新高考一輪復習導學案第31講 正弦定理、余弦定理（原卷版）

第31講正弦定理、余弦定理1、正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常見變形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02、已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)設SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上的高．3、記SKIPIF1<0內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積．1、在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．42、已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正確3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．24、若在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.以上都不對考向一運用正余弦定理解三角形例1、在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大?。唬?）若，求的值.變式1、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0變式2、記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．考查基本運算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀例2、（河北張家口市·高三月考）（多選題）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下面四個結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓半徑是4B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定是鈍角三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0變式1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形變式2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；②化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點三運用正余弦定理研究三角形的面積考向三運用正余弦定理解決三角形的面積、周長例3、已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.變式1、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．變式2、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設D為邊BC上的一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式3、已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求角B；（2）求SKIPIF1<0的面積.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．1、在SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2、在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0___________.4、在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大??；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.5、在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIP