高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第五節(jié) 古典概型突破熱點(diǎn)題型 文

第五節(jié)古典概型考點(diǎn)一簡單古典概型的求法[例1](1)(·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)(2)(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)[自主解答](1)從A，B中各任意取一個數(shù)，共有6種取法，其中兩數(shù)之和為4的是(2,2)，(3,1)．所以兩數(shù)之和等于4的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)任取兩個數(shù)共有6種取法，取出兩個數(shù)之差的絕對值為2的有(1,3)，(2,4)2種結(jié)果．所以概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案](1)C(2)B【互動探究】在本例(1)中，若將“則這兩數(shù)之和等于4的概率”改為“則這兩數(shù)之和等于5的概率”，則結(jié)果如何？解：由原題知從A，B中各任意取一個數(shù)共有6種取法，其中兩數(shù)之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【方法規(guī)律】1．求古典概型概率的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法：此法適合于基本事件較少的古典概型．(2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標(biāo)法.(·重慶模擬)有編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同學(xué)，進(jìn)行100米賽跑，得到下面的成績：編號A1A2A3A4A5A6成績(秒)12.212.411.813.111.813.3其中成績在13秒內(nèi)的同學(xué)記為優(yōu)秀．(1)從上述6名同學(xué)中，隨機(jī)抽取一名，求這名同學(xué)成績優(yōu)秀的概率；(2)從成績優(yōu)秀的同學(xué)中，隨機(jī)抽取2名，用同學(xué)的編號列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2名同學(xué)的成績都在12.3秒內(nèi)的概率．解：(1)由所給的成績可知，優(yōu)秀的同學(xué)有4名，設(shè)“從6名同學(xué)中隨機(jī)抽取一名是優(yōu)秀”為事件A，則P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)優(yōu)秀的同學(xué)編號是A1，A2，A3，A5，從這4名同學(xué)中抽取2名，所有的可能情況是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；設(shè)“這2名同學(xué)成績都在12.3以內(nèi)”為事件B，符合要求的情況有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).考點(diǎn)二較復(fù)雜古典概型的概率[例2](1)(·安徽高考)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)(2)某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．①求此人被評為優(yōu)秀的概率；②求此人被評為良好及以上的概率．[自主解答](1)記事件A為“甲或乙被錄用”．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))僅有(丙，丁，戊)一種可能，則A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(9,10).(2)將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10種．令D表示事件“此人被評為優(yōu)秀”，E表示事件“此人被評為良好”，F(xiàn)表示事件“此人被評為良好及以上”，則①P(D)＝eq\f(1,10).②因為P(E)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).[答案](1)D【方法規(guī)律】求較復(fù)雜事件的概率問題的方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．解：(1)甲校兩名男教師分別用A，B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩名女教師分別用E，F(xiàn)表示．從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種．從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為P＝eq\f(4,9).(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種．所以選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用1．古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．2．高考對古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用的考查主要有以下幾個命題角度：(1)由頻率來估計概率；(2)由頻率估計部分事件發(fā)生的概率；(3)求方差(或均值)等．[例3](·天津高考)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果；②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率．[自主解答](1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為eq\f(6,10)＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).古典概型與統(tǒng)計綜合應(yīng)用的常見類型及解題策略(1)由頻率來估計概率．利用頻率與概率的關(guān)系來估計．(2)由頻率來估計部分事件發(fā)生的概率．往往結(jié)合題設(shè)條件．注意事件的互斥、對立，利用概率的加法公式求解．(3)求方差(或均值)．結(jié)合題設(shè)中的數(shù)據(jù)、方差(或均值公式)求解．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率．解：(1)依據(jù)條件可知，轎車A、B的抽樣，A類轎車抽樣比為eq\f(10,100＋300).因此本月共生產(chǎn)轎車eq\f(400,10)×50＝2000(輛)．故z＝2000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400(輛)．(2)設(shè)所抽取樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，則a＝2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個．故P(E)＝eq\f(7,10)，即所求概率為eq\f(7,10).(3)樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝eq\f(3,4)，即所求概率為eq\f(3,4).————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————3種方法——基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法：(見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律])；(2)列表法：(見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律])；(3)樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探求.2個技巧——求解古典概型問題概率的技巧(1)較為簡單問題可直接使用古典概型的概率公式計算；(2)較為復(fù)雜的概率問題的處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互