四川省雅安市高中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文

PAGEPAGE17四川省雅安市中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文考試時(shí)間：120分鐘；留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷選擇題（每題5分共60分）1．命題“，x2-2x+12≤0”的否定為A．， B．，x2-2x+12>QUOTE>0C．，x2-2x+12≤0 D．，2．已知命題p:若a>|b|，則a2>b2；命題q:?x∈R，都有x2+x+1>0.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)，則（）A．2 B．1 C．0 D．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(4，＋∞)C．(1,2]D．(0,3]5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，6．函數(shù)（）的圖象大致形態(tài)是（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)，|z|＝（）A． B．3 C．4 D．58．已知函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．下列說法中不正確的是（）①不等式的解集是②函數(shù)的最小值是2③“，恒成立”的充要條件是“”④命題“，”的否定是“，”A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②10．已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是A． B． C． D．11．直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（每題5分共20分）13．若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是________．14．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝________.15．已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．16．已知函數(shù)，過點(diǎn)作與軸平行的直線交函數(shù)的圖像于點(diǎn)，過點(diǎn)作圖像的切線交軸于點(diǎn)，則面積的最小值為____．三、解答題（17題10分其余大題均12分）17．已知命題p：，命題．(1)若命題p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．2024年4月22日，一則“清華高校要求從2024級(jí)學(xué)生起先，游泳達(dá)到肯定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教化界引起了巨大反響．游泳作為一項(xiàng)重要的求生技能和運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目受到許多人的寵愛．其實(shí)，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容．某中學(xué)為了解2025屆高三學(xué)生的性別和寵愛游泳是否有關(guān)，對(duì)100名高三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：寵愛游泳不寵愛游泳總計(jì)男生10女生20總計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到寵愛游泳的學(xué)生的概率為.（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為寵愛游泳與性別有關(guān)．附：x2＝α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．設(shè)復(fù)數(shù)滿意，．（1）求的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)和在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是和，求的取值范圍．20．在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），其中.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.（1）求的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)，求.21．已知函數(shù)，.若恒成立，求的取值范圍；已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.22.已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．半期考試答案解析選擇題答案1．A因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定為，．故選：A．2．A命題：，平方可得，故為真命題；命題：，恒成立，故為真命題.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，關(guān)鍵要推斷簡潔命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.3．B解：由題意，，又，∴．則．故選：B．4．C解析：選C∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx，∴f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x＞0)，由x－eq\f(9,x)≤0，得0＜x≤3，∴f(x)在(0,3]上是減函數(shù)，則[a－1，a＋1]?(0,3]，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.本題考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，較簡潔.5．A【分析】f（x）＝kx可變形為k，關(guān)于x的方程f（x）＝kx的實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為直線y＝k與函數(shù)g（x）g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得函數(shù)g（x）在（0，e）為增函數(shù)，在（e，+∞）為減函數(shù)，又x→0+時(shí)，g（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，g（x）→0+，g（e），畫草圖即可得解．【詳解】設(shè)g（x），又g′（x），當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（0，e）為增函數(shù)，在（e，+∞）為減函數(shù)，又x→0+時(shí)，g（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，g（x）→0+，g（e），即直線y＝k與函數(shù)g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍為（0，），故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及方程與函數(shù)的互化及極限思想，屬于中檔題.6．C【分析】確定函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x＞0時(shí)，f（x）＝logax（0＜a＜1）是單調(diào)減函數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除B、D；x＞0時(shí)，f（x）＝logax（0＜a＜1）是單調(diào)減函數(shù)，解除A．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，正確分析函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．7．D【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先把化成的形式，再依據(jù)公式求模.【詳解】，.故選：.【點(diǎn)睛】8．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出，結(jié)合單調(diào)性，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，且即故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于中等題.9．D【分析】解不等式可推斷①；構(gòu)造函數(shù)并利用單調(diào)性求最值可推斷②；依據(jù)恒成立取出的范圍可推斷③；依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可推斷④.【詳解】①由得，解得，所以①錯(cuò)誤；②令，則，，設(shè)，所以，因?yàn)?，，所以，，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，的最小值不是2，所以②錯(cuò)誤；③，恒成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)不成立，綜上，恒成立的充要條件是“”，所以③正確；④依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，命題“，”的否定是“，”，所以④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，對(duì)于利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡潔發(fā)生錯(cuò)誤的地方.10．C【詳解】試題分析：依據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖像的對(duì)稱中心是，故有，所以，即，所以有，，故所求的切線為過點(diǎn)且斜率是的直線，所以方程為，故選C.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.11．C【分析】由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)t得直角坐標(biāo)方程，然后利用斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)t得直角坐標(biāo)方程為：設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的傾斜角范圍是，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線傾斜角的求法以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)題意，可得函數(shù)的奇偶性，依據(jù)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，將，左右同乘，可得，即，利用的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】∵，∴，令，則，即為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.依據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，∵，∴，∴，即，解得，，故選：B.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是將題干條件轉(zhuǎn)化為，依據(jù)左右相同的形式，構(gòu)造函數(shù)，再依據(jù)題意，求得函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性；難點(diǎn)在于：由于，不符合函數(shù)的形式，需左右同乘，方可利用函數(shù)的性質(zhì)求解，屬中檔題.二、填空題答案13．【分析】由題，“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，可得答案.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以，故答案為.【點(diǎn)睛】14．答案：eq\f(1,4)解析：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)15答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)解析：對(duì)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝2x－5＋eq\f(2,x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)(x>0)．令f′(x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)＝eq\f((2x－1)(x－2),x)>0(x>0)，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).綜上所述，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)16．【詳解】函數(shù)f（x）＝的導(dǎo)數(shù)為f′（x），由題意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切線的斜率為k，切線的方程為y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，則△ABP面積為S（a）|AB|?|AP|?，a＞0，導(dǎo)數(shù)S′（a）?，當(dāng)a＞1時(shí)，S′＞0，S（a）遞增；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S′＜0，S（a）遞減．即有a＝1處S取得微小值，且為最小值e．故答案為e．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，留意運(yùn)用直線方程和構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．解答題答案17．(1)(2)【分析】（1）依據(jù)命題為真命題，分類探討a是否為0；再依據(jù)開口及判別式即可求得a的取值范圍．（2）依據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，得出p,q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，然后進(jìn)行求解可得范圍.【詳解】依據(jù)復(fù)合命題真假，探討p真q假，p假q真兩種狀況下a的取值范圍．（1）命題是真命題時(shí)，在范圍內(nèi)恒成立，∴①當(dāng)時(shí)，有恒成立；②當(dāng)時(shí)，有，解得：；∴的取值范圍為：.（2）∵是真命題，是假命題，∴，中一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，由為真時(shí)得由，解得，故有：①真假時(shí)，有或，解得：；②假真時(shí)，有或，解得：；∴的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假及復(fù)合命題真假的簡潔應(yīng)用，求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）表格見解析；（2）有.【分析】（1）依據(jù)概率補(bǔ)全列聯(lián)表即可；（2）計(jì)算，再進(jìn)行推斷即可.【詳解】（1）因?yàn)樵?00人中隨機(jī)抽取1人抽到寵愛游泳的學(xué)生的概率為所以寵愛游泳的學(xué)生人數(shù)為.其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：寵愛游泳不寵愛游泳合計(jì)男生401050女生203050合計(jì)6040100（2）因?yàn)樗杂?9.9%的把握認(rèn)為寵愛游泳與性別有關(guān)．19．（1）；（2）【分析】(1)設(shè),則,代入題中關(guān)系式利用復(fù)數(shù)相等即可求出進(jìn)而求出復(fù)數(shù);(2)利用(1)的結(jié)果,為點(diǎn)()和()之間的距離,利用兩點(diǎn)之間距離公式列出等式然后再結(jié)合三角函數(shù)的學(xué)問進(jìn)行求解范圍.【詳解】(1)設(shè),則,代入化簡得∴由復(fù)數(shù)相等可得解得∴;(2)由和在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z()和W(),∴=+5=-4+5∵,∴-4+5∴.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù),相等復(fù)數(shù),考查了復(fù)數(shù)的幾何意義,同時(shí)還考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力,是高考中的?？碱}型.20（1），或；﹒（2）6【分析】（1）由曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)，即可求得曲線一般方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線代入，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線（為參數(shù)），可得（為參數(shù)）兩式相除，可得，整理得曲線的一般方程或；由曲線，兩邊同乘，可得，又因?yàn)?，代入可得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為﹒（2）將曲線代入，得，整理得﹐設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與一般方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，著重考察了推理與運(yùn)算實(shí)力.21．（1）（2）見解析【解析】試題分析：構(gòu)造，求導(dǎo)，算單調(diào)性，取最值狀況法一：聯(lián)立方程組求解轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，求導(dǎo)證明結(jié)論；法二：要證，只需證，由單調(diào)性只需證，令證明結(jié)論解析：令，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最大值，為，若恒成立，則即.方法一：，，，即，欲證：，只需證明，只需證明，只需證明.設(shè)，則只需證明，即證：.設(shè)，，在單調(diào)遞減，，，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有，則，且，要證，只需證，由于在上單調(diào)遞減，從而只需證，由，只需證，又，即證即證，.令，，有在上單調(diào)遞