江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章空間向量與立體幾何6.3空間向量的應(yīng)用6.3.3空間角的計算分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第二冊

6.3.3空間角的計算基礎(chǔ)達標練1.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為()A.30° B.60° C.120° D.150°2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,則AC與BD1所成角的余弦值是()A.0 B. C. D.3.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,則BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A. B.C. D.4.在一個銳二面角的兩個半平面內(nèi),與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個銳二面角的平面角的余弦值為()A. B. C. D.5.(多選題)已知二面角α-l-β的兩個半平面α與β的法向量分別為a,b,若<a,b>=,則二面角α-l-β的大小可能為()A. B. C. D.6.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求直線A1B與平面A1B1CD所成角的大小.實力提升練7.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A. B.C. D.8.在三棱錐P-ABC中,△ABC和△PBC均為等邊三角形,且二面角P-BC-A的大小為120°,則異面直線PB和AC所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,則EF與BD1所成的角是()A.90° B.60° C.30° D.0°10.(多選題)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,下列結(jié)論正確的是()A.AC⊥BDB.AB,CD所成角為C.△ADC為等邊三角形D.AB與平面BCD所成角為60°11.(多選題)(2024南京月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,PD⊥底面ABCD,則()A.PA⊥BDB.PB與平面ABCD所成角為C.異面直線AB與PC所成角的余弦值為D.二面角A-PB-C的正弦值為12.在空間中,已知平面α過點A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點P(0,0,a)(a>0),假如平面α與平面xOy的夾角為45°,則a=.

13.如圖,已知AB是圓柱底面圓的一條直徑,OP是圓柱的一條母線,C為底面圓上一點,且AC∥OB,OP=AB=OA,則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.

14.如圖,已知在長方形ABCD中,AB=2,AD=,M為DC的中點.將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求證:AD⊥BM;(2)若E是線段DB上的一動點,則當點E在何位置時,二面角E-AM-D的余弦值為?拓展探究練15.如圖所示,在菱形ABCD中,∠ABC=,線段AD,BD的中點分別為E,F.現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折,當二面角A-BD-C的余弦值為時,異面直線BE與CF所成角的正弦值是.

16.(2024新高考Ⅱ)如圖,在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(2)點F滿意=,求二面角D-AB-F的正弦值.6.3.3空間角的計算1.A設(shè)l與α所成的角為θ,且0°≤θ≤90°,則sinθ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.2.A建立如圖所示的空間直角坐標系,則D10,0,,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=-2,-2,,=(-2,2,0),所以|cos<,>|==0,即AC與BD1所成角的余弦值為0.3.A如圖所示,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),則=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4).設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則即不妨取n=(2,2,1).設(shè)BB1與平面ACD1所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,>|===.4.A由==,知這個銳二面角的平面角的余弦值為.5.AB由于二面角的范圍是[0,π],而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向,因此二面角α-l-β的大小為或,故選AB.6.解(方法一)如圖,連接BC1,與B1C交于點O,連接A1O.∵BC1⊥B1C,A1B1⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,∴A1B在平面A1B1CD內(nèi)的投影為A1O.∴∠OA1B就是直線A1B與平面A1B1CD所成的角.設(shè)正方體的棱長為1.在Rt△A1OB中,A1B=,BO=,∴sin∠OA1B===,∴∠OA1B=30°,即直線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.(方法二)設(shè)正方體的棱長為1,以{,,}為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),∴=(1,0,1),=(0,1,0),=(0,1,-1).設(shè)平面A1B1CD的法向量為n=(x,y,z),則∴令z=-1,得x=1,∴n=(1,0,-1).∴cos<n,>===,∴<n,>=60°,∴直線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.7.A不妨設(shè)CA=CC1=2CB=2,則=(-2,2,1),=(0,-2,1),所以cos<,>===-.因為直線BC1與直線AB1的夾角為銳角,所以所求角的余弦值為.8.A(方法一)如圖,取BC的中點O,連接OP,OA.因為△ABC和△PBC均為等邊三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,從而平面PAO⊥平面ABC,且∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°.建立空間直角坐標系如圖所示.設(shè)AB=2,則A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P-,0,,所以=(-,-1,0),=,1,-,cos<,>==-,所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為.(方法二)如圖所示,取BC的中點O,連接OP,OA.因為△ABC和△PBC均為等邊三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.設(shè)AB=2,則=-,=-,故·=(-)·(-)=·-·-·+·=-1-0-0+××-=-,所以cos<,>==-,即異面直線PB與AC所成角的余弦值為.(方法三)如圖,取BC的中點O,連接OP,OA.因為△ABC和△PBC均為等邊三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°.過點B作AC的平行線交AO的延長線于點D,連接PD,則∠PBD或其補角就是異面直線PB和AC所成的角.設(shè)AB=a,則PB=BD=a,PO=OD=PD=a,所以cos∠PBD==,即異面直線PB與AC所成角的余弦值為.9.D如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為a,則A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),∴=(a,0,a),=(-a,a,0),=(-a,-a,a).∵EF⊥AC,EF⊥A1D,設(shè)=(x,y,z),∴·=(x,y,z)·(a,0,a)=ax+az=0,·=(x,y,z)·(-a,a,0)=-ax+ay=0.∵a≠0,∴x=y=-z(x≠0),∴=(x,x,-x),∴=-,∴∥,即BD1∥EF.故EF與BD1所成的角是0°.10.ABC如圖,取BD的中點O,連接AO,CO,連接AC,易知BD⊥平面AOC,故BD⊥AC.如圖,建立空間直角坐標系,設(shè)正方形的邊長為a,則Aa,0,0,B0,-a,0,C0,0,a,D0,a,0,故=-a,-a,0,=0,a,-a.由兩向量夾角公式得cos<,>=-,故兩異面直線所成的角為.在Rt△AOC中,由AO=CO=a,AO⊥CO,知AC=AO=a,故△ADC為等邊三角形.易知∠ABO即為直線AB與平面BCD所成的角,可求得∠ABO=45°,故D錯.11.ABD設(shè)AB=2AD=2PD=2a,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=a2+4a2-4a2·=3a2,則BD=a,則BD2+AD2=AB2,即BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,AD,BD?底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD.如圖,以D為原點,DA,DB,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,a,0),P(0,0,a).對于A,=(a,0,-a),=(0,-a,0),則·=0+0+0=0,所以PA⊥BD,故A正確;對于B,因為PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,a)是平面ABCD的一個法向量,又=(0,a,-a),所以cos<,>===-,則PB與平面ABCD所成角的正弦值為,即PB與平面ABCD所成角為,故B正確;對于C,=(-a,a,0),=(-a,a,-a),則cos<,>===,則異面直線AB與PC所成角的余弦值為,故C錯誤;對于D,設(shè)平面PAB的法向量為n=(x1,y1,z1),則??令y1=1,則n=(,1,),設(shè)平面PBC的法向量為m=(x2,y2,z2),則??令y2=1,則m=(0,1,),所以cos<n,m>===,令二面角A-PB-C所成角為θ(0≤θ≤π),則|cosθ|=,則平面PAB與平面PBC的夾角的余弦值為,所以sinθ==,故D正確.故選ABD.12.平面xOy的一個法向量為n=(0,0,1).設(shè)平面α的法向量為u=(x,y,z),又=(-3,4,0),=(-3,0,a),則即即3x=4y=az,取z=1,則u=,,1.而cos<n,u>==,又a>0,所以a=.13.AB是底面圓的直徑,則AO⊥BO.又OP是圓柱的母線,則OP⊥平面OABC,所以O(shè)A,OB,OP兩兩垂直.以{,,}為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)OA=1,則AB=OP=,所以O(shè)B==1.因為AC∥OB,所以∠OAC=90°,而∠ACB=90°,所以四邊形OACB是正方形,所以P(0,0,),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,-),=(-1,1,0),=(-1,0,).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則取z=1,則x=y=,所以n=(,,1).設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ,所以sinθ=|cos<n,>|==.14.(1)證明因為在長方形ABCD中,AB=2,AD=,M為DC的中點,所以AM=BM=2,所以BM⊥AM.因為平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM?平面ABCM,所以BM⊥平面ADM.因為AD?平面ADM,所以AD⊥BM.(2)解取AM的中點O,連接OD,則OD⊥AM,過點O作ON⊥AM,交AB于點N.又平面ADM⊥平面ABCM,所以O(shè)D⊥平面ABCM.以O(shè)為原點,OA,ON,OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),M(-1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0),所以=(1,0,1),=(-1,2,-1),=(-2,0,0).設(shè)=λ(0≤λ≤1),則=+λ=(1-λ,2λ,1-λ).設(shè)平面AME的法向量為m=(x,y,z),則即取y=1,得x=0,y=1,z=,所以m=0,1,.明顯平面AMD的一個法向量為n=(0,1,0).因為cos<m,n>==,解得λ=,所以E為BD的中點.15.如圖所示,過點E作EH⊥BD,交BD于H點,設(shè)異面直線BE與CF所成的角為θ,則θ∈.記二面角A-BD-C的大小為α,·=·(+)=·,即·=||·||cos(π-α),即||·||cos<,>=||·||·-,∴cos<,>=-,∴cosθ=,∴sinθ=.16.(1)證明如圖,連接AE,DE,∵E為BC的中點,DB=DC,∴DE⊥BC①.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ACD與△ABD均為等邊三角形,∴AC=AB,∴AE⊥BC②.由①②得,AE∩DE=E,AE,DE?平面ADE,∴BC⊥平面ADE.又AD?平面ADE,∴BC⊥DA.(2)解設(shè)DA=DB=DC=2,∵BD⊥CD,∴BC=2,DE=AE=.∴AE2+DE2=4=AD2,∴AE⊥DE.又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BC?