129003074170477500第二章 矩陣及其運(yùn)算

湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)系數(shù)學(xué)教研室胡政發(fā)線性代數(shù)講義第二章矩陣PAGE14PAGE13矩陣及其運(yùn)算矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)基本概念,矩陣運(yùn)算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容.矩陣(matrix)這個(gè)詞是1850年由英國數(shù)學(xué)家、劍橋大學(xué)教授西爾維斯特(Sylrester)首先提出來的.由于矩陣把一組相互獨(dú)立的數(shù),用一張數(shù)表的形式聯(lián)系在一起,視為一個(gè)整體,用一個(gè)量來表示,并參與運(yùn)算.就使原來很龐大而且雜亂無章的數(shù)據(jù)變得簡單而有序.從數(shù)學(xué)史上來說,正是由于矩陣及其運(yùn)算的引入,推動了線性代數(shù)及其他數(shù)學(xué)分支的理論的發(fā)展.對今天來說,它又為我們應(yīng)用計(jì)算機(jī)來處理科學(xué)計(jì)算和日常事務(wù)帶來很大的方便與可能.用矩陣方法解線形方程組是中國首先創(chuàng)造的.東漢初年的《九章算術(shù)》中討論了“方程術(shù)”,其實(shí)際就是解線性方程組的高斯消去法.書中所謂的“方程”,實(shí)際就是矩陣.后來,元代數(shù)學(xué)家朱世杰1303年的一部著作中,及其精要地?cái)⑹隽酥袊拇鷶?shù)方法,他采用了現(xiàn)在人們所熟悉的矩陣方法解線性方程組.主要內(nèi)容1.矩陣的概念、常用的特殊矩陣.2.矩陣的基本運(yùn)算.3.矩陣的逆及分塊矩陣.重點(diǎn)內(nèi)容矩陣的運(yùn)算第一節(jié)矩陣一、矩陣的定義定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的矩形數(shù)表稱為行列矩陣,簡稱矩陣.為表示它是一個(gè)整體,總是加一個(gè)括號,并用大寫黑體字母表示,記作(1)這個(gè)數(shù)稱為矩陣的元素,簡稱為元,數(shù)位于矩陣的第行第列,稱為矩陣的元.以數(shù)為元的矩陣可簡記為或.的矩陣可記為.說明1)元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.2)行數(shù)與列數(shù)都等于得矩陣稱為階矩陣或階方陣.階方陣可記為.3)若兩矩陣的行數(shù)與列數(shù)都相同,則稱為同型矩陣.設(shè)為同型矩陣,并且它們的對應(yīng)元素相等,即,則稱與相等,記為.例如矩陣分別為矩陣、矩陣和階方陣.二、常用的特殊矩陣1、行矩陣與列矩陣行矩陣(行向量):;列矩陣(列向量):.2、零矩陣.3、單位矩陣.4、對角矩陣,亦記為:.三、矩陣的應(yīng)用舉例例1(產(chǎn)品發(fā)送量矩陣)某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣,其中為工廠向第店發(fā)送第種產(chǎn)品的數(shù)量.這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可列成矩陣,其中為第種產(chǎn)品的單價(jià),為第種產(chǎn)品的單件重量.例2個(gè)變量與個(gè)變量之間的關(guān)系式(2)表示一個(gè)從到的線性變換,其中為常數(shù).線性變換(2)的系數(shù)構(gòu)成矩陣.說明1)線性變換與矩陣之間存在一一對應(yīng)關(guān)系.2)在線性變換中,有一種特殊的變換,其形式為,可以稱為加權(quán)壓縮變換,其對應(yīng)的矩陣為對角形矩陣.特別地,當(dāng)時(shí)為恒等變換,對應(yīng)的矩陣為單位矩陣.3)常見的線性變換還有投影變換和旋轉(zhuǎn)變換.例如圖2.1圖2.1就是從空間向平面上的一個(gè)投影變換;對應(yīng)的矩陣為.又如矩陣圖2.2圖2.2是平面上的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)角為.事實(shí)上,令,可得由此可見,該變換為平面上的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為的逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)變換.第二節(jié)矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義2設(shè),則矩陣與之和記作,規(guī)定為注意:只有當(dāng)與為同型矩陣時(shí)才能相加.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律:1)交換律;2)結(jié)合律.設(shè),記,則稱為的負(fù)矩陣,顯然有.由此規(guī)定矩陣的減法為.二、數(shù)與矩陣相乘定義3數(shù)與矩陣的乘積記作或,規(guī)定為.注意:數(shù)與矩陣的乘法與數(shù)與行列式的乘法是有區(qū)別的.矩陣數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律:1)結(jié)合律;2)分配律;.例3已知,其中,,求矩陣.三、矩陣與矩陣相乘引例甲、乙兩公司每月生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型計(jì)算機(jī)分別為臺和臺.我們可把這些數(shù)據(jù)列成一個(gè)矩陣:ⅠⅡⅢ.如果生產(chǎn)這三種型號的計(jì)算機(jī)每臺利潤(萬元每臺)為,那么,這兩家公司的日利潤應(yīng)為.事實(shí)上,是與按下列規(guī)律相乘得到的.由此引出兩矩陣相乘的定義.定義4設(shè),則規(guī)定與的乘積是矩陣,其中,并把此乘積記作注意:只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)與右邊的矩陣的行數(shù)相等時(shí),與才能相乘.的圖示如下:例如,,則注意,與不能相乘.例4設(shè),求.解.注意:,但可能.例5設(shè)矩陣,求.解.注意:這里,但.通過上述例子,矩陣乘法與數(shù)的乘法是不同的:1)一般地,,即矩陣乘法不滿足交換律.若,則稱與可交換;2)一般地,由不能推出或;3)一般地,由不能推出.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律:1)結(jié)合律,;2)右分配律;3)左分配律.對單位矩陣,有,.或簡寫成.矩陣的冪:設(shè)為階矩陣,定義的次冪為:為正整數(shù),并規(guī)定.顯然有,其中為非負(fù)整數(shù).注意:一般的,.例6設(shè)有線性方程組(3)由矩陣相等,上式可寫為.利用矩陣乘積,上式左邊可表示為.記則方程組(3)可用矩陣形式記為.例7由變量到變量的線性變換的關(guān)系式(2)若記,則線性變換(2)可用矩陣形式記為.如果又有一個(gè)線性變換,其中,即(3)將(2)代入(3)得變換(4)變換(4)就是從到的線性變換,這個(gè)復(fù)合線性變換所對應(yīng)的矩陣,正好是這兩個(gè)線性變換對應(yīng)矩陣與的乘積.歷史上,人們正是首先從這個(gè)例子引出矩陣乘法的定義.四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義5把矩陣的行換成同序列的列得到的新矩陣稱為的轉(zhuǎn)置,記作,即.矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律:1);2);3);4).證只證4).設(shè)則中的第行第列元素為,所以,中的第行第列元素為.又的第行元素為,的第列元素為所以,的第行第列元素為.證畢說明:運(yùn)算規(guī)律4)可推廣為.例8設(shè),又,求.解.因?yàn)?,所以.說明設(shè),若,即(),則稱為對稱矩陣;若,即(),則稱為反對稱矩陣.對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸;反對稱矩陣的主對角線上的元素全為零.五、方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式稱為方陣的行列式,記為或.方陣的行列式運(yùn)算規(guī)律:1);2);3).證只證3).設(shè),,記階行列式,由第一章例7知,.又在中以乘第1列,乘第2列,,第列,都加到第列上(),有,其中,,故.再對的行作,有,從而,按第一章的例7有.于是.證畢說明由3)知,對階方陣,一般來說,,但總有.行列式的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣,試證.證由展開定理知.類似有.故.證畢六、共軛矩陣設(shè)為復(fù)矩陣,則稱為的共軛矩陣.共軛矩陣的運(yùn)算規(guī)律:1);2);3).第三節(jié)逆矩陣逆矩陣在矩陣?yán)碚撝惺且粋€(gè)十分重要的概念,引入逆矩陣概念之后,使得矩陣在各門學(xué)科中發(fā)揮重大的作用.定義設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使得,則稱方陣是可逆的,并稱為的逆陣.本節(jié)主要研究：1)的逆陣是否唯一；2)可逆的條件是什么,怎么求逆矩陣？一、逆矩陣的唯一性設(shè)都是的逆陣,即,因?yàn)?所以,的逆陣是否唯一的.的逆陣記為,于是.二、矩陣可逆的條件定理1若方陣可逆,則.證若可逆,則存在,使得.兩邊取行列式,所以.證畢說明定理1是矩陣可逆的必要條件,由該定理知,若,則必不可逆.如矩陣都不可逆.定理2若,則方陣可逆,且.證由例9知,.因?yàn)?所以.由逆矩陣的定義知,可逆且.證畢設(shè),且,求.解.推論設(shè)為階的方陣,若,則都可逆,且.證因?yàn)?所以,故都可逆.于是.類似可得.說明1)由定理1、2得：可逆.2)當(dāng)時(shí),則稱為非奇異矩陣;當(dāng)時(shí),則稱為奇異矩陣.于是,可逆矩陣就是非奇異矩陣.例11設(shè)為同階方陣,且,試證：.證因?yàn)?所以由推論知,可逆,且故.例12階方陣滿足,試證可逆,并求.證由得,即.由推論知,可逆且.逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律：1)若可逆,則也可逆,且;2)若可逆,,則也可逆,且;3)若同階方陣都可逆,則也可逆,且;4)若可逆,則也可逆,且;5)若可逆,則;6)當(dāng)時(shí),定義,其中為正整數(shù).當(dāng),為整數(shù)時(shí),有.例13設(shè),問是否可逆,若可逆,求.解易得,故可逆.又算得所以.說明利用逆陣可求解矩陣方程:設(shè)可逆,由,得;由,得;由,得.矩陣的分塊將一個(gè)高階矩陣(即行數(shù)和列數(shù)都較大的矩陣),用若干條橫線和縱線把它分成許多小塊,每個(gè)小塊都是一個(gè)小矩陣,稱它為子塊,這種視子塊為元素的矩陣為分塊矩陣.例如：.矩陣分塊的好處1)可清楚看出矩陣的結(jié)構(gòu);2)矩陣分塊后,每一子塊可看作一個(gè)“數(shù)”參與運(yùn)算,于是兩個(gè)高階矩陣的運(yùn)算可以化為一些低階矩陣去運(yùn)算.另外,分塊矩陣的乘法在證明一些命題時(shí)起重要作用.分塊矩陣的運(yùn)算：1、加法設(shè)將兩個(gè)同型矩陣與,采用相同的分塊方法,有其中,與的行數(shù)與列數(shù)都相同,則.2、數(shù)與分塊矩陣的乘法設(shè),為數(shù)，那么.3、分塊矩陣的乘法設(shè)分塊成,其中的列數(shù)分別等于的行數(shù),則.其中.例14設(shè)矩陣試用分塊矩陣乘法求.解將作如下分塊,,于是,經(jīng)計(jì)算得,,故.4、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)則.5、分塊對角陣(或準(zhǔn)對角陣)在階方陣的分塊矩陣中,如果除主對角線上有非零的小方陣外,其余為零矩陣,即(為小方陣),則稱為分塊對角陣(或準(zhǔn)對角陣).顯然,當(dāng)時(shí),,故可逆,且有.設(shè),求.解,.所以.說明對矩陣分塊時(shí),有兩種分塊法,按行分塊與按列分塊,應(yīng)予特別重視.,(5),(6)其中,.利用這兩種分塊法,可得線性方程組的等價(jià)寫法.設(shè)線性方