專題04易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題(原卷版+解析)(重點突圍)

專題04易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產(chǎn)生易錯】 1【易錯點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 4【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 8【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 12【典型例題】【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·浙江·八年級期末）已知：等腰三角形的兩邊長分別為6和4，則此等腰三角形的周長是_____．【變式訓練】1．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對2．（北京市延慶區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題）等腰三角形有兩條邊長分別為和，則這個等腰三角形的周長為_____．3．(2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┮阎粋€等腰三角形的兩邊長分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長為_____cm．4．(2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）若的三邊長分別為，7，6，當為等腰三角形時，則的值為__________．5．(2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的底邊長為______．【易錯點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·浙江·八年級期中）等腰三角形的一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的頂角為__．【變式訓練】1．(2023秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）如果等腰三角形的一個角的度數(shù)為，那么其余的兩個角的度數(shù)是______．2．(2023春·黑龍江黑河·八年級?？计谀┑妊切蔚囊粋€角比另一個角的2倍少，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．3．(2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第十七中學?？茧A段練習）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數(shù)為______．4．(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？计谥校┰谥?，，，點D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為___________．5．(2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點P在的三邊上運動，當為等腰三角形時，頂角的度數(shù)是________．6．(2023春·上海虹口·八年級校考期中）如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個“倍角三角形”．如果一個倍角三角形是一個等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·河南平頂山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，，，于O，，P為線段上一個動點，點P從點D向終點B運動（不包括D、B），當為等腰三角形時，的長為______．【變式訓練】1．(2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形中，點E是上的一點，過點E作，交于點F，作點D關于的對稱點G，依次連接、、．已知，，且當是以為腰的等腰三角形時，則的值為_________________．2．(2023春·陜西西安·八年級西安市第二十六中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的四個頂點分別為點，，，，點D是線段的中點，點P在邊上，若是腰為5的等腰三角形，則點P的坐標為____________．【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考階段練習）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)是______．【變式訓練】1．(2023春·北京西城·八年級?？计谥校┰谥?，，是邊上的高，，則的度數(shù)為______．2．(2023春·廣東廣州·八年級校考階段練習）在中，，上的中線把三角形的周長分成和兩部分，則底邊的長為______．3．(2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校?？茧A段練習）一個等腰三角形的周長為36，其中一條邊的長度為10，則底邊上高的長度為___________．4．(2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考階段練習）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的底角的度數(shù)為______．5．(2023·陜西·交大附中分校七年級期末）已知中，，在AB邊上有一點D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．專題04易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產(chǎn)生易錯】 1【易錯點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 4【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 8【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】 12【典型例題】【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·浙江·八年級期末）已知：等腰三角形的兩邊長分別為6和4，則此等腰三角形的周長是_____．答案:16或14##14或16分析：分6是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關系判斷，然后根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解．【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、4，能組成三角形，周長是6+6+4＝16，②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、4、4，能組成三角形，周長是6+4+4＝14，綜上所述，三角形的周長為16或14．故答案為：16或14．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．【變式訓練】1．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對答案:B解析：分析：先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分5是腰長與底邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：，，x?5=0，y?10=0，解得x=5，y=10，當5是腰長時，三角形的三邊分別為5、5、10，∵5+5=10，∴不能組成三角形；當5是底邊時，三角形的三邊分別為5、10、10，能組成三角形，周長=5+10+10=25，所以，三角形的周長為25，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的性質(zhì)，絕對值非負數(shù)，平方非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0，求出x、y的值是解題的關鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關系進行判斷．2．（北京市延慶區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題）等腰三角形有兩條邊長分別為和，則這個等腰三角形的周長為_____．答案:17分析：由等腰三角形兩腰長相等的性質(zhì)，分7為腰長或3為腰長兩種情況，結合三角形三邊關系即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，當腰長為時，7、7、3能組成三角形，周長為：；當腰長為時，，7、3、3不能構成三角形，故答案為：17．【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”．3．(2023春·江蘇蘇州·八年級校考期中）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長為_____cm．答案:23或19分析：分9cm是腰長與底邊長兩種情況，再結合三角形的三邊關系討論求解．【詳解】解：①若9cm是腰長，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長（cm），②若9cm是底邊長，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長（cm）．綜上所述，三角形的周長為23或19cm．故答案為：23或19．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關系，難點在于分情況討論并利用三角形三邊關系判斷是否能組成三角形．4．(2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）若的三邊長分別為，7，6，當為等腰三角形時，則的值為__________．答案:3或4##4或3分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當時，當時，再結合三角形三邊關系檢驗即可．【詳解】解：∵為等腰三角形，∴當時，解得，∴三邊長為6，6，7∵，∴符合三角形三邊的條件，當時，解得，∴三邊長為7，7，6∵，∴符合三角形三邊的條件，∴的值為4和3．故答案為：4和3．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．5．(2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的底邊長為______．答案:12或7分析：可設一邊為，則另一邊為，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長，解出x，再利用三角形三邊關系進行驗證即可．【詳解】解：設一邊為，則另一邊為，①當長為的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為、、，由題意可列方程：，解得，此時三角形的三邊長分別為：、和，滿足三角形三邊之間的關系，符合題意；②當長為的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為：、、，由題意可列方程：，解得：，此時三角形的三邊長分別為：、、，滿足三角形的三邊之間的關系，符合題意；∴這個三角形的底邊長為或．故答案為：12或7．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關系，分情況討論且進行三邊驗證是解題的關鍵．【易錯點二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·浙江·八年級期中）等腰三角形的一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的頂角為__．答案:或##或分析：首先要進行分析題意，“等腰三角形的一個內(nèi)角”沒明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進行討論．【詳解】本題分兩種情況，①當角為頂角時，頂角的度數(shù)為，②當角為底角時，頂角的度數(shù)為；∴這個等腰三角形的頂角為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．【變式訓練】1．(2023秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）如果等腰三角形的一個角的度數(shù)為，那么其余的兩個角的度數(shù)是______．答案:，或，分析：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類討論即可得到答案．【詳解】解：①當時頂角時，其余兩個角是底角且相等，則有：；②當時底角時，則有：頂角；故答案為：，或，．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個底角相等，還考查了分類討論的思想．2．(2023春·黑龍江黑河·八年級校考期末）等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．答案:或或分析：設另一個角是，表示出一個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設另一個角是，表示出一個角是，①是頂角，是底角時，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯．3．(2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第十七中學?？茧A段練習）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數(shù)為______．答案:或或##或或##或或##或或##或或##或或分析：求出，根據(jù)等腰得出三種情況，，，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵平分，∴，分三種情況：①當時，如圖，∵，∴，∴；②當時，如圖，∵，∴；③當時，如圖，∵，∴，∴，綜上，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或【點睛】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，用了分類討論思想．4．(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？计谥校┰谥?，，，點D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為___________．答案:或分析：在中，根據(jù)，，得到，再根據(jù)是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案．【詳解】解：如圖所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①當時，，，②當時，，，，綜上所述或．【點睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關系，解題關鍵是分析出的腰．5．(2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點P在的三邊上運動，當為等腰三角形時，頂角的度數(shù)是________．答案:或或分析：作出圖形，然后分點P在上與上兩種情況討論求解．【詳解】解：①如圖1，點P在上時，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點P在上時，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解．6．(2023春·上海虹口·八年級?？计谥校┤绻切蔚囊粋€內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個“倍角三角形”．如果一個倍角三角形是一個等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．答案:或##36°或90°分析：分兩種情況：當頂角是底角的2倍時和當?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列出方程，計算即可．【詳解】解：當頂角是底角的2倍時，設頂角為，則底角為，∴，解得：，當?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設頂角為，則底角為，∴，解得：，綜上所述，它的頂角的度數(shù)是或．故答案為：或【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的定義、解一元一次方程，解本題的關鍵在分情況討論思想的應用．【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·河南平頂山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，，，于O，，P為線段上一個動點，點P從點D向終點B運動（不包括D、B），當為等腰三角形時，的長為______．答案:3或或13分析：根據(jù)勾股定理求出，進而求出和的長，分三種情況，根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴，當時，，當時，，在中，，即，解得，，則，當時，，綜上所述，是等腰三角形時，線段DP的長度為3或或13．故答案為：3或或13．【點睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【變式訓練】1．(2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形中，點E是上的一點，過點E作，交于點F，作點D關于的對稱點G，依次連接、、．已知，，且當是以為腰的等腰三角形時，則的值為_________________．答案:或分析：①當時，是以為腰的等腰三角形，設，則，，在中，根據(jù)勾股定理，可列出方程求出x的值，進而可得的值；②當時，是以為腰的等腰三角形，過點B作，證明，，再列方程求解即可．【詳解】解：①當時，是以為腰的等腰三角形，在長方形中，∵D關于的對稱點G，∴，∵是以為腰的等腰三角形，∴，∴，設，則，，在中，即：，解得：，，∴的值為；②當時，是以為腰的等腰三角形，如下圖1，過點B做，∵四邊形是長方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵點D關于的對稱點G，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，在和中∴，∴，，設，則，∵，，，∴，∵，∴，解得：，∴；綜上所述，當是以為腰的等腰三角形時，則的值為或．【點睛】本題考查了長方形、等腰三角形、軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理巧妙設方程求解是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．2．(2023春·陜西西安·八年級西安市第二十六中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的四個頂點分別為點，，，，點D是線段的中點，點P在邊上，若是腰為5的等腰三角形，則點P的坐標為____________．答案:或分析：先求出點D的坐標為，設點P的坐標為：，分兩種情況：或，求出a的值，即可得出答案．【詳解】解：∵點，，點D是線段的中點，∴點D的坐標為，，∵點，，∴軸，設點P的坐標為：，當時，，解得：或，∵，∴舍去，∴此時點P的坐標為：；當時，，解得：或（舍去），∴此時點P的坐標為：；綜上分析可知，點P的坐標為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，勾股定理，平面直角坐標系中點的特點，解題的關鍵是設出點P的坐標，列出方程，注意進行分類討論．【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】例題：(2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考階段練習）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)是______．答案:或分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況是等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為；另一種情況是等腰三角形為鈍角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為；【詳解】如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵，，∴；如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵，，∴，∴．故答案為：或【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形，結合圖形利用數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵．【變式訓練】1．(2023春·北京西城·八年級校考期中）在中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為______．答案:或分析：分兩種情況：當在線段上時，根據(jù)題意，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，計算即可得出的度數(shù)；當在線段的延長線上時，根據(jù)題意，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，計算即可得出的度數(shù)，綜合即可得出答案．【詳解】解：如圖，當在線段上時，∵是邊上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；如圖，當在線段的延長線上時，∵是邊上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等邊對等角、三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質(zhì)定理，分類討論．2．(2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）在中，，上的中線把三角形的周長分成和兩部分，則底邊的長為______．答案:或分析：分兩種情況：；，可得的長，再由另一部周長即可求得底邊的長．【詳解】解：由題意得：；當時，即，，，；當時，即，，，；綜上，底邊的長為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的含義，涉及分類討論．3．(2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校?？茧A段練習）一個等腰三角形的周長為36，其中一條邊的長度為10，則底邊上高的長度為___________．答案:6或12##12或6分析：分兩種情況：①當長度為10的邊是腰時，②當長度為10的邊是底時，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解∶①當長度為10的邊是腰時，則底為，底邊上高的長度為；②當長度為10的邊是底時，則腰為，底邊上高的長度為，綜上所述，底邊上高的長度為6或12，故答案為∶6或12．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．4．(2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考階段練習）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形