高三數(shù)學(xué)單元知識點復(fù)習(xí)試題29

第3講導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用★知識梳理★利用導(dǎo)數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問題，其解題思路是：優(yōu)化問題函數(shù)模型優(yōu)化問題函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的解★重難點突破★1.重點：利用于數(shù)學(xué)知識建立函數(shù)模型，借助于導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題。2.難點：建模的過程3.重難點：認(rèn)真審題，建立數(shù)學(xué)模型，解決與函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題.（1）關(guān)注由導(dǎo)數(shù)的定義和物理意義處理實際應(yīng)用問題問題1：路燈距地平面為,一個身高為的人以的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點C，沿某直線離開路燈，求人影長度的變化速率v.點撥：利用導(dǎo)數(shù)的物理意義解決設(shè)路燈距地平面的距離為，人的身高為.設(shè)人從點運動到處路程為米，時間為(單位：秒)，AB為人影長度，設(shè)為,則∵，∴∴,又,∴∵,∴人影長度的變化速率為.（2）利用導(dǎo)數(shù)處理最大（?。┲祮栴}是高考常見題型.問題2.（2006·江蘇）請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？OO1[剖析]設(shè)為,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為OO1（單位：）于是底面正六邊形的面積為（單位：）帳篷的體積為（單位：）求導(dǎo)數(shù)，得令解得(不合題意，舍去),.當(dāng)時，,為增函數(shù)；當(dāng)時，,為減函數(shù)。所以當(dāng)時,最大.答當(dāng)為時，帳篷的體積最大.★熱點考點題型探析★考點:最優(yōu)化問題題型1.函數(shù)模型中的最優(yōu)化問題例1.設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省?【解題思路】由勾股定理建模.解析：設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運費為元/km,那么鐵路運費為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運費為:+,().對該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點,所以=15是函數(shù)的極小值點,而且也是函數(shù)的最小值點.由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.【名師指引】這是一道實際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單.例2.某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大?有多少元?思路分析:在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.解法一:設(shè)相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤y最大. 2分依題意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分顯然,當(dāng)x=9時,ymax=864(元),即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大,最大利潤為864元. 10分解法二:由上面解法得到y(tǒng)=－6x2+108x+378.求導(dǎo)數(shù),得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.【名師指引】一般情況下,對于實際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.題型2:幾何模型的最優(yōu)化問題【名師指引】與最值有關(guān)的問題應(yīng)合理解模,使問題獲解.例3.(07上海春季高考)某人定制了一批地磚.每塊地磚(如圖1所示）是邊長為米的正方形，點E、F分別在邊BC和CD上，△、△和四邊形均由單一材料制成，制成△、△和四邊形的三種材料的每平方米價格之比依次為3:2:1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形.圖1(1)求證：四邊形是正方形；圖1(2)在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？圖2圖2【解題思路】圖2是由四塊圖1所示地磚繞點按順時針旋轉(zhuǎn)后得到，△為等腰直角三角形，四邊形是正方形.[解析](2)設(shè)，則，每塊地磚的費用為，制成△、△和四邊形三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，.由，當(dāng)時，有最小值，即總費用為最省.答：當(dāng)米時，總費用最省.【名師指引】處理較復(fù)雜的應(yīng)用題審題時要逐字逐句地去啄磨.題型3:三角模型的最優(yōu)化問題例4.若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）【解題思路】如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強度有關(guān)的常數(shù)）要想點處有最大的照度，只需求的極值就可以了.解析：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點距離為時，點的照度為最大.（0，）+-↗↘點評：在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點使得=0且在該點兩側(cè)，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點就是極值點，也是最大（?。┲迭c.【名師指引】多參數(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題要注意分清哪些是主元,哪些是參數(shù);函數(shù)最值有關(guān)的問題通常利用導(dǎo)數(shù)求解比較方便.【新題導(dǎo)練】.1．在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？解析:設(shè)箱底邊長為，則無蓋的方底箱子的高為，其體積為，則，令，得，解得（已舍去）且僅當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在時取得極大值，結(jié)合實際情況，這個極大值就是函數(shù)的最大值.，故當(dāng)箱底邊長為時，箱子容積最大，最大容積是.2..一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最??？設(shè)船速度為時，燃料費用為元，則，由可得，∴，∴總費用，，令得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，取得最小值，∴此輪船以20公里/小時的速度使行駛每公里的費用總和最?。飺尫诸l道★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.我國兒童4歲前身高增長的速度最快的是在哪一個年齡段?答:據(jù)有關(guān)統(tǒng)計資料,我國兒童4歲前身高情況有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)年齡/歲0.511.522.533.54…身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12…思路分析::要判斷這一個問題.必須要計算每半年這個群體長高的平均增長率,再加以比較即可,通過計算每半年長高的平均增長率分別是2.2,2,2.4,1.6,1.6,1,1.2可知我國兒童在1.5歲至2歲這一時段身高增長的速度最快2.（2008·深圳6校）某日中午時整，甲船自處以的速度向正東行駛，乙船自的正北處以的速度向正南行駛，則當(dāng)日時分時兩船之間距離對時間的變化率是_____________.解析:距離對時間的變化率即瞬時速度。即此時距離函數(shù)對時間變量的導(dǎo)數(shù)。將物理學(xué)概念與數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念遷移到實際應(yīng)用題中來。易求得從點開始，小時時甲乙兩船的距離，當(dāng)時，3.要建造一個長方體形狀的倉庫，其內(nèi)部的高為3m，長和寬的和為20m，則倉庫容積的最大值為1800m3解：設(shè)長為，則寬為，倉庫的容積為V則，令得當(dāng)時，；當(dāng)時，EMBEDEquation.DSMT4時，4.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積為最大，則其高應(yīng)為____________.kh20解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為，則，，圓錐體積一天，令得，當(dāng)時，；時，kh20EMBEDEquation.DSMT4時，V最大，當(dāng)應(yīng)填5.質(zhì)量為5kg的物體運動的速度為v=(18t－3t2)m/s,在時間t=2s時所受外力為______N.分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的物理意義即速度v(t)對時間的導(dǎo)數(shù)是該時刻的加速度.解:∵v′=18－6t,∴v′|t=2=18－6×2=6.∴t=2時物體所受外力F為6×5=30.綜合拔高訓(xùn)練6.在長為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米.由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運價比為5∶3，為節(jié)約運費，在鐵路的D處修一貨物轉(zhuǎn)運站，設(shè)AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖).(1)將每噸貨物運費y(元)表示成x的函數(shù).(2)當(dāng)x為何值時運費最?。拷猓?1)設(shè)公路與鐵路每噸千米的貨物運價分別為5k、3k(元)(k為常數(shù))AD=x，則DB=100－x.∴每噸貨物運費y=(100－x)·3k+·5k(元)(2)令y′=－3k+5k··k=0∴5x－3=0∵x>0，∴解得x=15當(dāng)0<x<15時，y′<0;當(dāng)x>15時，y′>0∴當(dāng)x=15時，y有最小值.答：當(dāng)x為15千米時運費最省.7.(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)設(shè)某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)，已知，其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時．中午12:00相應(yīng)的t=0，中午12:00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12:00以前相應(yīng)的t取負(fù)數(shù)（如早上8：00相應(yīng)的t=-4，下午16：00相應(yīng)的t=4）．若測得該物體在早上8:00的溫度為8℃，中午12:00的溫度為60℃，下午13:00的溫度為58（1）求該物體的溫度T關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）該物體在上午10:00到下午14:00這段時間中(包括端點)何時溫度最高？最高溫度是多少？解：(1)因為,………2分而,故,………3分.…6分∴.…………………7分(2),由……9分當(dāng)在上變化時，的變化情況如下表:-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2+0－0+58增函數(shù)極大值62減函數(shù)極小值58增函數(shù)62………