6個(gè)單位的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)時(shí)PQ的最小值；(3)老師給出坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：，.丙學(xué)說：點(diǎn)T、K的運(yùn)動(dòng)軌跡都是直線；丁同學(xué)說：點(diǎn)T、K在運(yùn)動(dòng)過程中不可能重合；請(qǐng)你判斷兩人結(jié)論是否正確并說明理由．【解析】(1)乙的方法更嚴(yán)謹(jǐn)，令，，∴，∴，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為；故答案為：乙，；(2)∵，，∴，，∴移動(dòng)到點(diǎn)的位置需要的時(shí)間為：秒，①當(dāng)時(shí)，，，，則：；②當(dāng)時(shí)，，∴，，即：則：；綜上：，令，，消去，得的運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∵∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，∴的值最小值為，(3)①∵，令，則：；∴，∴點(diǎn)的軌跡為拋物線；∵，令，則：，∴；∴點(diǎn)的軌跡為直線；則丙同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤聯(lián)立，整理，得：，∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，即拋物線和直線沒有交點(diǎn)，即點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中不可能重合，丁同學(xué)的說法正確．例6．(2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既?綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫出圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，請(qǐng)求出的值，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，且速度相同，連接、，交于點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值為______，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為______．(直接寫出答案不必說明理由)

【解析】(1)∵四邊形是正方形，∴，，又，∴∴∴，在和中，∵，，∴，∴；故答案為：(2)∵四邊形是矩形，∴，，又，∴∴∴，∴∴∵∴(3)如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由題意知，，由(1)可得，同理可得：，∵是的中點(diǎn)，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為：，故答案為：；．變式7．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模)“垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境從我做起”，如圖所示的是某款垃圾桶側(cè)面展示圖，，，桶蓋可以繞點(diǎn)G逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，桶蓋落在的位置．(1)求在桶蓋旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡的長度．(2)求點(diǎn)到地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：)【解析】(1)如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)知點(diǎn)C，都在以G為圓心，為半徑的圓上，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌的長度為弧的長．在中，，∴，∴弧的長度為，故點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為；(2)如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，∴．∵，∴四邊形為矩形，∴，在中，∴，∴答：點(diǎn)到地面AB的距離約為82.8cm．變式8．(2023·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點(diǎn)E，圓心為I，P是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)．(1)試用含a的代數(shù)式表示c；(2)若恒成立，求出此時(shí)該拋物線解析式；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)Р沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，試求出它的路徑長．【解析】(1)∵拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，∴該函數(shù)的解析式為，∴．(2)連接，∵P是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，且，∴點(diǎn)D在上，∴，∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，把代入得：，解得：，∴該拋物線解析式為：；(3)∵，∴，∴點(diǎn)Q在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵、，，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，即，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，，即，∴軸，，∴點(diǎn)Q在以中點(diǎn)為圓心的半圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的路徑長為：．變式9．(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”的工作原理．如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心始終在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米(即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離)．(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【解析】(1)如圖，作于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，則米，米，設(shè)圓的半徑為米，在中，，，解得，該圓的半徑為5米；(2)如圖，當(dāng)米時(shí)，，在中，，，米，(米)，答：水面下盛水筒的最大深度為2米．變式10．(2023·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)?？计谀?如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上(1)畫出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，并寫出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)、、．(2)畫出繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的．并求點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到的軌跡的弧長．【解析】(1)關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形如圖所示：∴的坐標(biāo)為、的坐標(biāo)為、的坐標(biāo)為；(2)繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，如圖所以：由圖可知，，，∴點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到的軌跡的弧長為：．變式11．(2023·重慶梁平·九年級(jí)校聯(lián)考期中)已知：，點(diǎn)B為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線交的垂直平分線于點(diǎn)P．(1)請(qǐng)利用圖(1)進(jìn)行探討：若點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；若點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；若點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；(2)設(shè)，請(qǐng)列出y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式，并在圖2中畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡l．(3)圖2中，點(diǎn)，有動(dòng)點(diǎn)G，；按下列要求作圖，軌跡l與直線相交于點(diǎn)A，B(A點(diǎn)在左)，點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，連接，直接寫出線段的長度范圍．【解析】(1)設(shè)，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，由于軸，則，所以點(diǎn)，∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴，即，∴，∴，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)，由，得，∴，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∵∴，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，(2)∵軸，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴，即，∴，整理得：，(3)如圖2，連接，取的中點(diǎn)E，連接、、，∵為線段的中點(diǎn)，∴由三角形中位線定理得，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，最大為；當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，最小為，∵點(diǎn)及直線，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴，∴由勾股定理得，∴的最大值為，最小值為，所以的取值范圍為：．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中)已知線段的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是(

)A．以為直徑的圓 B．的延長線 C．的垂直平分線 D．平行的直線【答案】A【解析】∵線段的中點(diǎn)為，∴，∵，∴，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心，為直徑的圓上，故選：A．2．(2023·甘肅蘭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在矩形ABCD中，BC=2，將邊BC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)B剛好落在邊AD的中點(diǎn)E上，則點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡長為()A． B． C．π D．無法確定【答案】B【解析】在矩形中，，將邊繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)剛好落在邊的中點(diǎn)上，弧就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，，，，在中，，，，∴點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡長為，故選：B．3．(2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)、、、在上，，，則點(diǎn)到的距離是()

A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】∵點(diǎn)、、、在上，，∴，∵，∴是等邊三角形，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴∴點(diǎn)到的距離是，故選：B．

4．(2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)A，B，C在上，若，則等于(

)

A．100° B．110° C．120° D．140°【答案】D【解析】在優(yōu)弧上取點(diǎn)D，連接，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴∵與是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角∴故選：D．5．(2023·新疆烏魯木齊·?？级?如圖，四邊形內(nèi)接于．連接，若，則(

)

A．150° B．140° C．130° D．120°【答案】B【解析】∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，∵，∴，故選：B．6．(2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，已知的周長為8，，的周長為，則表示與的函數(shù)圖象大致是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】如圖所示，連接，

，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，，的周長，的周長為8，，，，，，，與的函數(shù)關(guān)系式為：，故選：A．7．(2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模)如圖，的兩條角平分線相交于O點(diǎn)，，，點(diǎn)P，Q分別為AC，BC上的點(diǎn)，且，甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形OPCQ的面積是定值；丙：當(dāng)時(shí)，的周長和面積均取得最小值．則下列說法正確的是(

)

A．甲正確，乙、丙錯(cuò)誤 B．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 C．甲錯(cuò)誤，乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，于點(diǎn)E，則

∵的兩條角平分線相交于O點(diǎn)∴點(diǎn)O為的內(nèi)心，是的平分線，，，，，，在和中，，，，所以甲的判斷正確；連接，，∴四邊形的面積，∵點(diǎn)的位置固定，∴是定值，∴四邊形的面積是定值，所以乙的判斷正確；如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，

，，，∴，，的周長，的面積∴當(dāng)最小時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的周長和面積均取得最小值；綜上所述：甲、乙、丙正確．故選：D．8．(2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模)在中，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，且，若，，則的半徑為(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，

為的直徑，，，，，，，，在中，，，，，，即的半徑為．故選：C．9．(2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)校考二模)如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過的內(nèi)心作于點(diǎn)．若，，則的長為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)I作，垂足分別為G，F(xiàn)，

∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴以為半徑的圓I是的內(nèi)切圓，∴，，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．故選：B10．(2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模)如圖所示，內(nèi)接于，點(diǎn)M為的內(nèi)心，若，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵且，∴∵點(diǎn)M為的內(nèi)心，∴∴∴∵且∴，故選：A．二、填空題11．(2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模)如圖，直線與相切于點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，垂線段交于另一點(diǎn)，已知半徑為3，，則弦的長為．

【答案】【解析】作于，連接，，

，切圓于，半徑，，四邊形是矩形，，，，．故答案為：．12．(2023·寧夏固原·?？级?如圖，直線是的切線，C為切點(diǎn)，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，連接，，，則的度數(shù)為_______．

【答案】/度【解析】∵直線是的切線，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．13．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模)已知內(nèi)接于，它的內(nèi)心為點(diǎn)D，連接交弦于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，已知，，，則線段的長為______．

【答案】/【解析】連接，，

∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)為的內(nèi)心，∴，分別為，的平分線，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，故答案為：．14．(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模)如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，則的大小為__________．

【答案】/72度【解析】∵，∴，∵是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，∴．故答案為：．15．(2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模)如圖，在中，，，，以邊的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與相切，點(diǎn)P，Q分別是邊(包括端點(diǎn))和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則長的最大值與最小值的差是______．

【答案】10.5【解析】設(shè)與相切與點(diǎn)E，連接，作垂足為交于，

此時(shí)垂線段最短，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理，∴最小值為；如圖，當(dāng)在邊上時(shí)，與B重合時(shí)，經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，最大值，∴長的最大值與最小值的差是10.5，故答案為：10.5．三、解答題16．(2023·云南昆明·統(tǒng)考二模)矩形中，，點(diǎn)O是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，連接，將沿折疊，得到，再以O(shè)為圓心，長為半徑作半圓，交射線于G，連接并處長交射線于F，連接，設(shè)．

(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在上時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)半圓O與的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍．【解析】(1)證明：是矩形，，∵沿折疊，得到，，，是半圓O的半徑，是半圓O的切線．(2)當(dāng)點(diǎn)E落在上時(shí)，如圖2所示：

∵沿折疊，得到，，，∴，∵在中，，∴∴∵由(1)知是半圓O的切線，，∴在中，∴，解得：，答：x的值為3．(3)分情況進(jìn)行討論：①如圖2，當(dāng)半圓O與相切時(shí)，根據(jù)(2)中解答，可得；

如圖3，當(dāng)半圓O與相切時(shí)，．

∴當(dāng)時(shí)，半圓O與的邊和各有一個(gè)交點(diǎn)；②如圖4，當(dāng)半圓O經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，連接，設(shè)圓的半徑為a，

在中，可得，即解得：如圖5，當(dāng)半圓O的圓心與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，半圓O與的邊和各有一個(gè)交點(diǎn)，∴綜上所述，當(dāng)或時(shí)，半圓O與的邊有兩個(gè)交點(diǎn)．17．(2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，是的外接圓，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)．

(1)求證：(2)若的半徑為2，，求的長．【解析】(1)連接

∵是直徑，．是的切線，，，，，，又，，，在和中，，，．(2)，，在中，，．，．在中，，，，．18．(2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模)如圖，是的外接圓，是的直徑，與關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．在C點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的值．【解析】(1)證明：∵，∴，∵，∴，∴；(2)證明：連接，

∵是的直徑，∴，∵與關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；(3)連接，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．19．(2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實(shí)踐與操作：請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)(2)推理與計(jì)算：連接并延長，與交于另一點(diǎn)D．若，，求的長．【解析】(1)如圖1，點(diǎn)I為所求，

(2)如圖2，連接，，，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．20．(2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè))(1)問題提出：如圖1，N為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)M在延長線上，連接，，若，則°；(2)問題解決：參觀研學(xué)觀光園是近年來興起的一種研學(xué)旅行模式．如圖2所示的五邊形為某研學(xué)觀光園的規(guī)劃設(shè)計(jì)圖．其中，，點(diǎn)P是兩條筆直的觀光小路與的交叉口，經(jīng)測(cè)量．①若點(diǎn)P恰為觀光小路的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長度；②觀光園的設(shè)計(jì)者從實(shí)用和美觀的角度綜合考慮，想將園中由點(diǎn)B，N，C構(gòu)成的三角形區(qū)域建設(shè)為采摘園，且使采摘園的面積最小，是否存在這樣面積最小的，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)面積的最小值；若不存在，說明理由．

【解析】(1)如圖1，

∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．(2)①如圖2，

連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，設(shè)，∴解得，∴．②如圖，

連接，