129003074170477500第二章 矩陣及其運算

湖北汽車工業(yè)學院理學系數學教研室胡政發(fā)線性代數講義第二章矩陣PAGE14PAGE13矩陣及其運算矩陣是線性代數的一個基本概念,矩陣運算是線性代數的基本內容.矩陣(matrix)這個詞是1850年由英國數學家、劍橋大學教授西爾維斯特(Sylrester)首先提出來的.由于矩陣把一組相互獨立的數,用一張數表的形式聯系在一起,視為一個整體,用一個量來表示,并參與運算.就使原來很龐大而且雜亂無章的數據變得簡單而有序.從數學史上來說,正是由于矩陣及其運算的引入,推動了線性代數及其他數學分支的理論的發(fā)展.對今天來說,它又為我們應用計算機來處理科學計算和日常事務帶來很大的方便與可能.用矩陣方法解線形方程組是中國首先創(chuàng)造的.東漢初年的《九章算術》中討論了“方程術”,其實際就是解線性方程組的高斯消去法.書中所謂的“方程”,實際就是矩陣.后來,元代數學家朱世杰1303年的一部著作中,及其精要地敘述了中國的代數方法,他采用了現在人們所熟悉的矩陣方法解線性方程組.主要內容1.矩陣的概念、常用的特殊矩陣.2.矩陣的基本運算.3.矩陣的逆及分塊矩陣.重點內容矩陣的運算第一節(jié)矩陣一、矩陣的定義定義1由個數排成的行列的矩形數表稱為行列矩陣,簡稱矩陣.為表示它是一個整體,總是加一個括號,并用大寫黑體字母表示,記作(1)這個數稱為矩陣的元素,簡稱為元,數位于矩陣的第行第列,稱為矩陣的元.以數為元的矩陣可簡記為或.的矩陣可記為.說明1)元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是復數的矩陣稱為復矩陣.2)行數與列數都等于得矩陣稱為階矩陣或階方陣.階方陣可記為.3)若兩矩陣的行數與列數都相同,則稱為同型矩陣.設為同型矩陣,并且它們的對應元素相等,即,則稱與相等,記為.例如矩陣分別為矩陣、矩陣和階方陣.二、常用的特殊矩陣1、行矩陣與列矩陣行矩陣(行向量):;列矩陣(列向量):.2、零矩陣.3、單位矩陣.4、對角矩陣,亦記為:.三、矩陣的應用舉例例1(產品發(fā)送量矩陣)某廠向三個商店發(fā)送四種產品的數量可列成矩陣,其中為工廠向第店發(fā)送第種產品的數量.這四種產品的單價及單件重量也可列成矩陣,其中為第種產品的單價,為第種產品的單件重量.例2個變量與個變量之間的關系式(2)表示一個從到的線性變換,其中為常數.線性變換(2)的系數構成矩陣.說明1)線性變換與矩陣之間存在一一對應關系.2)在線性變換中,有一種特殊的變換,其形式為,可以稱為加權壓縮變換,其對應的矩陣為對角形矩陣.特別地,當時為恒等變換,對應的矩陣為單位矩陣.3)常見的線性變換還有投影變換和旋轉變換.例如圖2.1圖2.1就是從空間向平面上的一個投影變換;對應的矩陣為.又如矩陣圖2.2圖2.2是平面上的一個旋轉變換,旋轉角為.事實上,令,可得由此可見,該變換為平面上的一個旋轉角為的逆時針方向的旋轉變換.第二節(jié)矩陣的運算一、矩陣的加法定義2設,則矩陣與之和記作,規(guī)定為注意:只有當與為同型矩陣時才能相加.矩陣加法的運算規(guī)律:1)交換律;2)結合律.設,記,則稱為的負矩陣,顯然有.由此規(guī)定矩陣的減法為.二、數與矩陣相乘定義3數與矩陣的乘積記作或,規(guī)定為.注意:數與矩陣的乘法與數與行列式的乘法是有區(qū)別的.矩陣數乘的運算規(guī)律:1)結合律;2)分配律;.例3已知,其中,,求矩陣.三、矩陣與矩陣相乘引例甲、乙兩公司每月生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型計算機分別為臺和臺.我們可把這些數據列成一個矩陣:ⅠⅡⅢ.如果生產這三種型號的計算機每臺利潤(萬元每臺)為,那么,這兩家公司的日利潤應為.事實上,是與按下列規(guī)律相乘得到的.由此引出兩矩陣相乘的定義.定義4設,則規(guī)定與的乘積是矩陣,其中,并把此乘積記作注意:只有當左邊矩陣的列數與右邊的矩陣的行數相等時,與才能相乘.的圖示如下:例如,,則注意,與不能相乘.例4設,求.解.注意:,但可能.例5設矩陣,求.解.注意:這里,但.通過上述例子,矩陣乘法與數的乘法是不同的:1)一般地,,即矩陣乘法不滿足交換律.若,則稱與可交換;2)一般地,由不能推出或;3)一般地,由不能推出.矩陣乘法的運算規(guī)律:1)結合律,;2)右分配律;3)左分配律.對單位矩陣,有,.或簡寫成.矩陣的冪:設為階矩陣,定義的次冪為:為正整數,并規(guī)定.顯然有,其中為非負整數.注意:一般的,.例6設有線性方程組(3)由矩陣相等,上式可寫為.利用矩陣乘積,上式左邊可表示為.記則方程組(3)可用矩陣形式記為.例7由變量到變量的線性變換的關系式(2)若記,則線性變換(2)可用矩陣形式記為.如果又有一個線性變換,其中,即(3)將(2)代入(3)得變換(4)變換(4)就是從到的線性變換,這個復合線性變換所對應的矩陣,正好是這兩個線性變換對應矩陣與的乘積.歷史上,人們正是首先從這個例子引出矩陣乘法的定義.四、矩陣的轉置定義5把矩陣的行換成同序列的列得到的新矩陣稱為的轉置,記作,即.矩陣轉置的運算規(guī)律:1);2);3);4).證只證4).設則中的第行第列元素為,所以,中的第行第列元素為.又的第行元素為,的第列元素為所以,的第行第列元素為.證畢說明:運算規(guī)律4)可推廣為.例8設,又,求.解.因為,,所以.說明設,若,即(),則稱為對稱矩陣;若,即(),則稱為反對稱矩陣.對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸;反對稱矩陣的主對角線上的元素全為零.五、方陣的行列式定義由階方陣的元素所構成的行列式稱為方陣的行列式,記為或.方陣的行列式運算規(guī)律:1);2);3).證只證3).設,,記階行列式,由第一章例7知,.又在中以乘第1列,乘第2列,,第列,都加到第列上(),有,其中,,故.再對的行作,有,從而,按第一章的例7有.于是.證畢說明由3)知,對階方陣,一般來說,,但總有.行列式的各元素的代數余子式所構成的矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣,試證.證由展開定理知.類似有.故.證畢六、共軛矩陣設為復矩陣,則稱為的共軛矩陣.共軛矩陣的運算規(guī)律:1);2);3).第三節(jié)逆矩陣逆矩陣在矩陣理論中是一個十分重要的概念,引入逆矩陣概念之后,使得矩陣在各門學科中發(fā)揮重大的作用.定義設為階方陣,若存在階方陣,使得,則稱方陣是可逆的,并稱為的逆陣.本節(jié)主要研究：1)的逆陣是否唯一；2)可逆的條件是什么,怎么求逆矩陣？一、逆矩陣的唯一性設都是的逆陣,即,因為,所以,的逆陣是否唯一的.的逆陣記為,于是.二、矩陣可逆的條件定理1若方陣可逆,則.證若可逆,則存在,使得.兩邊取行列式,所以.證畢說明定理1是矩陣可逆的必要條件,由該定理知,若,則必不可逆.如矩陣都不可逆.定理2若,則方陣可逆,且.證由例9知,.因為,所以.由逆矩陣的定義知,可逆且.證畢設,且,求.解.推論設為階的方陣,若,則都可逆,且.證因為,所以,故都可逆.于是.類似可得.說明1)由定理1、2得：可逆.2)當時,則稱為非奇異矩陣;當時,則稱為奇異矩陣.于是,可逆矩陣就是非奇異矩陣.例11設為同階方陣,且,試證：.證因為,所以由推論知,可逆,且故.例12階方陣滿足,試證可逆,并求.證由得,即.由推論知,可逆且.逆矩陣的運算規(guī)律：1)若可逆,則也可逆,且;2)若可逆,,則也可逆,且;3)若同階方陣都可逆,則也可逆,且;4)若可逆,則也可逆,且;5)若可逆,則;6)當時,定義,其中為正整數.當,為整數時,有.例13設,問是否可逆,若可逆,求.解易得,故可逆.又算得所以.說明利用逆陣可求解矩陣方程:設可逆,由,得;由,得;由,得.矩陣的分塊將一個高階矩陣(即行數和列數都較大的矩陣),用若干條橫線和縱線把它分成許多小塊,每個小塊都是一個小矩陣,稱它為子塊,這種視子塊為元素的矩陣為分塊矩陣.例如：.矩陣分塊的好處1)可清楚看出矩陣的結構;2)矩陣分塊后,每一子塊可看作一個“數”參與運算,于是兩個高階矩陣的運算可以化為一些低階矩陣去運算.另外,分塊矩陣的乘法在證明一些命題時起重要作用.分塊矩陣的運算：1、加法設將兩個同型矩陣與,采用相同的分塊方法,有其中,與的行數與列數都相同,則.2、數與分塊矩陣的乘法設,為數，那么.3、分塊矩陣的乘法設分塊成,其中的列數分別等于的行數,則.其中.例14設矩陣試用分塊矩陣乘法求.解將作如下分塊,,于是,經計算得,,故.4、分塊矩陣的轉置設則.5、分塊對角陣(或準對角陣)在階方陣的分塊矩陣中,如果除主對角線上有非零的小方陣外,其余為零矩陣,即(為小方陣),則稱為分塊對角陣(或準對角陣).顯然,當時,,故可逆,且有.設,求.解,.所以.說明對矩陣分塊時,有兩種分塊法,按行分塊與按列分塊,應予特別重視.,(5),(6)其中,.利用這兩種分塊法,可得線性方程組的等價寫法.設線性方