高考理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）【2018年山東，理1】已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）（2）【2018年山東，理2】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）（A）（B）（C）（D）（3）【2018年山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（）（A）向左平移個單位（B）向右平移個單位（C）向左平移個單位（D）向右平移個單位（4）【2018年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長為，，則BD·CD=（） （A）（B） （C）（D）（5）【2018年山東，理5】不等式的解集是（） （A） （B）（C）（D）（6）【2018年山東，理6】已知滿足約束條件若的最大值為4，則（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）【2018年山東，理7】在梯形中，，，．將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）（8）【2018年山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）聽從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，）（A）（B）（C）（D）（9）【2018年山東，理9】一條光線從點射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為（）（A）或（B）或（C）或（D）或（10）【2018年山東，理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2018年山東，理11】觀看下列各式：照此規(guī)律，當(dāng)時，．（12）【2018年山東，理12】若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為．（13）【2018年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為．（14）【2018年山東，理14】已知函數(shù)的定義域和值域都是，則．（15）【2018年山東，理15】平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則的離心率為．三、解答題：本大題共6題，共75分．（16）【2018年山東，理16】（本小題滿分12分）設(shè)．QUOTE（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為，若，求面積．（17）【2018年山東，理17】（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面與平面所成角（銳角）的大?。?8）【2018年山東，理18】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．（19）【2018年山東，理19】（本小題滿分12分）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參與者需從全部的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)章如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參與者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）寫出全部個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（Ⅱ）若甲參與活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．（20）【2018年山東，理20】（本小題滿分13分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點．（i）求的值；（ii）求面積最大值．（21）【2018年山東，理21】（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）爭辯函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范圍．2018年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）【2018年山東，理1】已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，故選C．（2）【2018年山東，理2】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，，故選A．（3）【2018年山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（）（A）向左平移個單位（B）向右平移個單位（C）向左平移個單位（D）向右平移個單位【答案】B【解析】，只需將函數(shù)的圖像向右平移個單位，故選B．（4）【2018年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長為，，則BD·CD=（） （A）（B） （C）（D）【答案】D【解析】由菱形ABCD的邊長為，可知，，故選D．（5）【2018年山東，理5】不等式的解集是（） （A） （B）（C）（D）【答案】A【解析】當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，解得，則；當(dāng)時，不成立．綜上，故選A．（6）【2018年山東，理6】已知滿足約束條件若的最大值為4，則（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】由得，借助圖形可知：當(dāng)，即時在時有最大值0，不符合題意；當(dāng)，即時在時有最大值，不滿足；當(dāng)，即時在時有最大值，不滿足；當(dāng)，即時在時有最大值，滿足，故選B．（7）【2018年山東，理7】在梯形中，，，．將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故選C．（8）【2018年山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）聽從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，故選D．（9）【2018年山東，理9】一條光線從點射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】D【解析】關(guān)于軸對稱點的坐標為，設(shè)反射光線所在直線為即，則，解得或，故選D．（10）【2018年山東，理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由可知，則或，解得，故選C．第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2018年山東，理11】觀看下列各式：照此規(guī)律，當(dāng)時，．【答案】【解析】（12）【2018年山東，理12】若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為．【答案】1【解析】“”是真命題，則，于是實數(shù)的最小值為1．（13）【2018年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為．【答案】【解析】．（14）【2018年山東，理14】已知函數(shù)的定義域和值域都是，則．【答案】【解析】當(dāng)時，無解；當(dāng)時，解得，則．（15）【2018年山東，理15】平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則的離心率為．【答案】【解析】的漸近線為，則的焦點，則，即，，．三、解答題：本大題共6題，共75分．（16）【2018年山東，理16】（本小題滿分12分）設(shè)．QUOTE（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為，若，求面積．解：（Ⅰ）由，由得，則的遞增區(qū)間為；由得，則的遞增區(qū)間為．（Ⅱ）在銳角中，，，而，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，故面積的最大值為．（17）【2018年山東，理17】（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面與平面所成角（銳角）的大?。猓海á瘢┳C明：連接，，設(shè)與交于點，在三棱臺中，，則，而是的中點，，則，所以四邊形是平行四邊形，是的中點，．又在，是的中點，則，又平面，平面，故平面．（Ⅱ）由平面，可得平面而，，，則，于是兩兩垂直，以點為坐標原點，所在的直線，分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè),則,，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，，故平面與平面所成角（銳角）的大小為．（18）【2018年山東，理18】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．解：（Ⅰ）由可得，，而，則．（Ⅱ）由及，可得，，（19）【2018年山東，理19】（本小題滿分12分）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參與者需從全部的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)章如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參與者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）寫出全部個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（Ⅱ）若甲參與活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）的全部取值為-1，0，1．甲得分的分布列為：0-11．（20）【2018年山東，理20】（本小題滿分13分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點．（i）求的值；（ii）求面積最大值．解：（Ⅰ）由橢圓的離心率為可知，而則，左、右焦點分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點在橢圓上，則，整理得，解得，（舍去），故，，橢圓的方程為．（Ⅱ）（i）橢圓的方程為，設(shè)點，滿足，射線，代入可得點，于是．（ii）點到直線距離等于原點到直線距離的3倍：，，得，整理得．，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ本€與橢圓有交點，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號不成立，設(shè)，則在為增函數(shù)，于是當(dāng)時，故面積最大值為12．（21）【2018年山東，理21】（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）爭辯函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ），定義域為，，設(shè)，當(dāng)時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．當(dāng)時，，若時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．若時，設(shè)的兩個不相等的實數(shù)根，且，且，而，則，所以當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．因此此時函數(shù)有兩個極值點；當(dāng)時，但，，所以當(dāng)單調(diào)遞増；當(dāng)單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個極值點．綜上可知當(dāng)時的無極值點；當(dāng)時有一個極值點；當(dāng)時，的有兩個極值點．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，于是，當(dāng)時，此時，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．另解：（Ⅰ），定義域為，當(dāng)時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．設(shè)，當(dāng)時，依據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點的個數(shù)．若，即時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．若，即或，而當(dāng)時此時方程在只有一個實數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點；當(dāng)時方程在都有兩個不相等的實數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點；綜上可知當(dāng)時的極值點個數(shù)為0；當(dāng)時的極值點個數(shù)為1；當(dāng)時，的極值點個數(shù)為2．（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，都有成立，即當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；由均有成立．故當(dāng)時，，，則只需；當(dāng)時，，則需，即．綜上可知對于，都有成立，只需即可，故所求的