浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多遠(yuǎn)進(jìn)?錯(cuò)選均不得分1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)定義求交集即可.【詳解】由題，集合有公共元素5，所以.故選：A2.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為可求得的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由于函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得，則，由已知條件可得，得，因此，.故選：A.3.下列說法正確的是（）A.命題“若，則”假命題B.“”是“”的必要不充分條件C.命“若實(shí)數(shù)x滿意，則或”為假命題D.命題“，使得”的否定是：“，均有”【答案】A【解析】【分析】解出推斷A選項(xiàng)；利用充分條件、必要條件的定義可推斷B選項(xiàng)；解方程可推斷C選項(xiàng)；利用存在量詞命題的否定可推斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以或，故命題為假命題，所以A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，解方程可得或，所以，“”是“”的充分不必要條件，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，解方程可得或，所以，命題“若實(shí)數(shù)滿意，則或”為真命題，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，命題“，使得”否定是：“，均有”，D錯(cuò)故選：A.4.關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求得不等式解集，再運(yùn)用基本不等式求得最值.【詳解】不等式的解集為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.故選：A.【點(diǎn)睛】利用基本不等式解題肯定要留意應(yīng)用的前提“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿意等號(hào)成立的條件．5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再推斷函數(shù)的奇偶性，最終依據(jù)函數(shù)值的狀況推斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，解除A，B；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解除C．故選：D．6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較.【詳解】在為增函數(shù)，，即，為減函數(shù)，，即，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)，，設(shè)，，若存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，先求出，則有，從而將原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分別參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，由，即，得，因?yàn)椋栽瓎栴}轉(zhuǎn)化為方程在上有解，即在上有解，因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.8.已知函數(shù).若對于隨意，都有，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用換元法求出的解析式，依題意等價(jià)于，令，則在上單調(diào)遞減，依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：令，則，所以，即，因?yàn)闀r(shí)等價(jià)于，即.令，則在上單調(diào)遞減，所以或，解得或，即.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分，9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間 B.當(dāng)時(shí)，C.函數(shù)有最小值 D.不等式的解集是【答案】BC【解析】【分析】利用奇偶性求出的表達(dá)式，再逐項(xiàng)求出單調(diào)區(qū)間、最值以及不等式的解集即可推斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)所以時(shí)，即如圖所示：對A，由圖知，函數(shù)有個(gè)單調(diào)區(qū)間，故A錯(cuò)誤；對B，由上述分析知，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對C，由圖知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值，故C正確；對D，由圖知，不等式的解集是，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷即可．【詳解】解：由不等式的性質(zhì)知當(dāng)，故A對；若，則，故B錯(cuò)；，，，故C對；，故D錯(cuò)．故選：AC．11.已知集合A中含有6個(gè)元素，全集中共有12個(gè)元素，中有m個(gè)元素，已知，則集合B中元素個(gè)數(shù)可能為（）A.2 B.6 C.8 D.12【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)中有m個(gè)元素，中有個(gè)元素，設(shè)集合B中元素個(gè)數(shù)為x，再依據(jù)集合A中含有6個(gè)元素，中共有12個(gè)元素，由求解.【詳解】解：因?yàn)橹杏衜個(gè)元素，所以中有個(gè)元素，設(shè)集合B中元素個(gè)數(shù)為x，又集合A中含有6個(gè)元素，則，即，因?yàn)椋?，又中共?2個(gè)元素，所以，則，故選：BC12.形如的函數(shù)，我們稱之為“對勾函數(shù)”．“對勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．已知函數(shù)在上的最大值比最小值大1，則a的值可以是（）A.4 B.12 C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用與區(qū)間的位置關(guān)系以及對勾函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，滿意題意；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，不滿意題意，舍去；③當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，(i)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故，解得或，均不滿意題意，舍去；(ii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，從而，解得，滿意題意.綜上所述，a的值所組成的集合為.故選：AD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.求值：______.【答案】6【解析】【分析】利用對數(shù)恒等變換及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算得解【詳解】解：原式.故答案為：6.【點(diǎn)睛】駕馭對數(shù)恒等變換是解題關(guān)鍵14.設(shè)函數(shù)則___________.【答案】16【解析】【分析】利用分段函數(shù)的定義，即可求得的值.【詳解】由題意得，.故答案為：16.15.如圖所示，將桶1中的水緩慢注入空桶2中，起先時(shí)桶1中有a升水，后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線，那么桶2中的水就是．假設(shè)過后，桶1和桶2的水量相等，則再過后桶1中的水只有升，則m的值為___________．【答案】10【解析】【分析】依據(jù)5分鐘后桶1和桶2的水量相等求得的值，將其代入解析式，令函數(shù)值為，解方程即可計(jì)算出時(shí)間．【詳解】解：由題意得，解得，再經(jīng)過后，桶1中的水只有升，則，即，，解得．故答案為：10．16.已知正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值是________【答案】【解析】【分析】由題意得出，令，結(jié)合基本不等式得出最小值.【詳解】由題意得，令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則的最小值是故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后將代入求解出集合，然后依據(jù)交集的運(yùn)算定義進(jìn)行求解即可；（2）由，可得，然后分和兩種狀況分類探討，依據(jù)子集的定義求解參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，因此.小問2詳解】，，若，則，解得；若，則，解得.綜上所述得，故的取值范圍為.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)的解析式為.（1）寫出在上的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）（2）最大值為0，最小值為【解析】【分析】（1）先求得參數(shù)，再依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得在上的解析式；（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域即可解決.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，由，得，由，解得，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為設(shè)，則，，即當(dāng)時(shí)，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為0，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.19.已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；（3）若實(shí)數(shù)，（，）滿意，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【解析】【分析】（1）依據(jù)冪函數(shù)的定義求得，由單調(diào)性和偶函數(shù)求得得解析式；（2）由偶函數(shù)定義變形不等式，再由單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【詳解】解析：（1）．，，（）即或在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)即（2），，，∴（3）由題可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值是2．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.（2）不等式對隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，等價(jià)于，進(jìn)而分，，三種狀況探討求解；（2）由題知對隨意恒成立，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】解：等價(jià)于，所以，等價(jià)于，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，的解集為，當(dāng)時(shí)，，的解集為，當(dāng)時(shí)，，的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為.【小問2詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄﹄S意恒成立，所以對隨意恒成立，即對隨意恒成立，因?yàn)椋?，所以對隨意恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為21.某農(nóng)戶利用墻角線相互垂直的兩面墻，將一塊可折疊的長為am的籬笆墻圍成一個(gè)雞圈，籬笆的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在這兩墻角線上，現(xiàn)有三種方案：方案甲：如圖1，圍成區(qū)域?yàn)槿切?；方案乙：如圖2，圍成區(qū)域?yàn)榫匦?；方案丙：如圖3，圍成區(qū)域?yàn)樘菪?，?（1）在方案乙、丙中，設(shè)，分別用x表示圍成區(qū)域的面積，;（2）為使圍成雞圈面積最大，該農(nóng)戶應(yīng)當(dāng)選擇哪一種方案，并說明理由.【答案】（1），；，.（2）農(nóng)戶應(yīng)當(dāng)選擇方案三，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案；（2）先依據(jù)基本不等式探討方案甲得面積的最大值為，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合（1）探討，的最大值即可得答案.【小問1詳解】解：對于方案乙，當(dāng)時(shí)，，所以矩形的面積，；對于方案丙，當(dāng)時(shí)，，由于所以，所以梯形的面積為，.【小問2詳解】解：對于方案甲，設(shè)，則，所以三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故方案甲的雞圈面積最大值為.對于方案乙，由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案乙的雞圈面積最大值為；對于方案丙，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案丙的雞圈面積最大值為；由于所以農(nóng)戶應(yīng)當(dāng)選擇方案丙，此時(shí)雞圈面積最大.22.給定函數(shù)．且用表示，的較大者，記為．（1）若，試寫出的解析式，并求的最小值；（2）若函數(shù)的最小值為，試求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析】由的定義可得，（1）將代入，寫出解析式，結(jié)合分段區(qū)間，求，的最小值并比較大小，即可得的最小值；（2）結(jié)合的解析