中考數學一輪大單元復習1.1題型突破訓練：與實數有關的計算(原卷版+解析)

1.1題型突破訓練：與實數有關的計算題型分類結構圖（本專題共69題48頁）題型1：實數的混合計算典例：(2023·廣西·南寧十四中九年級期中）計算：12?鞏固練習1．(2023·重慶巴蜀中學九年級期中）14（2）(2023·重慶八中九年級期中）計算：cos30°?2．(2023·江蘇·鹽城市初級中學一模）計算：(π?1)03．(2023·四川樂山·九年級期中）計算：25+4．(2023·上?！で嗥謪^(qū)實驗中學九年級期中）計算：405．(2023·江蘇·連云港市新海初級中學三模）計算：|?3|+36．(2023·江蘇·射陽縣第四中學二模）計算：87．(2023·廣西·平果市教研室九年級期末）計算：128．(2023·江蘇·陽山中學九年級期中）計算：(1)2(2)12?49．(2023·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）計算：(1)cos60°+(2)6tan題型2：程序計算中的實數運算典例：(2023·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：（1）當輸入x=5時，輸出的結果為______（2）若輸入x的值為大于1的實數，最后輸出的結果為17，則符合條件的x的值是______鞏固練習1．(2023·浙江·杭州綠城育華學校一模）有一個數值轉換器，原理如下：當輸人的x=144時，輸出的y等于(

)A．3 B．8 C．33 D．2．(2023·河北·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為3，則最后輸出的結果是（）A．3+3 B．15+3 C．3+33 D．15+733．(2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數，都能輸出一個無理數C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值4．(2023·山東濟寧·八年級期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x值為5，則最后輸出的結果是（

）A．55 B．5+5 C．24 5．(2023·浙江·七年級專題練習）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為3時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為2；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③6．(2023·全國·九年級專題練習）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．7．(2023·北京海淀·九年級期末）給定二元數對（p，q），其中p=0或1，q=0或1．三種轉換器A，B，C對（p，q）的轉換規(guī)則如下：（1）在圖1所示的“A—B—C”組合轉換器中，若輸入1,0，則輸出結果為________；（2）在圖2所示的“①—C—②”組合轉換器中，若當輸入1,1和0,0時，輸出結果均為0，則該組合轉換器為“____—C—____”（寫出一種組合即可）．8．(2023·河北·廊坊市第十六中學七年級期末）一個數值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為2時，輸出的y值是______．（2）當輸出的y值為3時，請寫出兩個滿足條件的x的值為______和______．9．(2023·福建廈門·七年級期中）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為2時，輸入值x為2或4；②當輸入值x為9時，輸出值y為3；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中正確的是________．10．(2023·河北·邯鄲市第二十三中學七年級期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．11．(2023·上海·七年級專題練習）如圖是一個無理數篩選器的工作流程圖．(1)當x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當輸出的y值是5時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）題型3：定義新運算典例：(2023·江蘇宿遷·七年級期中）設a、b都表示有理數，規(guī)定一種新運算“※”：當a≥b時，a※b=b2，當a<b時，a※b=2×a．例如：1※2=2×1=2，(1)?1※(2)求(2※3)※?1(3)若有理數x在數軸上對應點的位置如圖所示，設：m=(1※x)※x；n=x※3，比較m、n的大小關系．鞏固練習1．(2023·陜西咸陽·八年級期中）現定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數x，y，都有x※y=x+y+32．(2023·山東德州·九年級期中）給出一種運算：對于函數y=xn，規(guī)定y'=nxn?1．例如：若函數y13．(2023·山東濰坊·八年級期中）定義一種運算☆，規(guī)則為a☆b=1a+4．(2023·山東煙臺·期中）在有理數的原有運算法則中，補充新的運算法則“?”如下：當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a．則當x=3時，5．(2023·山東·商河縣第三實驗學校八年級期中）規(guī)定以下兩種變換：①f(m,n)=(?m,n)，如f(2,1)=(?2,1)；②g(m,n)=(?n,?m)，如g(2,1)=(?1,?2)，按照以上變換有：f[g(3,4)]=f(?4,?3)=(4,?3)，那么g[f(?2,3)]等于_____．6．(2023·江蘇無錫·七年級期中）定義一種新運算：x★y=x+y?xy，則計算?3★2=7．(2023·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數a、b，定義運算：a△b=ab(a>b,a≠0)a?b(a<b,a≠0)；如：8．(2023·貴州六盤水·七年級期末）規(guī)定一種新運算法則：a?b=a2?2ab?b(1)求?2?1(2)若5?x=?5?x，求x的值．9．(2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）定義：如果兩個無理數的乘積等于一個有理數，即a?b=c，則稱a和b是關于c的共軛數例：2?8=4，則稱2(1)已知3和b是關于6的共軛數，則b=______．(2)若2?3和6+m3是關于3的共軛數，求10．(2023·河北石家莊·九年級期中）定義新運算“¤”：對于任意實數a，b，都有a¤b=a+2b如，2¤3=2+2×3據此，解答下列問題：（1）1¤1=___________；（2）方程x¤1=0的解為____________；（3）若關于x的方程1¤x=2?k有一個解為x=1，則k的值為___________．11．(2023·江蘇徐州·七年級期中）[概念學習]規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2．?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作把a÷a÷a÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“[初步探究]（1）直接寫出計算結果：2③＝（2）關于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數n，1的圈n次方都等于1；C．3④D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．[深入思考]我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照圖中的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．?3⑤＝；15⑥＝；?（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于；（3）算一算：122題型4：與實數運算相關的規(guī)律探究典例：(2023·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心八年級期中）觀察下列等式：x1x2x3(1)請寫出第n個等式：xn=____________；(2)根據以上規(guī)律，計算x1鞏固練習1．(2023·浙江·杭州市清河實驗學校七年級期中）觀察下列等式：71=7,7A．0 B．1 C．3 D．72．(2023·福建寧德·八年級期中）有一列數按如下規(guī)律排列：?22，34，?14，516，A．?1029 B．1029 3．(2023·江蘇·七年級專題練習）各正方形中的四個數之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）0325476c413631857abA．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，1104．(2023·山東濰坊·七年級期中）觀察下列各式：?1×12=?1+12，試運用你發(fā)現的規(guī)律計算：(?1×15．(2023·遼寧鞍山·七年級期中）觀察下列各式：（1）1×2×3×4+1=5；（2）2×3×4×5+1=11；（3）3×4×5×6+1=196．(2023·吉林·長春市實驗中學七年級期末）a是不為1的有理數，我們把11?a稱為a的差倒數．如：2的差倒數是11?2=?1，-1的差倒數是11?(?1)=12．已知a1=?13，a2是a17．(2023·山東·廣饒縣樂安街道樂安中學期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的個位數字為_____8．(2023·山東濟南·期中）已知：13131313(1)猜想填空：13(2)計算：①13②239．(2023·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：OA22=12+1=2OA32=22+1=3OA42=32+1=4…(1)請你直接寫出OA102(2)請用含有n（n為正整數）的式子填空：OAn2(3)在線段OA1、OA2、(4)我們已經知道13+313?3=4，因此將81310．(2023·福建·寧德市博雅培文學校九年級期中）閱讀下列解題過程：111請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：(1)計算：110(2)計算：1211．(2023·吉林白城·七年級期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知10≈3.16，則1000②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數式表示b，則(3)試比較a與a的大?。擾_______時，a>a；當________時，a=a；當________時，題型5：與數軸有關的實數運算典例：(2023·福建·廈門市杏南中學七年級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數為m(1)實數m的值是；(2)求m+1+(3)在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有2c+4與d2?16互為相反數，求2c﹣3鞏固練習1．(2023·河北石家莊·八年級期中）實數15在數軸上的大致位置是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D2．(2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，四個實數在數軸上的對應點分別為點M，P，N，Q．若點M，N表示的實數互為相反數，則圖中表示正數的點的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·廣西·賀州市八步區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，AB⊥數軸于A，OA=AB=BC=1，BC⊥OB，以O為圓心，以OC長為半徑作圓弧交數軸于點P，則點P表示的數為（

）A．3 B．2 C．5 D．24．(2023·廣東·育才三中七年級期中）實數a，b，c，d在數軸上對應點的位置如圖所示，正確的結論是（）A．a<c B．b+c>0 C．a<5．(2023·北京房山·八年級期中）如圖，直徑為1個單位長度的圓，在數軸上從表示﹣1的點A滾動一周到點B，則點B6．(2023·福建三明·八年級期中）如圖，數軸的正半軸上有A，B兩點，表示1和2的對應點分別為A，B，點C，D在數軸上，點B到點A的距離與點C到點D的距離相等，設點C所表示的數為(1)當D所表示的數為0且C在D的右邊時，求出x的值；(2)當D所表示的數為?22時，求出x7．(2023·湖北省宜昌市漁峽口中學七年級期中）如圖所示，數軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，設點B所表示的數為x，求|?x+38．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校八年級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．(1)拼成的正方形的邊長為______．(2)如圖2，以數軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數軸上表示的?1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A，那么點A表示的數是______．(3)如圖3，網格中每個小正方形的邊長為1，若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形的面積和邊長．9．(2023·北京房山·八年級期中）已知數軸上兩點A，B，其中A表示的數為?2，B表示的數為2，AB表示A，B兩點之間的距離．若在數軸上存在一點C，使得AC+BC=n，則稱點C為點A，B的“n節(jié)點”．例如圖1所示，若點C表示的數為0，有AC+BC=2+2=4，則稱點C為點A，B的“4節(jié)點”(1)若點C為點A，B的“n節(jié)點”，且點C在數軸上表示的數為?3，則n=___________；(2)若點D為點A，B的“43節(jié)點，請直接寫出點D(3)若點E在數軸上（不與A，B重合），滿足A，E兩點之間的距離是B，E兩點之間的距離的2倍，且點E為點A，B的“n節(jié)點”，求n的值．10．(2023·浙江杭州·七年級期中）如圖兩個4×4網格都是由16個邊長為1的小正方形組成．(1)圖①中的陰影正方形的頂點在網格的格點上，這個陰影正方形的面積為，若這個正方形的邊長為a，則a=；(2)請在圖②中畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網格的格點上，若這個正方形的邊長為b，則b=；(3)請你利用以上結論，在圖③的數軸上表示實數a，b和-a，-b，并將它們用“＜”號連接．11．(2023·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學七年級期中）如圖（1），在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．(1)求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長為(2)如圖（2），若點A在數軸上表示的數是?1，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧與數軸的正半軸交于點E，求點E表示的數為題型6：有理數的運算及應用典例：(2023·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）材料一：對任意有理數a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數m，n滿足m=2n=3n+1鞏固練習1．(2023·山東煙臺·期中）計算：(1)8+?(2)?1÷(3)?1(4)?12．(2023·廣西·南寧市第四十七中學七年級期中）出租車司機小李某段時間在東西走向的大街上進行營運，規(guī)定向東為正，向西為負，他所接送的六位乘客的里程如下：（單位：千米）?7.5，+6，?4.8，+3.5，?9，?12．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李處在第一次出發(fā)時的什么位置？(2)若小李這段時間共耗油3升，則出租車的耗油量是每千米多少升？（精確到0.01升）(3)小李預計每月行駛里程為0.8萬千米，若每升油的價格為8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？3．(2023·山東濟南·七年級期中）為宣傳健康知識，某社區(qū)居委會派車按照順序為7個小區(qū)（分別記為A，B，C，D，E，F，G）分發(fā)防疫安全手冊，社區(qū)工作人員乘車從服務點（原點）出發(fā)，沿東西向公路行駛，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：百米）：+10，?18，+14，?30，+6，+22，?6．(1)請你在數軸上標記出D，E，F這三個小區(qū)的位置（在相應位置標記字母即可）(2)服務車最后到達的地方距離服務點多遠？若該車輛油耗為0.01升/百米，則這次分發(fā)工作共耗油多少升？(3)為方便附近居民進行核酸檢測，現居委會計劃在這七個小區(qū)中選一個作為臨時核酸檢測點，為使七個小區(qū)所有居民步行到監(jiān)測點的路程總和最小，假設各小區(qū)人數相等，那么監(jiān)測點的位置應設在______小區(qū)．4．(2023·山東煙臺·期中）一輛警車某日8:00從A地出發(fā)，在一條東西方向的公路上巡邏，警察張叔叔每隔20分鐘記錄警車巡邏的行程情況（向東為正方向，單位：千米）：+14，?15.7，+13.7，?15，?12.5，+13.5，10:00警車完成巡邏任務．(1)10:00時，警車在A地的什么方向？距離A地多遠？(2)張叔叔記錄行程的過程中，警車在何時距離A地最遠？最遠距離為多少？(3)警車巡邏前油箱中有14升油，若巡邏時警車每千米耗油0.2升，請問中途是否需要加油？5．(2023·安徽蕪湖·七年級期中）數學課上，李老師在黑板上寫了一道題目：當n為正整數時，計算?1n琪琪說：因為n的值不確定，所以?1n聰聰說：?1n你同意誰的說法？請給出你的答案并說明理由．6．(2023·山東煙臺·期中）在一條不完整的數軸上從左到右有點A，B，C，其中AB=2，BC=1，如圖所示，設點A，B，C所對應數的和是(1)若以B為原點，寫出點A，C所對應的數，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？(2)若原點O在圖中數軸上點C的右邊，且CO=28，求p的值．(3)若原點O到A、C兩點距離相等，A點對應的數為a，B點對應的數為b，求a?b的值．7．(2023·廣東·測試·編輯教研五七年級期中）廣州市教育局倡導全民閱讀行動，婷婷同學堅持閱讀，她每天以閱讀30分鐘為標準，超過的時間記作正數，不足的時間記作負數．下表是她一周閱讀情況的記錄（單位：分鐘）：星期一二三四五六日與標準的差（分鐘）+9+10?10+15?20+6(1)星期五婷婷讀了______分鐘；(2)她讀得最多的一天比最少的一天多了_____分鐘；(3)求她這周平均每天讀書的時間．8．(2023·山東泰安·期中）如圖，在一條不完整的數軸上一動點A向左移動5個單位長度到達點B，再向右移動9個單位長度到達點C．(1)若點A表示的數為0，求點C表示的數；(2)若點C表示的數為6，求點B、點A表示的數；(3)如果點A、C表示的數互為相反數，求點B表示的數．9．(2023·江蘇鹽城·七年級期中）在學習完《有理數》后，小華對運算產生了濃厚的興趣．借助有理數的運算，定義了一種新運算“※”，規(guī)則如下：對于任意有理數a和b，規(guī)定a※b=ab2+ab?b(1)求(?4)※2的值；(2)化簡：(a?1)※3．1.1題型突破訓練：與實數有關的計算題型分類結構圖（本專題共69題48頁）題型1：實數的混合計算典例：(2023·廣西·南寧十四中九年級期中）計算：12?解：12=2=23鞏固練習1．(2023·重慶巴蜀中學九年級期中）14解：14?5故答案為：5?1（2）(2023·重慶八中九年級期中）計算：cos30°?解：cos===1?3故答案為：1?32．(2023·江蘇·鹽城市初級中學一模）計算：(π?1)0答案：1+分析：直接利用零指數冪的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數值分別化簡，進而合并得出答案．【詳解】解：(π?1)=1+2=1+2=1+【點睛】此題主要考查了零指數冪的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數值，實數的運算，正確化簡各數是解題關鍵．3．(2023·四川樂山·九年級期中）計算：25+答案：4+4分析：原式先化簡算術平方根和絕對值，然后再合并即可．【詳解】解：25=5+3=4+4【點睛】本題主要考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．4．(2023·上海·青浦區(qū)實驗中學九年級期中）計算：40答案：1分析：根據a0=1a≠0，a【詳解】4=1+=1+2?=2+=2+=2+=1．【點睛】本題考查實數，二次根式的知識，解題的關鍵是a0=1a≠0，a5．(2023·江蘇·連云港市新海初級中學三模）計算：|?3|+3答案：0分析：根據絕對值的意義，求一個數的立方根以及零指數冪進行運算即可．【詳解】解：原式=3?2?1=0．【點睛】本題考查了絕對值的意義，求一個數的立方根以及零指數冪等知識點，靈活運用所學知識點是解本題的關鍵．6．(2023·江蘇·射陽縣第四中學二模）計算：8答案：2分析：先化簡二次根式和計算零指數冪和負整數指數冪，再根據實數的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式=2=22【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，零指數冪，負整數指數冪，實數的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意非零底數的零指數冪結果為1．7．(2023·廣西·平果市教研室九年級期末）計算：12答案：1分析：分別計算負指數冪、三角函數值、根式化簡、去絕對值，然后計算即可．【詳解】解：原式=2+2×=2+=2?1=1+0=1【點睛】本題考查了與負指數冪、特殊角三角函數值、二次根式化簡、絕對值化簡相關的實數混合運算，熟練掌握相關知識并正確運算是解題關鍵．8．(2023·江蘇·陽山中學九年級期中）計算：(1)2(2)12?4答案：(1)?(2)3分析：（1）根據特殊角的三角函數值進行計算即可求解；（2）根據化簡二次根式，特殊角的三角函數值，化簡絕對值進行計算即可求解．【詳解】（1）2=2×1?2?2×=2?2?2×=?3（2）12=2=2=3【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值的混合運算，實數的混合運算，二次根式的性質化簡，掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．9．(2023·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）計算：(1)cos60°+(2)6tan答案：(1)2(2)1分析：（1）先根據特殊角的三角函數值進行化簡，然后再根據實數混合運算法則進行計算即可；（2）先根據特殊角的三角函數值進行化簡，然后再根據實數混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：cos==2（2）解：6=6×=6×=1【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數值．題型2：程序計算中的實數運算典例：(2023·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：（1）當輸入x=5時，輸出的結果為______（2）若輸入x的值為大于1的實數，最后輸出的結果為17，則符合條件的x的值是______解：（1）當x=5時，∴x2∴輸出的數是26．（2）當第一次輸出的結果為17時，∴x2解得：x=4或x=?4,又∵x>1,∴x=4,當第二次輸出的結果為17時，則(x∴x2+1=4,（解得：x=3（x=?當第三次輸出的數為17時，則x2+1=3綜上：x的值為：3或4故答案為：（1）26；（2）3或4鞏固練習1．(2023·浙江·杭州綠城育華學校一模）有一個數值轉換器，原理如下：當輸人的x=144時，輸出的y等于(

)A．3 B．8 C．33 D．答案：D分析：根據程序進行計算即可．【詳解】解：輸入x=144時，取算術平方根為12，是有理數，輸入x=12時，取算術平方根為23∴y=23故選：D．【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，根據程序設計進行計算是解題的關鍵．2．(2023·河北·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為3，則最后輸出的結果是（）A．3+3 B．15+3 C．3+33 D．15+73答案：D分析：按所示的程序將n=3輸入，結果為3+3，小于15；再把3+3【詳解】解：當n=3時n當n=3+3時，n(n+1)=(3+故選：D．【點睛】本題以一種新的運算程序考查了實數的運算，解題關鍵判斷結果與15的大小，要注意兩方面：①新的運算程序要準確；②實數運算要準確．3．(2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數，都能輸出一個無理數C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值答案：D分析：根據運算規(guī)則即可求解．【詳解】解∶A．輸入值x為16時，16=4，4=2，即y=B．當x=0，1時，始終輸不出y值．因為0，1的算術平方根是0，1，一定是有理數，故B錯誤；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C錯誤；D．當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數；故D正確；故選∶D．【點睛】本題考查了算術平方根及無理數的概念，正確理解給出的運算方法是關鍵．4．(2023·山東濟寧·八年級期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x值為5，則最后輸出的結果是（

）A．55 B．5+5 C．24 答案：B分析：把x=5代入代數式x（x+1）得到結果，若大于7則輸出，若結果不大于7再次代入，循環(huán)后滿足條件即為所求結果．【詳解】解：當x=5時，x（x+1）=55∵4＜5＜9∴2＜5＜3，∴5+5∴最后輸出的結果為5+5故選：B．【點睛】此題考查了代數式求值，弄清題中的程序框圖的意義是解本題的關鍵．5．(2023·浙江·七年級專題練習）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為3時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為2；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③答案：D分析：根據運算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；②輸入值x為16時，16=③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；④當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數，故④原說法正確．其中錯誤的是①③．故選：D．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數．6．(2023·全國·九年級專題練習）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．答案：1分析：根據程序分析即可求解．【詳解】解：∵輸出y的值是2，∴上一步計算為2=1x解得x=1（經檢驗，x=1是原方程的解），或x=當x=1>0符合程序判斷條件，x=3故答案為：1【點睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關鍵．7．(2023·北京海淀·九年級期末）給定二元數對（p，q），其中p=0或1，q=0或1．三種轉換器A，B，C對（p，q）的轉換規(guī)則如下：（1）在圖1所示的“A—B—C”組合轉換器中，若輸入1,0，則輸出結果為________；（2）在圖2所示的“①—C—②”組合轉換器中，若當輸入1,1和0,0時，輸出結果均為0，則該組合轉換器為“____—C—____”（寫出一種組合即可）．答案：

1

A

A分析：（1）利用轉換器C的規(guī)則即可求出答案．（2）利用轉換器A、B、C的規(guī)則，寫出一組即可．【詳解】（1）解：利用轉換器C的規(guī)則可得：輸出結果為1．（2）解：當輸入1,1時，若①對應A，此時經過A、C輸出結果為（1，0），②對應A，輸出結果恰好為0．當輸入0,0時，若①對應A，此時經過A、C輸出結果為（0，1），②對應A，輸出結果恰好為0．故答案為：1；A；A．【點睛】本題主要是新定義題目，利用題目所給規(guī)則，進行分析判斷，即可解答出該題目．8．(2023·河北·廊坊市第十六中學七年級期末）一個數值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為2時，輸出的y值是______．（2）當輸出的y值為3時，請寫出兩個滿足條件的x的值為______和______．答案：

2

3

9分析：（1）將x=2代入程序進行計算即可；（2）根據算術平方根的定義進行取值．【詳解】解：（1）當x=2時，輸出y=2．故答案為：2；（2）當x=3時，y=3，當x=9時，9=3，3是有理數，不能輸出，3是無理數，y=3；故答案為：3；9．【點睛】此題考查了運用算術平方根解決程序計算問題的能力，關鍵是能準確求解算術平方根，并能辨別無理數．9．(2023·福建廈門·七年級期中）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為2時，輸入值x為2或4；②當輸入值x為9時，輸出值y為3；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中正確的是________．答案：②④##④②分析：根據流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過特殊值法排除③；當x=1時判斷④．【詳解】解：①∵當x=16時，16=4，4=2，2取算術平方根為2，輸出值y為2，則輸入值x為2或4或②9=3，3取算術平方根為3，輸出值y為3③如x=π2時，π2是正無理數不是正整數，輸出值y為π④當x=1，1的算術平方根為1，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值，故④符合題意；故答案為：②④．【點睛】本題考查了實數的性質，求一個數的算術平方根，無理數的定義，理解題意是解題的關鍵．10．(2023·河北·邯鄲市第二十三中學七年級期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．答案：(1)0(2)-2分析：（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．（1）解：當m=1時，12（2）根據題意得：m=?3∴32【點睛】此題考查了實數的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．11．(2023·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖是一個無理數篩選器的工作流程圖．(1)當x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當輸出的y值是5時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）答案：(1)3(2)不能(3)5或25（答案不唯一）分析：（1）根據運算流程圖，即可求解；（2）根據0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，即可判斷；（3）根據運算法則，進行逆運算即可得到滿足題意的x值．【詳解】（1）解：當輸入x=9時，9的算術平方根為3，不是無理數，3的算術平方根為3，即y=3故答案為：3（2）解：當輸入x=0或1時，因為0的算術平方根是0，始終是有理數，1的算術平方根是1，也始終是有理數，所以不能輸出y；故答案為：不能（3）解：當y=5時，y2=當y=5時，y2=52故答案為：5或25（答案不唯一）【點睛】本題考查了無理數以及算術平方根，正確理解工作流程圖是解題的關鍵．題型3：定義新運算典例：(2023·江蘇宿遷·七年級期中）設a、b都表示有理數，規(guī)定一種新運算“※”：當a≥b時，a※b=b2，當a<b時，a※b=2×a．例如：1※2=2×1=2，(1)?1※(2)求(2※3)※?1(3)若有理數x在數軸上對應點的位置如圖所示，設：m=(1※x)※x；n=x※3，比較m、n的大小關系．解：（1）∵?1∴?1（2）2※3===1；（3）由數軸知1＜∴(1※x)※x=2×1※x=2※x=∵x∴m<n．鞏固練習1．(2023·陜西咸陽·八年級期中）現定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數x，y，都有x※y=x+y+3答案：8分析：根據新運算要求可知兩個數進行新運算等于這兩個數和的算術平方根，再加上這兩個數的乘積與1的和的立方根，再代入計算即可．【詳解】7※9=故答案為：8．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的計算，理解新定義是解題的關鍵．2．(2023·山東德州·九年級期中）給出一種運算：對于函數y=xn，規(guī)定y'=nxn?1．例如：若函數y1答案：x1=2分析：根據新定義的規(guī)定先計算y2【詳解】解：∵y又∵y∴3x∴x∴x1=2故答案為：x1=2，【點睛】本題考查了解一元二次方程的直接開平方法．掌握新定義規(guī)定的運算和一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．3．(2023·山東濰坊·八年級期中）定義一種運算☆，規(guī)則為a☆b=1a+答案：1分析：根據給定的新定義，可得x☆x+1=【詳解】解：根據給定的定義，得x☆∴1x去分母，得：2x+1解得x=1，經檢驗，x=1是原方程的根，故答案為：1．【點睛】本題考查了解分式方程和新定義的綜合，理解新定義并熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．4．(2023·山東煙臺·期中）在有理數的原有運算法則中，補充新的運算法則“?”如下：當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a．則當x=3時，答案：?29分析：根據題意，當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a，當x=3時，3?x=x2，【詳解】解：當x=3時，3?x=3?3=32=9，(3?x)·(?x)?(2?x)=9×(?3)?2=?29，故答案為：?29．【點睛】本題主要考查有理數的定義新運算，掌握有理數的加法、減法、乘法運算法則是解題的關鍵．5．(2023·山東·商河縣第三實驗學校八年級期中）規(guī)定以下兩種變換：①f(m,n)=(?m,n)，如f(2,1)=(?2,1)；②g(m,n)=(?n,?m)，如g(2,1)=(?1,?2)，按照以上變換有：f[g(3,4)]=f(?4,?3)=(4,?3)，那么g[f(?2,3)]等于_____．答案：(?3,?2)分析：直接利用新定義分別化簡，進而得出答案．【詳解】解：g[f(?2,3)]=g(2,3)=(?3,?2)故答案為：(?3,?2)【點睛】此題考查新定義的運用，仔細閱讀題干，理解材料的含義是解題的關鍵．6．(2023·江蘇無錫·七年級期中）定義一種新運算：x★y=x+y?xy，則計算?3★2=答案：5分析：根據新運算的定義代入直接計算即可．【詳解】解：∵x★y=x+y?xy，∴?3★2=?3+2?故答案為：5【點睛】本題考查了新運算和有理數的混合運算，理解新運算的定義是解題的關鍵．7．(2023·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數a、b，定義運算：a△b=ab(a>b,a≠0)a?b(a<b,a≠0)；如：答案：1分析：由題中規(guī)定的運算規(guī)則，分別計算出2▲(?4)，【詳解】解：根據題意得：2▲(?4)=2則2▲(故答案為：1．【點睛】本題是新運算問題，考查了有理數的混合運算，負整數指數冪，理解題中定義的新運算規(guī)則是關鍵．8．(2023·貴州六盤水·七年級期末）規(guī)定一種新運算法則：a?b=a2?2ab?b(1)求?2?1(2)若5?x=?5?x，求x的值．答案：(1)5(2)x=3．分析：（1）利用已知的新定義計算即可；（2）利用新定義計算出5?x=25?10x?x，再利用等式的性質得出25?2×5x?x=?5?x，即可求解．【詳解】（1）解：?2?==4+=4+1=5（2）解：5?x=?5?x25?2×5x?x=?5?x25?11x=?5?x?11x+x=?25?5?10x=?30x=3．【點睛】本題主要考查了新定義運算，以及有理數的混合運算，解題的關鍵是明確題意，利用已知的新的運算法則進行計算．9．(2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）定義：如果兩個無理數的乘積等于一個有理數，即a?b=c，則稱a和b是關于c的共軛數例：2?8=4，則稱2(1)已知3和b是關于6的共軛數，則b=______．(2)若2?3和6+m3是關于3的共軛數，求答案：(1)2(2)3分析：(1)根據定義，得到3b=6（2）根據定義，得到6+m3【詳解】（1）因為3和b是關于6的共軛數，所以3b=6所以b=6故答案為：23（2）因為2?3和6+m所以6+m3所以12?63所以23解得m=3．【點睛】本題考查了新定義計算，正確理解新定義是解題的關鍵．10．(2023·河北石家莊·九年級期中）定義新運算“¤”：對于任意實數a，b，都有a¤b=a+2b如，2¤3=2+2×3據此，解答下列問題：（1）1¤1=___________；（2）方程x¤1=0的解為____________；（3）若關于x的方程1¤x=2?k有一個解為x=1，則k的值為___________．答案：

0

x=±1

2分析：（1）根據題目定義運算法則進行代入計算；（2）由題意構造一元一次方程并求解；（3）根據定義和方程解的定義代入計算．【詳解】解：（1）1¤1=(1+2×1)(1?2×1)+3=3×(?1)+3=?3+3=0，故答案為：0；（2）由題意得方程(x+2×1)(x?2×1)+3=0，整理得x2解得x=1或x=?1，故答案為：x=1或x=?1；（3）由題意得方程(1+2x)(1?2x)+3=2?k，將x=1代入得(1+2×1)(1?2×1)+3=2?k，解得k=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了實數運算和解一元二次方程及新定義問題的解決能力，解題的關鍵是能準確理解并運用以上知識進行列式、代入并求解．11．(2023·江蘇徐州·七年級期中）[概念學習]規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2．?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作把a÷a÷a÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“[初步探究]（1）直接寫出計算結果：2③＝（2）關于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數n，1的圈n次方都等于1；C．3④D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．[深入思考]我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照圖中的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．?3⑤＝；15⑥＝；?（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于；（3）算一算：122答案：[初步探究]（1）12（2）C

[深入思考]（1）?133，54，分析：[初步探究]（1）根據新定義計算；（2）根據新定義可判斷C符合題意；[深入思考]（1）把有理數的除方運算轉化為乘方運算進行計算；（2）利用新定義求解；（3）先把除方運算轉化為乘方運算進行計算，然后進行乘除運算．【詳解】[初步探究]（1）2③故答案為：12（2）任何非零數的圈2次方都等于1，故A正確，不符合題意；對于任何正整數n，1的圈n次方都等于1，故B正確，不符合題意；3④=3÷3÷3÷3=19，負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數，故D正確，不符合題意；故答案為：C；[深入思考]（1）?3⑤=?133故答案為：?133；5（2）a?=（3）122=144÷?3=144×1=1?3【點睛】本題主要考查有理數的混合運算，涉及新定義，解決本題的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．題型4：與實數運算相關的規(guī)律探究典例：(2023·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心八年級期中）觀察下列等式：x1x2x3(1)請寫出第n個等式：xn=____________；(2)根據以上規(guī)律，計算x1(1)解：根據規(guī)律可知，1+1故答案為：1+1(2)x=1=2020+1?=2020+1?=?1故答案為：?1鞏固練習1．(2023·浙江·杭州市清河實驗學校七年級期中）觀察下列等式：71=7,7A．0 B．1 C．3 D．7答案：A分析：先根據給出的已知條件得到尾數以7,9,3,1四次循環(huán)，再得到2020÷4=505，結合每組尾數的和，從未可得答案．【詳解】解：∵7∴尾數以7,9,3,1四次循環(huán)，而2020÷4=505，7+9+3+1=20，∴7+7故選A．【點睛】本題考查的是數字的規(guī)律探究，總結出尾數以7,9,3,1四次循環(huán)是解本題的關鍵．2．(2023·福建寧德·八年級期中）有一列數按如下規(guī)律排列：?22，34，?14，516，A．?1029 B．1029 答案：D分析：將這列數據改寫成：?22，34，?48，5【詳解】解：?22，34，?14，5?22，34，?48，5∴第10個數為112故選：D．【點睛】本題考查數字類變化規(guī)律，解題的關鍵是把已知的一列數變形，找到變化規(guī)律．3．(2023·江蘇·七年級專題練習）各正方形中的四個數之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）0325476c413631857abA．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110答案：C分析：分析前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c【詳解】由前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，∴c=6+3=9∴a=6+4=10∴b=ac+1=10×9+1=91故選：C【點睛】本題考查規(guī)律中的數字變換，分析前面的圖形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出給定的數之間的關系時解題關鍵．4．(2023·山東濰坊·七年級期中）觀察下列各式：?1×12=?1+12，試運用你發(fā)現的規(guī)律計算：(?1×1答案：?分析：通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為?1+1【詳解】解：(?1×=?1+=?1+=?2021故答案為：?2021【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律，解題的關鍵是通過觀察所給的等式，探索出運算的一般規(guī)律，并能靈活應用該規(guī)律進行計算．5．(2023·遼寧鞍山·七年級期中）觀察下列各式：（1）1×2×3×4+1=5；（2）2×3×4×5+1=11；（3）3×4×5×6+1=19答案：155分析：根據前面幾個算式的值，探究總結出規(guī)律，再計算11×12×13×14+1的值．【詳解】解：因為1×2×3×4+1＝5＝1×4+1，2×3×4×5+1＝11＝2×5+1，3×4×5×6+1＝19＝3×6+1，…，∴11×12×13×14+1＝11×14+1＝155．故答案為：155．【點睛】本題主要考查了實數的運算，解決問題的關鍵是根據已知算式探究規(guī)律，運用探究總結的規(guī)律解答．6．(2023·吉林·長春市實驗中學七年級期末）a是不為1的有理數，我們把11?a稱為a的差倒數．如：2的差倒數是11?2=?1，-1的差倒數是11?(?1)=12．已知a1=?13，a2是a1答案：?分析：根據題目中的數據，可以寫出這列數的前幾項，從而可以發(fā)現數字的變化特點，然后即可得到a2011的值．【詳解】解：由題意可得，a1a2a3a4=1由上可得，這列數依次以?1∵20113∴a2011故答案為：?1【點睛】本題考查數字的變化類、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現數字的變化規(guī)律，求出相應項的值．7．(2023·山東·廣饒縣樂安街道樂安中學期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的個位數字為_____答案：1分析：將2寫成3-1，再采用平方差公式逐級計算，最終原式為364，再根據3的整數次冪的個位數字每4個數字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，即可求解．【詳解】解：原式＝(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(316-1)(316+1)(332+1)+1＝(332-1)(332+1)+1＝364-1+1＝364，∵31＝3，32＝9，33＝27，24＝81，25＝243，…∴3的整數次冪的個位數字每4個數字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵64＝16×4，∴364的個位數字與34的個位數字相同，為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了平方差公式以及實數的運算等知識，將原式變?yōu)?64是解答本題的關鍵．8．(2023·山東濟南·期中）已知：13131313(1)猜想填空：13(2)計算：①13②23答案：(1)1(2)①25502500；②13005000分析：（1）從等式的序號數與平方冪底數之間的關系上去探索規(guī)律，計算即可．（2）①根據13+23+【詳解】（1）因為13131313所以13故答案為：14（2）①根據規(guī)律，得13②因為2=23根據規(guī)律計算得：2=8×1【點睛】本題考查了等式型數字規(guī)律探索，熟練掌握等式序號與平方冪底數之間的關系探索是解題的關鍵．9．(2023·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：OA22=12+1=2OA32=22+1=3OA42=32+1=4…(1)請你直接寫出OA102(2)請用含有n（n為正整數）的式子填空：OAn2(3)在線段OA1、OA2、(4)我們已經知道13+313?3=4，因此將813答案：(1)10，10(2)n，n(3)44(4)18分析：（1）認真閱讀新定義，根據已知寫出答案即可；（2）認真閱讀新定義，根據已知內容歸納總結即可；（3）通過分析數據不難發(fā)現當邊長正好是根號下一個正整數的平方時，出現的就是正整數．分析2022最接近哪個正整數的平方．（4）化簡整理后求值即可．【詳解】（1）解：由題意可得，OA102故答案為：10，10（2）由題意可得OAn2故答案為：n，n（3）解：線段OA1、OA2、OA3、…、OA2022的長分別是1、長度為正整數的數字分別是1、2、3、4、5、....、a，∵442=1936，∴a=44，∴線段OA1、OA2、故答案為：44．（4）1===2×=2×=2×=18；【點睛】本題考查了數學中的閱讀能力，以及對新定義的理解，還有二次根式的化簡，關鍵是理解新定義和有關二次根式的化簡運算．10．(2023·福建·寧德市博雅培文學校九年級期中）閱讀下列解題過程：111請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：(1)計算：110(2)計算：12答案：(1)10(2)2021分析：（1）仿照題意求解即可；（2）先仿照題意證明1n+1+n【詳解】（1）解：110（2）解：1n+1∴1===2022?1=2021．【點睛】本題主要考查了分母有理化與實數運算有關的規(guī)律，正確理解題意并且熟練掌握分母有理化的方法是解題的關鍵．11．(2023·吉林白城·七年級期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知10≈3.16，則1000②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數式表示b，則(3)試比較a與a的大?。擾_______時，a>a；當________時，a=a；當________時，答案：(1)0.1；10；(2)①31.6；②10000m；(3)0<a<1，a=1或0，a>1．分析：（1）由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；（2）根據得出的規(guī)律確定出所求即可；（3）分類討論a的范圍，比較大小即可．【詳解】（1）解：x=0.01=0.1，故答案為：0.1；10；（2）解：①根據題意得：1000≈31.6②結果擴大100倍，則被開方數擴大10000倍，∴b=10000m．故答案為：31.6；10000m；（3）解：當a=0或1時，a=a當0<a<1時，a>a當a=1或0時，a=a當a>1時，a<a故答案為：0<a<1，a=1或0，a>1．【點睛】本題考查了實數的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．題型5：與數軸有關的實數運算典例：(2023·福建·廈門市杏南中學七年級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數為m(1)實數m的值是；(2)求m+1+(3)在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有2c+4與d2?16互為相反數，求2c﹣3（1）解：∵一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2∴點B所表示的數為2?2∴實數m的值為2?2故答案為：2?2（2）∵實數m的值為2?2∴m＋1＝3?2>0，m?1＝∴m+1+m?1＝（3）∵2c+4與d2∴2c+4+∴2c＋4＝0，d2∴c＝－2，d＝4或－4，①當c＝－2，d＝4時，則2c﹣3d＝－16，無平方根；②當c＝－2，d＝－4時，則2c﹣3d＝8，2c﹣3d的平方根為±22綜上，2c﹣3d的平方根是±22鞏固練習1．(2023·河北石家莊·八年級期中）實數15在數軸上的大致位置是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D答案：D分析：估算出15的范圍即可得出答案．【詳解】∵9=3<∴15在數軸上位于3和4之間，即大致位置是點D．故選D．【點睛】本題考查無理數的估算，實數與數軸．能夠掌握無理數的估算是解題的關鍵．2．(2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，四個實數在數軸上的對應點分別為點M，P，N，Q．若點M，N表示的實數互為相反數，則圖中表示正數的點的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C分析：根據“點M，N表示的實數互為相反數”，可得原點在MN的中點處，從點在數軸上的位置即可判斷．【詳解】∵點M，N表示的實數互為相反數，∴原點在MN的中點處，從數軸上可以看出點M點在原點的左側，為負數，P、N、Q點在原點的右側，為正數，故選：C【點睛】考查數軸、相反數的意義，掌握相反數則是位于原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數，并確定原點的位置是關鍵．3．(2023·廣西·賀州市八步區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，AB⊥數軸于A，OA=AB=BC=1，BC⊥OB，以O為圓心，以OC長為半徑作圓弧交數軸于點P，則點P表示的數為（

）A．3 B．2 C．5 D．2答案：A分析：根據勾股定理分別求出OB、OC的長，再由作圖可得答案．【詳解】解：∵OA=AB=BC=1，AB⊥數軸于A，∴OB∵BC=1且BC⊥OB，∴OC=O由作圖知OP=OC=3所以點P表示的數為3，故選：A．【點睛】本題考查的是實數與數軸、勾股定理等知識，熟知實數與數軸上各點是一一對應關系是解答此題的關鍵．4．(2023·廣東·育才三中七年級期中）實數a，b，c，d在數軸上對應點的位置如圖所示，正確的結論是（）A．a<c B．b+c>0 C．a<答案：D分析：觀察數軸，找出a，b，c，d四個數的大概范圍，再逐一分析四個選項的正誤，即可得出結論．【詳解】解：根據數軸，?5<a<?4，?2<b<?1，0<c<1，d=4，A．∵?5<a<?4，0<c<1，∴a>B．∵?2<b<?1，0<c<1，∴b+c<0，故此選項不符合題意；C．∵?5<a<?4，d=4，∴a>D．∵?2<b<?1，∴1<?b<2，又∵d=4，∴?b<d，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查實數與數軸，絕對值，實數的大小比較，數軸的特征．一般來說，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大．觀察數軸，利用所學知識逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．5．(2023·北京房山·八年級期中）如圖，直徑為1個單位長度的圓，在數軸上從表示﹣1的點A滾動一周到點B，則點B答案：π?1##?1+分析：先計算圓的周長，根據題意再計算π+(?1)即可得出答案．【詳解】根據題意可得，圓的周長為π，則點B表示的數是從﹣1向右移動π∴點B表示的無理數為(?1)+π=π?1．故答案為：π?1．【點睛】本題主要考查了無理數及實數與數軸，熟練掌握無理數及實數與數軸上的點是一一對應關系進行求解是解決本題的關鍵．6．(2023·福建三明·八年級期中）如圖，數軸的正半軸上有A，B兩點，表示1和2的對應點分別為A，B，點C，D在數軸上，點B到點A的距離與點C到點D的距離相等，設點C所表示的數為(1)當D所表示的數為0且C在D的右邊時，求出x的值；(2)當D所表示的數為?22時，求出x答案：(1)x=(2)x=?32+1分析：（1）根據數軸上兩點間的距離求出AB之間的距離即為x的值；（2）根據題意可得AB=CD=2?1，當D所表示的數為?22時，分點C【詳解】（1）∵點A、B分別表示1，2，∴AB=2∵D所表示的數為0且C在D的右邊，設點C所表示的數為x．∴x=2（2）解：∵AB=2?1，當D所表示的數為?22①當C在D的左邊，x=?22②當C在D的右邊時，x=?22∴x=?32+1或【點睛】本題考查了數軸上兩點距離，實數與數軸，分類討論是解題的關鍵．7．(2023·湖北省宜昌市漁峽口中學七年級期中）如圖所示，數軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，設點B所表示的數為x，求|?x+3答案：3分析：先根據數軸上表示一對相反數的點關于原點中心對稱得出x=?2，再代入|?x+【詳解】解：∵數軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，∴點B表示的數是?2，即x=?則|?x+=|==3【點睛】此題考查了實數與數軸之間的對應關系，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的定義，絕對值的定義及二次根式的運算方法．8．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校八年級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．(1)拼成的正方形的邊長為______．(2)如圖2，以數軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數軸上表示的?1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A，那么點A表示的數是______．(3)如圖3，網格中每個小正方形的邊長為1，若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形的面積和邊長．答案：(1)5(2)5(3)新的正方形的面積為6，新正方形的邊長為6分析：(1)根據題意可得，5個小正方形的面積和是拼成的正方形的面積，求得面積的算術平方根即為大正方形的邊長；(2)利用勾股定理得出直角三角形的斜邊長，進而根據線段的和差關系求出點A表示的數；(3)圖中陰影部分的面積相當于6個小正方形的面積，然后求面積的算術平方根即為新正方形的邊長．【詳解】（1）設拼成的正方形的邊長為a，則a2a=5即拼成的正方形的邊長為5，故答案為：5；（2）由勾股定理得：12∴點A表示的數為5?1故答案為：5?1（3）根據圖形得：S陰影=2×2×2×12+2×2×【點睛】題考查勾股定理與無理數、實數與數軸的綜合應用，靈活運用圖形變換對圖形進行剪拼組合是解題關鍵．9．(2023·北京房山·八年級期中）已知數軸上兩點A，B，其中A表示的數為?2，B表示的數為2，AB表示A，B兩點之間的距離．若在數軸上存在一點C，使得AC+BC=n，則稱點C為點A，B的“n節(jié)點”．例如圖1所示，若點C表示的數為0，有AC+BC=2+2=4，則稱點C為點A，B的“4節(jié)點”(1)若點C為點A，B的“n節(jié)點”，且點C在數軸上表示的數為?3，則n=___________；(2)若點D為點A，B的“43節(jié)點，請直接寫出點D(3)若點E在數軸上（不與A，B重合），滿足A，E兩點之間的距離是B，E兩點之間的距離的2倍，且點E為點A，B的“n節(jié)點”，求n的值．答案：(1)6(2)±2(3)12+82分析：（1）根據新定義求解；（2）設未知數，根據新定義列方程求解；（3）先求點E表示的數，再計算n的值．【詳解】（1）解：AC+BC=?2?故答案為：6；（2）解：設D表示的數為x，則||x+2|+|x?2|=43∵AB=4，43∴x<?2或x>2，當x<?2時，?x?2?x+2=43解得：x=?23當x>2時，x+2+x?2=43解得：x=23故答案為：±23（3）解：設E點表示的數是y，則：|?2?y|=2當?2<y<2時，y+2=2解得y=6?42當y<?2時，?2?y=2解得y=6+42當y>2時，2+y=2解得y=6+42∴y=6±42當y=6+42n=AE+BE=8+42當y=6?42n=AE+BE=8?42∴n的值為12+82【點睛】本題考查了新定義，數軸和實數，數軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，數形結合是解答本題的關鍵．10．(2023·浙江杭州·七年級期中）如圖兩個4×4網格都是由16個邊長為1的小正方形組成．(1)圖①中的陰影正方形的頂點在網格的格點上，這個陰影正方形的面積為，若這個正方形的邊長為a，則a=；(2)請在圖②中畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網格的格點上，若這個正方形的邊長為b，則b=；(3)請你利用以上結論，在圖③的數軸上表示實數a，b和-a，-b，并將它們用“＜”號連接．答案：(1)10，10(2)畫圖見解析，5(3)數軸表示見解析，?a<?b<b<a分析：（1）用大正方形面積減去周圍四個三角形面積即可求出陰影部分的面積；根據正方形面積公式即可求出a的值；（2）仿照題意作圖，然后根據正方形面積公式求出b的值即可；（3）根據（1）（2）所求，在數軸上表示出四個數，再根據數軸上左邊的數小于右邊的數用小于號將四個數連接起來即可【詳解】（1）解：由題意得，陰影部分面積=16?4×1∴a2∴a=10故答案為：10，10；（2）解：如圖所示，即為所求；∵b2∴b=5（3）解：數軸表示如下所示：∴?a<?b<b<a；【點睛】本題主要考查了實數與數軸，算術平方根，尺規(guī)作圖—作線段，正方形面積的計算等知識；熟練掌握算術平方根的定義，并能進行尺規(guī)作圖是解決問題的關鍵．11．(2023·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學七年級期中）如圖（1），在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．(1)求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長為(2)如圖（2），若點A在數軸上表示的數是?1，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧與數軸的正半軸交于點E，求點E表示的數為答案：(1)10，10(2)?1+分析：（1）用割補法求出正方形ABCD的面積，再根據算術平方根的定義即可求出邊長；（2）E表示的數比?1大，用?1加上AE長度即為E表示的數．【詳解】（1）解：∵正方形ABCD的面積是4×4?4×1∴正方形ABCD邊長為：10；（2）解：∵正方形ABCD邊長為10，∴AE=AD=10∴E表示的數比?1大10，即E表示的數為?1+10故答案為：?1+10【點睛】本題考查了算術平方根的意義，以及用數軸上的點表示實數，解題的關鍵是求出正方形ABCD的邊長．題型6：有理數的運算及應用典例：(2023·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）材料一：對任意有理數a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數m，n滿足m=2n=3n+1（1）解：∵a?b=a+b?2023∴2?6=∵?π∴?ππ=故答案為：?20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=?3∴m=2×?3=?6∴m+n=?6+n∴m?m+n=?9?鞏固練習1．(2023·山東煙臺·期中）計算：(1)8+?(2)?1÷(3)?1(4)?1答案：(1)3(2)1(3)?24(4)?分析：（1）利用加法交換律和結合律進行計算；（2）除法變乘法，再進行計算即可；（3）利用乘法分配律進行計算；（4）先乘方，去括號，再乘除，最后算減法．【詳解】（1）原式=8?==3；（2）原式==1（3）原式=?=8?36+4=?24；（4）原式=?1?=?1?0.5×=?1?=?1+=?7【點睛】本題考查有理數的混合運算．熟練掌握運算法則和運算律，是解題的關鍵．2．(2023·廣西·南寧市第四十七中學七年級期中）出租車司機小李某段時間在東西走向的大街上進行營運，規(guī)定向東為正，向西為負，他所接送的六位乘客的里程如下：（單位：千米）?7.5，+6，?4.8，+3.5，?9，?12．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李處在第一次出發(fā)時的什么位置？(2)若小李這段時間共耗油3升，則出租車的耗油量是每千米多少升？（精確到0.01升）(3)小李預計每月行駛里程為0.8萬千米，若每升油的價格為8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？答案：(1)小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的23.8千米處(2)每千米的耗油量為0.07升(3)小李每月在耗油方面需要4760元分析：（1）根據有理數的加法，可得答案；（2）根據單位耗油量=耗油量÷行駛路程，可得答案．（3）單位耗油量×行駛里程×每升價格可得答案．【詳解】（1）根據題意有：?7.5+6?4.8+3.5?9?12=?23.8（千米），根據向東為正，向西為負，可知小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的23.8千米處；（2）行駛的總里程為：?7.5+6+則該車的耗油量為：3÷42.8≈0.07（升），答：每千米的耗油量為0.07升．（3）根據題意有：0.8×10000×0.07×8.5=4760（元），答：小李每月在耗油方面需要4760元．【點睛】本題考查了正數和負數，有理數的運算等知識，解題的關鍵是利用單位耗油量乘以行駛路程等于耗油量．3．(2023·山東濟南·七年級期中）為宣傳健康知識，某社區(qū)居委會派車按照順序為7個小區(qū)（分別記為A，B，C，D，E，F，G）分發(fā)防疫安全手冊，社區(qū)工作人員乘車從服務點（原點）出發(fā)，沿東西向公路行駛，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：百米）：+10，?18，+14，?30，+6，+22，?6．(1)請你在數軸上標記出D，E，F這三個小區(qū)的位置（在相應位置標記字母即可）(2)服務車最后到達的地方距離服務點多遠？若該車輛油耗為0.01升/百米，則這次分發(fā)工作共耗油多少升？(3)為方便附近居民進行核酸檢測，現居委會計劃在這七個小區(qū)中選一個作為臨時核酸檢測點，為使七個小區(qū)所有居民步行到監(jiān)測點的路程總和最小，假設各小區(qū)人數相等，那么監(jiān)測點的位置應設在______小區(qū)．答案：(1)見解析(2)服務車最后到達的地方距離服務點200米,共耗油1.06升(3)G分析：（1）由題意計算出D，E，F在數軸上對應的數即可；（2）服務車最后到達的地方為G小區(qū)，計處出G點到原點的距離即可；求出所給數據的絕對值的和，得到該車輛行駛的總路程，乘以單位距離的油耗即可；（3）根據數軸上兩點間距離公式，以及絕對值的意義，可得檢測點應設在最中間的小區(qū)．【詳解】（1）解：由題意，D在數軸上對應的數為6?30=?24，E在數軸上對應的數為?24+6=?18，F在數軸上對應的數為?18+22=4，因此在數軸上表示為：（2）解：由題意知服務車最后到達的地方為G小區(qū)，G在數軸上對應的數為2，+10==106×0.01=1.06(升),因此服務車最后到達的地方距離服務點200米,這次分發(fā)工作共耗油1.06升；（3）解：設檢測點所設小區(qū)在數軸上對應的點為x,則七個小區(qū)到該檢測點的距離之和為：x+24+由絕對值的意義可知，當x=?2時，上面式子取最小值，因此檢測點應設在最中間的小區(qū)，即G小區(qū)．【點睛】本題考查正負數的實際應用，有理數混合運算的應用，絕對值的應用等，第3問有一定難度，解題的關鍵是理解絕對值