精講精煉（選擇性必修第二冊）4 .1 數(shù)列的概念

4.1數(shù)列的概念（精練）

【題組一數(shù)列的定義辨析】

1.（2021?全國高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集｛1,3,5,7｝是一樣的

B.數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的

C.數(shù)列［1+工］是遞增數(shù)列

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法

B.ai=l（〃22）是遞推公式

C.給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項公式法

D.a?=2an-x,ai之（〃22）是遞推公式

3.（2021?全國）（多選）下列說法中正確的是（）

A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)列7,5,3,1是同一數(shù)列

B.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)列1,3,5,7,L是同一數(shù)列

C.1,1,1,L能構(gòu)成一個數(shù)列

D.數(shù)列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,L存在通項公式

【題組二根據(jù)通項公式寫出項】

1.（2021?千陽縣中學(xué)高二月考）已知數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,（）,55……括號中應(yīng)填（）

A.23B.33C.34D.44

2.（2021?安徽屯溪一中高二期中（理））已知數(shù)列1,I■，212312-34，47,則1:是

z132i4□21o

數(shù)列中的（）

A.第29項B.第30項C.第36項D.第37項

3.（2021?全國）觀察數(shù)列l(wèi)n2,cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,則該數(shù)列的第20項等

于（）

A.230B.20C.In20D.cos20

4.（2021?全國高二單元測試）已知數(shù)列l(wèi),g,如，「歷二T,，則0T是這個數(shù)列的（）

A.第10項B.第11項C.第12項D.第21項

5.（2021?全國高二課時練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新

的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或

者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，

其前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項為

A.99B.131C.139D.141

6.（2021建國高二課時練習(xí)）由1,3,5,…，2個1,…構(gòu)成數(shù)列｛aj,數(shù)列伉｝滿足*2,當(dāng)時，”=。如，

則弱的值是（）

A.9B.17

C.33D.65

22

7（2021?永壽縣中學(xué)（文））已知S"是數(shù)歹U｛%｝的前〃項和，an+4S“=n（n+3?-3）-2w+l,通過計算得％。,

出=5,%=22,4=57,根據(jù)通項的規(guī)律可以歸納得出a=（）

A.981B.979C.980D.978

8.（2021?全國高二單元測試）數(shù)列｛風(fēng)｝滿足。用=1-',貝。。刈3等于

2an

A.3B.-1C.2D.3

9.（2021?云南玉溪?（理））如下圖①至圖④，作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形

各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的每一個小三角形中又挖去一個‘'中心三角形”，以此類推，如

果我們用著色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形則稱為謝爾賓斯基三角形，該概念由波蘭數(shù)學(xué)

家謝爾賓斯基在1915年提出.下列4個圖形中，若著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛%｝的前4項，則&=

10.（2021?全國高二課時練習(xí)）天干地支紀(jì)看法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、

乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，

地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列

到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙

子”，…，以此類推，已知2020年為庚子年，那么到建國100年時，即2049年以天干地支紀(jì)年法為.

【題組三根據(jù)項寫出通項公式】

1.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛aj的前四項為1,0,1,0,則下列可作為數(shù)列｛a｝的通項公式的

有（）

①a”=；[1+(-1)"'];②a〃=g[1+(-1)+(7?-1)(77—2)；

1（"為偶數(shù)）

.oT17C1—cosn兀

③劣=sin萬；④a=---------；⑤

0（〃為奇數(shù)）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）（多選）已知〃￡N*,給出4個表達(dá)式，其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,

0,1,…的通項公式的是（）

[0,幾為奇數(shù),1+1+cosnn.n7r

A-為偶數(shù)B.C.為=^^~D.冊sin——

2

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式.

1111

1-1+1?4+1?-9+1，16+1'…；

(2)2,3,5,9,17,33,…；

㈠2，5'10'17'26

416

(4)1,—,2,不，…;

/、1111

(5)--，—，

3815,24

4.(2021?全國)觀察下列數(shù)列的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出數(shù)列的一個通項公式:

(1)(),4,9,(),25,(),49；

⑵1，"，()，*;

⑶1，&，(),2,君，()，甘；

9n2—9n+2

5.(2021?全國高二專題練習(xí))已知數(shù)列

9n2-l

⑴求這個數(shù)列的第10項；

(2)旨98是不是該數(shù)列中的項，為什么？

（3）求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間（0,1）內(nèi)；

（4）在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，是第幾項？若沒有，說明理由.

【題組四數(shù)列的單調(diào)性】

1.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項公式是4=心，那么這個數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4>0,對一切〃eN+,嗅=；,則數(shù)列｛叫是（）

an2

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.不確定

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）若數(shù)列｛a｝為遞減數(shù)列，則它的通項公式可以為（）

A.a=2〃+3B.an=~n+3/7+1

C.a，n=—D.a?=（—I）77

2

4.（2021?全國高二課時練習(xí)）數(shù)列｛。,｝：4=，2+力2（〃€乂）是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)X的取值范圍是

5

A.(-3,+oo)B.——,+ooC.(-2,+oo)D.(0,+oo)

2

(3-a)n-3,〃W7*

5.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知數(shù)列{氏}滿足：%=\_6；SsN),且數(shù)列是遞增數(shù)列,

a,n>/

則實數(shù)a的取值范圍是

9Q

A.(—,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

6.（2021?全國高二課時練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列{4}的公差d>0,則下列數(shù)列遞增的是（）

A.{a“}B.{nan}C.D.{an+3nd]

【題組五數(shù)列的分類】

1.（2021?全國高二專題練習(xí)）下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）

A1111.?.2〃.3萬

A.1,—,—,—,…B.sin—,sm—,sin—,…

234777

C.—1,一一；,~~>…D.1,血,石,…,^21

/48

2.（2021?全國高二期末）已知。,+「?！?3=0,則數(shù)列{°“}是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.先遞增后遞減數(shù)列D.常數(shù)列

3.(2021?全國)下列數(shù)列既是遞增數(shù)列，又是無窮數(shù)列的是()

A.1,2,3,…，20

B.-1,-2,T,…，-n,…

C.1,2,3,2,5,6,…

D.-1,0,1,2,…，100,…

4.（2021?全國）對于無窮數(shù)列他.},給出下列命題:

①若數(shù)列｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝是常數(shù)列.

②若等差數(shù)列｛6｝滿足1%區(qū)2021,則數(shù)列｛%｝是常數(shù)列.

③若等比數(shù)列｛%｝滿足UIV2021,則數(shù)列｛%｝是常數(shù)列.

④若各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足1<??<2021,則數(shù)歹IJ｛%｝是常數(shù)歹！J.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知下列數(shù)列:

①2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020；

￡j_1

②1,

2*4,…，廣…;

_23(-1尸7

③1,

一§'52〃一1

.Y171

④1,0,-1,?，sin——，

2

⑤2,4,8,16,32,?

⑥一1,-1,-1,-1.

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是.,遞增數(shù)列是.,遞減數(shù)列是.,常數(shù)列

是.，擺動數(shù)列是（填序號）.

【題組六數(shù)列的最值】

1（2021?全國高二專題練習(xí)）數(shù)列｛a“｝中，an=-rf+nn,則此數(shù)列最大項的值是（）

121

A.—B.30C.31D.32

4

2.（2021?北京師范大學(xué)實驗二龍路中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛4｝的通項公式4=/-9/L10,記S“為數(shù)列

｛%｝的前"項和，若使S“取得最小值，則〃=（）

A.5B.5或6C.10D.9或10

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）（多選）已知數(shù)列｛%｝滿足凡="次"（〃€"*,。＜左＜1）,下列命題正確的有

（）

A.當(dāng)人;時，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列

B.當(dāng)左二g時，數(shù)列｛〃〃｝一定有最大項

C.當(dāng)。＜左＜；時，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列

D.當(dāng)工為正整數(shù)時，數(shù)列｛4｝必有兩項相等的最大項

4.（2021哈國高二專題練習(xí)）設(shè)為=-/+10〃+11,數(shù)列｛4｝從首項到第7項的和最大，則/的值是.

5.（2021唉國高二課時練習(xí)）已知數(shù)列面｝的通項公式為a廣（ACN+）,則數(shù)列｛a｝的最大項是第一

3n-16

項.

6.（2021?新蔡縣第一高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列｛a｝的通項公式為2=四土?,則數(shù)列中的最大

10"

項為?

7.（2021