2024屆山西省運城市新絳縣高三三模數(shù)學試卷（解析版）

山西省新絳縣2023-2024學年高考數(shù)學三模試卷請考生注意：1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi).寫在試題卷?草稿紙上均無效.2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得拋物線的焦點坐標，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.2.直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線中過焦點的兩段線段關系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【詳解】由拋物線標準方程可知p=2因為直線l過拋物線的焦點，由過拋物線焦點的弦的性質(zhì)可知所以因為為線段長度，都大于0，由基本不等式可知，此時所以選B【點睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡單應用，基本不等式的用法，屬于中檔題．3.已知集合，集合，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.4.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.0,+∞【答案】B【解析】【分析】可解出集合，然后進行補集、交集的運算即可．【詳解】，，則，因此，.故選：B.【點睛】本題考查補集和交集的運算，涉及一元二次不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.5.如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結論中錯誤的是（）A. B.平面ABCDC.三棱錐的體積為定值 D.異面直線AE，BF所成的角為定值【答案】D【解析】【分析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)可證得；運用兩個平面平行的性質(zhì)，可證明平面ABCD；結合三棱錐的體積公式可求其體積為定值；在線段上選取特殊位置，結合異面直線所成的角，即可求得異面直線AE，BF所成的角不是定值.【詳解】對于選項A，在正方體中，平面，平面，所以，即，四邊形為正方形，則，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正確.對于選項B，在正方體中,平面平面，平面，所以平面ABCD，故B正確.對于選項C，連接交于點，設三棱錐的高為，，平面，平面，所以點B到直線的距離即為，，又因為平面，即平面，所以AO為三棱錐的高，在中，，所以，（定值），故C正確.對于選項D，設異面直線AE，BF所成的角為，連接交于點，當點與重合時，因為，此時點與點重合，連接，在正方體，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，即為異面直線AE，BF所成的角，在中，，，，因為，所以為直角三角形，，所以異面直線AE，BF所成的角的正弦值為.當點與重合時，，此時點與點重合，，即，即為即為異面直線AE，BF所成的角，在中，，，，，所以異面直線AE，BF所成的角的正弦值為,異面直線AE，BF所成的角不是定值,故D錯誤.故選：D.【點睛】6.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數(shù)列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎題目.7.直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線過橢圓的左焦點，得到左焦點為，且，再由，求得，代入橢圓的方程，求得，進而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直線經(jīng)過橢圓的左焦點，令，解得，所以，即橢圓的左焦點為，且①直線交軸于，所以，，因為，所以，所以，又由點在橢圓上，得②由，可得，解得，所以，所以橢圓的離心率為.故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程，即可得的值(范圍)．8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側面的高為，所以側面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.9.在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個座位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結果中最接近真實值的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題.10.某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是A.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”【答案】B【解析】【分析】通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項.【詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.11.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A.14種 B.15種 C.16種 D.18種【答案】D【解析】【分析】采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應用，插空法的應用，屬于基礎題12.過拋物線（）焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.，且在第一象限，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【詳解】由題意，，準線：，作，；，設，故，，.故選：C【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，，是的角平分線，設，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】設，，，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設，，，由得：，化簡得，由于，故.故答案為：【點睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學生轉化劃歸，綜合分析，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.14.根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應是我國西周時期的數(shù)學家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有ΔABC滿足“勾3股4弦5”，其中“股”，為“弦”上一點（不含端點），且滿足勾股定理，則______.【答案】【解析】【分析】先由等面積法求得，利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得，依題意可得，，所以.故答案為：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，重點考查向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎題.15.如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設，則，（2）若在若一條直角邊在上，設，則，進一步利用導數(shù)的應用和三角函數(shù)關系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設，則，則，，從而.當時，此時，符合（2）若一條直角邊在上，設，則，則，，由知.，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，.當，即時，最大.故答案為：.【點睛】此題考查實際問題中導數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.16.已知實數(shù)，滿足，則目標函數(shù)的最小值為__________．【答案】-4【解析】【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實數(shù)x，y滿足對應的平面區(qū)域如圖陰影所示；由z＝x+2y﹣1，得yx，平移直線yx，由圖象可知當直線yx經(jīng)過點A時，直線yx的縱截距最小，此時z最?。?，得A（﹣1，﹣1），此時z的最小值為z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4，故答案為﹣4．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，是基礎題三?解答題：共70分.解答應寫出文學說明?證明過程或驗算步驟.17.已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當時，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）在上有解，，設，求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以是的最大值點，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以是的最小值點，，則，故.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學生的綜合應用能力和轉化能力.18.設函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．【答案】（1）或x≥1（2）最小值為．【解析】【分析】（1）討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得．所以所求不等式的解集為或x≥1．（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當時，，所以．因為，由，可知，所以，當且僅當，，時，等號成立．所以的最小值為．【點睛】本題考查了解絕對值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學生對于不等式，函數(shù)知識的綜合應用.19.某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。媒Y果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？【答案】（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】【分析】（1）計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，獲得8折優(yōu)惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數(shù)學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，，則.因為，所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.20.已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，，，求證：.【答案】（1），.（2）見解析【解析】【分析】（1）分三種情況討論即可（2）將，的值代入，然后利用均值定理即可.【詳解】解：（1）不等式可化為.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集為，故，.（2）由（1）知，，即，由，得，，當且僅當，即，時等號成立.故，即.【點睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式，中檔題.21.設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.【答案】（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由