2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題十五圓錐曲線的綜合問題參考答案

專題十五圓錐曲線的綜合問題一、選擇題A【解析】由題意得直線恒過定點(diǎn)QUOTE(1,1)，而點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交.故選A．C【解析】根據(jù)雙曲線方程可知，點(diǎn)即為雙曲線的右頂點(diǎn)，過該點(diǎn)有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，另過該點(diǎn)且與軸垂直的直線也與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).故過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條.故選C．B【解析】當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，如圖，連接.因?yàn)椋?由為線段的垂直平分線，可得，所以.同理，當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，.故點(diǎn)的軌跡是雙曲線，對(duì)應(yīng)方程為.故選B．B【解析】由拋物線，得焦點(diǎn)為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.設(shè)，設(shè)直線，將直線代入拋物線方程可得，即，，故.故選B．D【解析】如圖，由橢圓的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)為橢圓另一焦點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，由橢圓定義可知，又，，又為過橢圓中心的弦，，周長的最小值為.故選D．B【解析】由題意知，，因?yàn)檩S，所以設(shè)，作出圖形如圖，則直線的方程為，令，得，所以直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的方程為，令，得，所以直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，點(diǎn)為線段上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，解得，在橢圓中，，所以.故選B.D【解析】由雙曲線的離心率為2可得，又，所以，因?yàn)榈綕u近線的距離，所以，故，得，又，所以，故該雙曲線的焦距為.故選D.A【解析】可化為.如圖，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.因?yàn)?，所?若最小，則最小，即最小.數(shù)形結(jié)合可得，直線與拋物線相切時(shí)，最小.設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立，得，消去x，得，由，得.故選A.C【解析】易知，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，則，由拋物線的定義知，即，解得.則拋物線方程為，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，易知，所以，故B正確；易知，則，故C錯(cuò)誤；易知在點(diǎn)處的切線的斜率，在點(diǎn)處的切線的斜率，則，則，故A正確；過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為.則，易知當(dāng)垂直于準(zhǔn)線時(shí)，有最小值2，所以的最小值為2，故D正確.故選C.A【解析】依題意得設(shè)則，，，，，又，在中，，同理，在中，，，，，將代入并整理，得，，或或，易知，或.故選A.A【解析】由雙曲線的離心率為，得，解得，故雙曲線.設(shè)直線，與雙曲線的方程聯(lián)立得，設(shè)點(diǎn)，則，則.因?yàn)闉殁g角，則，所以，即，得，即，則直線的斜率存在，令直線的斜率為，則.又三點(diǎn)不可能共線，則必有，所以直線斜率的取值范圍是.故選A.C【解析】把看成關(guān)于的一元二次方程，由題圖可知該方程必有實(shí)根，，，所以可取的整數(shù)有，從而曲線恰好經(jīng)過，，共6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確；由得，，解得，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，結(jié)論②正確；如圖所示，易知，，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，結(jié)論③錯(cuò)誤.故選C.二、填空題【解析】由題可知雙曲線的漸近線必與該直線相交，則，，，，離心率的取值范圍為.【解析】設(shè)，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得，則，則，由可得，代入可得，解得，故拋物線的方程為.【解析】依題意，得，則，易知，則直線的斜率，直線的方程為，直線的斜率，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.則，由，得的取值范圍為.【解析】易知點(diǎn)，由題意設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，且.直線的斜率為，則直線的方程為.同理可得直線的方程為.聯(lián)立得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.結(jié)合，得.因?yàn)椋?，又，所以，得，則，所以.三、解答題【解析】（1）設(shè).由題意，，，，……………1分因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，即，解?故雙曲線的漸近線方程為.…………3分（2）由已知，，.設(shè)，，直線.顯然.由，得.因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且.……………5分設(shè)的中點(diǎn)為.由，即，知，故.…………………6分而，，，所以，得，故的斜率為.…………8分【解析】（1）將整理，得，由，得，故，將代入，得，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………………3分（2）點(diǎn)在軸上的射影為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，………………4分易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，則直線的方程為，即.聯(lián)立，得，消去，可得，，，將代入，可得，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，………7分，，.…………………8分【解析】（1）由題易得，圓心到直線的距離為，由直線的傾斜角為得，由得，即，，將其與聯(lián)立，得，，橢圓方程為.…………3分（2）存在.設(shè).①若直線垂直于軸，與橢圓交于，，取，，滿足.…4分②若直線不垂直于軸，設(shè)方程為，代入橢圓方程整理得，，令，則或，（*），（**），對(duì)于，包含兩種情況：（i），即，，即，代入（*）（**）得，消去得，解得，的方程為或.……7分（ii），即，，代入（*）（**）得，消去得，，有，無解.綜上，的方程為或或.…………………10分【解析】（1）設(shè)，，，則，，，.則切線的斜率為，故切線，整理得.同理可求得切線.………2分，都滿足直線方程.所以直線方程為.當(dāng)，時(shí)等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn).………………4分（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是，，，.…………………6分設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離