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文檔簡介
江蘇省無錫市惠山六校聯(lián)考2024屆中考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.下列選項中,可以用來證明命題“若a2>b2,則a>b“是假命題的反例是()A.a(chǎn)=﹣2,b=1 B.a(chǎn)=3,b=﹣2 C.a(chǎn)=0,b=1 D.a(chǎn)=2,b=12.如圖,將RtABC繞直角項點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到A'B'C,連接AA',若∠1=20°,則∠B的度數(shù)是()A.70° B.65° C.60° D.55°3.如圖,共有12個大不相同的小正方形,其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分.現(xiàn)從其余的小正方形中任取一個涂上陰影,則能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是()A. B. C. D.4.在一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球,其中5個紅球、3個黃球和2個白球.從袋中任意摸出一個球,是白球的概率為(
)A. B. C. D.5.下列運(yùn)算正確的是()A.﹣(a﹣1)=﹣a﹣1 B.(2a3)2=4a6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.a(chǎn)3+a2=2a56.下列各數(shù)中,比﹣1大1的是()A.0B.1C.2D.﹣37.式子有意義的x的取值范圍是()A.且x≠1 B.x≠1 C. D.且x≠18.如圖,矩形ABCD中,E為DC的中點,AD:AB=:2,CP:BP=1:2,連接EP并延長,交AB的延長線于點F,AP、BE相交于點O.下列結(jié)論:①EP平分∠CEB;②=PB?EF;③PF?EF=2;④EF?EP=4AO?PO.其中正確的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.③④9.如圖所示的四邊形,與選項中的一個四邊形相似,這個四邊形是()A. B. C. D.10.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,以點C為圓心,CB的長為半徑畫弧,與AB邊交于點D,將繞點D旋轉(zhuǎn)180°后點B與點A恰好重合,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.的系數(shù)是_____,次數(shù)是_____.12.如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為1:4,那么這兩個三角形的周長比是___.13.據(jù)統(tǒng)計,今年無錫黿頭渚“櫻花節(jié)”活動期間入園賞櫻人數(shù)約803萬人次,用科學(xué)記數(shù)法可表示為_____人次.14.如圖,在邊長為1的正方形格點圖中,B、D、E為格點,則∠BAC的正切值為_____.15.在平面直角坐標(biāo)系中,點A1,A2,A3和B1,B2,B3分別在直線y=和x軸上,△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3都是等腰直角三角形.則A3的坐標(biāo)為_______.
.16.一組數(shù)據(jù):1,2,a,4,5的平均數(shù)為3,則a=_____.17.某小區(qū)購買了銀杏樹和玉蘭樹共150棵用來美化小區(qū)環(huán)境,購買銀杏樹用了12000元,購買玉蘭樹用了9000元.已知玉蘭樹的單價是銀杏樹單價的1.5倍,求銀杏樹和玉蘭樹的單價.設(shè)銀杏樹的單價為x元,可列方程為______.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)路邊路燈的燈柱垂直于地面,燈桿的長為2米,燈桿與燈柱成角,錐形燈罩的軸線與燈桿垂直,且燈罩軸線正好通過道路路面的中心線(在中心線上).已知點與點之間的距離為12米,求燈柱的高.(結(jié)果保留根號)19.(5分)在中,,是邊的中線,于,連結(jié),點在射線上(與,不重合)(1)如果①如圖1,②如圖2,點在線段上,連結(jié),將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得到線段,連結(jié),補(bǔ)全圖2猜想、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖3,若點在線段的延長線上,且,連結(jié),將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié),請直接寫出、、三者的數(shù)量關(guān)系(不需證明)20.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)(x>0)的圖象與直線l1:y=x+b交于點A(3,a-2).(1)求a,b的值;(2)直線l2:y=-x+m與x軸交于點B,與直線l1交于點C,若S△ABC≥6,求m的取值范圍.21.(10分)如圖,經(jīng)過點C(0,﹣4)的拋物線()與x軸相交于A(﹣2,0),B兩點.(1)a0,0(填“>”或“<”);(2)若該拋物線關(guān)于直線x=2對稱,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(3)在(2)的條件下,連接AC,E是拋物線上一動點,過點E作AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出滿足條件的點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.22.(10分)從廣州去某市,可乘坐普通列車或高鐵,已知高鐵的行駛路程是400千米,普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍.求普通列車的行駛路程;若高鐵的平均速度(千米/時)是普通列車平均速度(千米/時)的2.5倍,且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時,求高鐵的平均速度.23.(12分)如圖1,定義:在直角三角形ABC中,銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切,記作ctanα,即ctanα=角α的鄰邊角(1)如圖1,若BC=3,AB=5,則ctanB=_____;(2)ctan60°=_____;(3)如圖2,已知:△ABC中,∠B是銳角,ctanC=2,AB=10,BC=20,試求∠B的余弦cosB的值.24.(14分)計算(﹣)﹣2﹣(π﹣3)0+|﹣2|+2sin60°;
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、A【解析】
根據(jù)要證明一個結(jié)論不成立,可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題.由此即可解答.【詳解】∵當(dāng)a=﹣2,b=1時,(﹣2)2>12,但是﹣2<1,∴a=﹣2,b=1是假命題的反例.故選A.【點睛】本題考查了命題與定理,要說明數(shù)學(xué)命題的錯誤,只需舉出一個反例即可,這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法.2、B【解析】
根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,從而得∠AA′C=45°,結(jié)合∠1=20°,即可求解.【詳解】∵將RtABC繞直角項點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到A'B'C,∴AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,∴∠AA′C=45°,∵∠1=20°,∴∠B′A′C=45°-20°=25°,∴∠A′B′C=90°-25°=65°,∴∠B=65°.故選B.【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形和直角三角形的性質(zhì),掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理,是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】
由正方體表面展開圖的形狀可知,此正方體還缺一個上蓋,故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊,再根據(jù)概率公式解答即可.【詳解】因為共有12個大小相同的小正方形,其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分,所以剩下7個小正方形.在其余的7個小正方形中任取一個涂上陰影,能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的小正方形有4個,因此先從其余的小正方形中任取一個涂上陰影,能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是.故選D.【點睛】本題考查了概率公式,用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比,掌握概率公式是本題的關(guān)鍵.4、D【解析】
一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球,其中5個紅球、3個黃球和2個白球.從袋中任意摸出一個球,共有10種等可能的結(jié)果,其中摸出白球的所有等可能結(jié)果共有2種,根據(jù)概率公式即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意:從袋中任意摸出一個球,是白球的概率為==.故答案為D【點睛】此題主要考查了概率的求法,如果一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)=.5、B【解析】
根據(jù)去括號法則,積的乘方的性質(zhì),完全平方公式,合并同類項法則,對各選項分析判斷后利用排除法求解.【詳解】解:A、因為﹣(a﹣1)=﹣a+1,故本選項錯誤;B、(﹣2a3)2=4a6,正確;C、因為(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本選項錯誤;D、因為a3與a2不是同類項,而且是加法,不能運(yùn)算,故本選項錯誤.故選B.【點睛】本題考查了合并同類項,積的乘方,完全平方公式,理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】
用-1加上1,求出比-1大1的是多少即可.【詳解】∵-1+1=1,∴比-1大1的是1.故選:A.【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是要熟練掌握:“先符號,后絕對值”.7、A【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母不為0的條件,要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須且.故選A.8、B【解析】
由條件設(shè)AD=x,AB=2x,就可以表示出CP=x,BP=x,用三角函數(shù)值可以求出∠EBC的度數(shù)和∠CEP的度數(shù),則∠CEP=∠BEP,運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)值就可以求出就可以求出BF、EF的值,從而可以求出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)AD=x,AB=2x∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC,CD=AB,∠D=∠C=∠ABC=90°.DC∥AB∴BC=x,CD=2x∵CP:BP=1:2∴CP=x,BP=x∵E為DC的中點,∴CE=CD=x,∴tan∠CEP==,tan∠EBC==∴∠CEP=30°,∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB,故①正確;∵DC∥AB,∴∠CEP=∠F=30°,∴∠F=∠EBP=30°,∠F=∠BEF=30°,∴△EBP∽△EFB,∴∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF,∴BE=BF∴=PB·EF,故②正確∵∠F=30°,∴PF=2PB=x,過點E作EG⊥AF于G,∴∠EGF=90°,∴EF=2EG=2x∴PF·EF=x·2x=8x22AD2=2×(x)2=6x2,∴PF·EF≠2AD2,故③錯誤.在Rt△ECP中,∵∠CEP=30°,∴EP=2PC=x∵tan∠PAB==∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中,由勾股定理得,AO=x,PO=x∴4AO·PO=4×x·x=4x2又EF·EP=2x·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO.故④正確.故選,B【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,特殊角的正切值的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用及直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,解答時根據(jù)比例關(guān)系設(shè)出未知數(shù)表示出線段的長度是關(guān)鍵.9、D【解析】
根據(jù)勾股定理求出四邊形第四條邊的長度,進(jìn)而求出四邊形四條邊之比,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解:作AE⊥BC于E,則四邊形AECD為矩形,∴EC=AD=1,AE=CD=3,∴BE=4,由勾股定理得,AB==5,∴四邊形ABCD的四條邊之比為1:3:5:5,D選項中,四條邊之比為1:3:5:5,且對應(yīng)角相等,故選D.【點睛】本題考查的是相似多邊形的判定和性質(zhì),掌握相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】
陰影部分的面積=三角形的面積-扇形的面積,根據(jù)面積公式計算即可.【詳解】由旋轉(zhuǎn)可知AD=BD,∵∠ACB=90°,AC=2,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等邊三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=AC=2,∴陰影部分的面積=2×2÷2?=2?.故答案選:B.【點睛】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計算,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計算.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、1【解析】
根據(jù)單項式系數(shù)及次數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.【詳解】根據(jù)單項式系數(shù)和次數(shù)的定義可知,﹣的系數(shù)是,次數(shù)是1.【點睛】本題考查了單項式,熟知單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù),一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵.12、1:4【解析】∵兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為1∶4,∴這兩個相似三角形的相似比是1:4∵相似三角形的周長比等于相似比,∴它們的周長比1:4,故答案為:1:4.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),相似三角形對應(yīng)邊上的高、相似三角形的周長比都等于相似比.13、8.03×106【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時,n是負(fù)數(shù).803萬=.14、【解析】
根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=∠BDC,然后求出tan∠BDC的值即可.【詳解】由圖可得,∠BAC=∠BDC,∵⊙O在邊長為1的網(wǎng)格格點上,∴BE=3,DB=4,則tan∠BDC==∴tan∠BAC=故答案為【點睛】本題考查的知識點是圓周角定理及其推論及解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓周角定理及其推論及解直角三角形.15、A3()【解析】
設(shè)直線y=與x軸的交點為G,過點A1,A2,A3分別作x軸的垂線,垂足分別為D、E、F,由條件可求得,再根據(jù)等腰三角形可分別求得A1D、A2E、A3F,可得到A1,A2,A3的坐標(biāo).【詳解】設(shè)直線y=與x軸的交點為G,
令y=0可解得x=-4,
∴G點坐標(biāo)為(-4,0),
∴OG=4,
如圖1,過點A1,A2,A3分別作x軸的垂線,垂足分別為D、E、F,
∵△A1B1O為等腰直角三角形,
∴A1D=OD,
又∵點A1在直線y=x+上,
∴=,即=,解得A1D=1=()0,
∴A1(1,1),OB1=2,
同理可得=,即=,解得A2E==()1,則OE=OB1+B1E=,
∴A2(,),OB2=5,
同理可求得A3F==()2,則OF=5+=,
∴A3(,);故答案為(,)【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和直線上點的坐標(biāo)特點,根據(jù)題意找到點的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵,注意觀察數(shù)據(jù)的變化.16、1【解析】依題意有:(1+2+a+4+5)÷5=1,解得a=1.故答案為1.17、【解析】
根據(jù)銀杏樹的單價為x元,則玉蘭樹的單價為1.5x元,根據(jù)“某小區(qū)購買了銀杏樹和玉蘭樹共1棵”列出方程即可.【詳解】設(shè)銀杏樹的單價為x元,則玉蘭樹的單價為1.5x元,根據(jù)題意,得:1.故答案為:1.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程,找到關(guān)鍵描述語,找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、【解析】
設(shè)燈柱BC的長為h米,過點A作AH⊥CD于點H,過點B作BE⊥AH于點E,構(gòu)造出矩形BCHE,Rt△AEB,然后解直角三角形求解.【詳解】解:設(shè)燈柱的長為米,過點作于點過點做于點∴四邊形為矩形,∵∴又∵∴在中,∴∴又∴在中,解得,(米)∴燈柱的高為米.19、(1)①60;②.理由見解析;(2),理由見解析.【解析】
(1)①根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì),結(jié)合,只要證明是等邊三角形即可;②根據(jù)全等三角形的判定推出,根據(jù)全等的性質(zhì)得出,(2)如圖2,求出,,求出,,根據(jù)全等三角形的判定得出,求出,推出,解直角三角形求出即可.【詳解】解:(1)①∵,,∴,∵,∴,∴是等邊三角形,∴.故答案為60.②如圖1,結(jié)論:.理由如下:∵,是的中點,,,∴,,∴,,,∴,∵,∴,∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,∴,在和中,∴,∴.(2)結(jié)論:.理由:∵,是的中點,,,∴,,∴,,,∴,∵,∴,∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,∴,在和中,∴,∴,而,∴,在中,,∴,∴,∴,即.【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用,能推出是解此題的關(guān)鍵,綜合性比較強(qiáng),證明過程類似.20、(1)a=3,b=-2;(2)m≥8或m≤-2【解析】
(1)把A點坐標(biāo)代入反比例解析式確定出a的值,確定出A坐標(biāo),代入一次函數(shù)解析式求出b的值;(2)分別求出直線l1與x軸交于點D,再求出直線l2與x軸交于點B,從而得出直線l2與直線l1交于點C坐標(biāo),分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)S△ABC=S△BCD+S△ABD=6時,利用三角形的面積求出m的值,②當(dāng)S△ABC=S△BCD?S△ABD=6時,利用三角形的面積求出m的值,從而得出m的取值范圍.【詳解】(1)∵點A在圖象上∴∴a=3∴A(3,1)∵點A在y=x+b圖象上∴1=3+b∴b=-2∴解析式y(tǒng)=x-2(2)設(shè)直線y=x-2與x軸的交點為D∴D(2,0)①當(dāng)點C在點A的上方如圖(1)∵直線y=-x+m與x軸交點為B∴B(m,0)(m>3)∵直線y=-x+m與直線y=x-2相交于點C∴解得:∴C∵S△ABC=S△BCD-S△ABD≥6∴∴m≥8②若點C在點A下方如圖2∵S△ABC=S△BCD+S△ABD≥6∴∴m≤-2綜上所述,m≥8或m≤-2【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,三角形的面積,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.21、(1)>,>;(2);(3)E(4,﹣4)或(,4)或(,4).【解析】
(1)由拋物線開口向上,且與x軸有兩個交點,即可做出判斷;(2)根據(jù)拋物線的對稱軸及A的坐標(biāo),確定出B的坐標(biāo),將A,B,C三點坐標(biāo)代入求出a,b,c的值,即可確定出拋物線解析式;(3)存在,分兩種情況討論:(i)假設(shè)存在點E使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形,過點C作CE∥x軸,交拋物線于點E,過點E作EF∥AC,交x軸于點F,如圖1所示;(ii)假設(shè)在拋物線上還存在點E′,使得以A,C,F(xiàn)′,E′為頂點所組成的四邊形是平行四邊形,過點E′作E′F′∥AC交x軸于點F′,則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形,可得AC=E′F′,AC∥E′F′,如圖2,過點E′作E′G⊥x軸于點G,分別求出E坐標(biāo)即可.【詳解】(1)a>0,>0;(2)∵直線x=2是對稱軸,A(﹣2,0),∴B(6,0),∵點C(0,﹣4),將A,B,C的坐標(biāo)分別代入,解得:,,,∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(3)存在,理由為:(i)假設(shè)存在點E使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形,過點C作CE∥x軸,交拋物線于點E,過點E作EF∥AC,交x軸于點F,如圖1所示,則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形,∵拋物線關(guān)于直線x=2對稱,∴由拋物線的對稱性可知,E點的橫坐標(biāo)為4,又∵OC=4,∴E的縱坐標(biāo)為﹣4,∴存在點E(4,﹣4);(ii)假設(shè)在拋物線上還存在點E′,使得以A,C,F(xiàn)′,E′為頂點所組成的四邊形是平行四邊形,過點E′作E′F′∥AC交x軸于點F′,則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形,∴AC=E′F′,AC∥E′F′,如圖2,過點E′作E′G⊥x軸于點G,∵AC∥E′F′,∴∠CAO=∠E′F′G,又∵∠COA=∠E′GF′=90°,AC=E′F′,∴△CAO≌△E′F′G,∴E′G=CO=4,∴點E′的縱坐標(biāo)是4,∴,解得:,,∴點
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